Généralisation. — On aurait pu varier la méthode dé
l84 CHAPITRE VII.
diverses manières; d'abord, au lieu de faire À^^=:o, on aurait pu attribuer aux "k^ des valeurs quelconques, mais que l'on aurait regardées comme données une fois pour toutes.
Le raisonnement se serait poursuivi sans changement ; par exemple, quand on aurait fait i: = (ï'j = o, on aurait trouvé )., = !" et l'on aurait encore eu dx = dw =z d'k= o.
Si donc nous prenons les développements (12) et que, sans y faire \^= o, nous y fassions
-; = o, Wi= n'^t -\~Wi,
nous satisferons encore aux équations (10). La solution ainsi trouvée contient on constantes arbitraires, les L^, les a" et les t^ï qui bien entendu ne peuvent pas être distinctes.
Dans les développements (12), les quantités A, h, A', h' dépendent des L^^ et des X", mais il est clair que
Acos/i, Asin/ï, A'cos/i', A'sin/i', sont des fonctions périodiques des A°. Nous aurons donc
Dans ces développements (23) analogues aux développements (16 bis) du Chapitre précédent, les A"' sont des entiers, B, Aq, B' et /^|) dépendent seulement des L°.
Il n'y a aucune raison pour que A7= k'-.
D'après la façon dont les développements (26) ont été formés, Lj et \i se réduisent à L" et \^ pour t = iv/f= o. Ces développements ne sont donc autre chose que ceux que nous avons obtenus au nM09.
On satisfera aux équations (10), soit en y faisant
soit en y faisant
T =-- O, U'i = llit 4- T7T,.
Au lieu d'adopter comme constantes arbitraires les valeurs initiales L" et ).? de nos variables, nous aurions pu prendre
LE PROBLÈME RESTREINT. l85
d'autres, constantes arbitraires; nous aurions ainsi donné à nos développements une autre forme.
Il aurait suffi de remplacer dans les équations (aS) les constantes anciennes L" et X" par des fonctions de in constantes nouvelles
l; et).;.
Soit donc
1 X? =^t{ij.,l.],\]\
les cp^- et les 'hi étant des fonctions de [j., des Lj et des A^ que je puis choisir d'une façon tout à fait arbitraire. Je m'imposerai les conditions suivantes :
1° Les fonctions ot et ^i devront être développables suivant les puissances de ij. ;
2° Pour [j. = o, on devra avoir
3° Les L" et les différences X^ — \l devront être des fonctions périodiques des \\ .
Dans les développements (20), substituons à la place des constantes anciennes L^^ et V^ leurs valeurs (26); nous obtiendrons ainsi de nouveaux développements que j'appelle les développements (2 'y).
Quelle en est la forme?
1° Pour [j. = o, ils se réduisent à
(27) L/=L;, 'Ki=wi-^'kl.
2" Les différences L/ — Lj, \i — wi — AJ sont développables suivant les puissances de [x et de t; elles sont des fonctions périodiques des Wk et des \\.
En d'autres termes, les développements (2^) seront tout à fait de même forme que les développements (20); avec cette différence que les L^ et les \\ y jouei-ont le même rôle que les L^^ et les X^ dans les équations (25).
Seulement, pour t = «' = o, L/ et Xi ne se réduiront pas à Lj exXl,
On aura encore une solution des équations (10) en faisant dans
l86 CHAPITRE VII.
les développements (27) soit
«',— mt
soit
(!(•;•= n'jt -+-
car les développements (2^) ne diffèrent pas en réalité des développements (28), ils n'en diffèrent que par la substitution aux constantes L° et X° de leurs valeurs (26).
Parmi tous ces développements (2-), il y en a un qui mérite d'attirer notre attention, c'est celui qui est tel que n'^ = ?ii, mais nous nous arrêterons surtout sur celui que l'on formerait par le procédé du n" 113. Les Lj et les X' représentent alors ce qu'au Chapitre précédent nous appelions les valeurs moyennes des L/ et des )v/.
J'ai expliqué assez longuement ce procédé pour n'avoir pas à y revenir; il y aura cependant une divergence.
Nous n'avons rien ici d'analogue aux quantités p/, co/, pi, (o^' du n" 112, puisque dans les équations (10) ne figure aucune variable analogue aux ç et aux Y|. De là une petite simplification.
On obtiendra ainsi des développements
h = wi^i} -H^ [^''B't'» cos (^ /^iwi-{-^ kii} -1- a;
où B, Aq, B', h'^ dépendent seulement des Lj.
Tous les résultats des Chapitres VI et VII s'appliquent aux développements (28), on en déduira donc une solution des équations (10) soit en y faisant t = i -f- Ci tf'/^^ 'î^^ + ^/, soit en y faisant t ^ o, iVi^ n) t + to,.
Ce qui distingue le développement (28) des autres développements (2^), c'est que, ainsi que nous l'avons vu au n° 116, le coefficient ht de wi est toujours égal au coefficient de \\. Il résulte de là que les constantes \\ et zi (si l'on fait t = ?, svi^ uit -|- £/) ne figureront jamais que par la combinaison £/+ A^'. De même, si l'on fait 1 = o, çvv= n\ t -\- tïj/, les constantes \\ et ttî, ne figureront jamais que par la combinaison Wf-l- \\.
Entre les constantes des développements (25), qui sont les L" et les \\ et celles des développements (28), qui sont les L^- et les \\,
LE PROBLEME RESTREINT. lOJ
il y a certaines relations, ce sont les relations (26). Comment les former? Je n'ai qu'à prendre les équations (28) et à y remplacer L/, li (v et T par L^-, X", o et o. Les équations que nous obtiendrons ainsi ne seront pas autre chose que les relations (20) du n° 113; supposons d'autre part que dans les équations (28) on fasse
T = i, Wi= ïlit,
on obtiendra certains dé,veloppements qui satisferont aux équations (10); comment aurait-on pu y parvenir directement? Il est aisé de s'en rendre compte. Supposons qu'on veuille intégrer les équations (10) par approximations successives, on prendra en première approximation
11 reste à voir comment on peut calculer les valeurs de /i"""" approximation, connaissant celles de (/i — i)'^""". On prend d'abord
d\.i clY
Dans le second membre on substitue les valeurs de [n — iy«mc ^p proximation; ce second membre prend la forme
^ Bf'« cos(v^-H h),
et il reste à intégrer par rapport à t j)our avoir les valeurs de ^lème approximation des L/.
Nous avons vu au n** 99 que l'intégrale indéfinie
B«'" cos(vf -v-li)dt
contient un terme en ^'"cos(v^-|-/i), un terme en Z'" ' sin(v^H-A), un terme en ^'"~-cos(vif -|- A), ..., un terme en t . (v t -+- h) et
enfin un terme en (yt-\-h).
cos ^ -^
11 faut ajouter à cette intégrale indéfinie une constante arbitraire.
Nous avons jusc[u'ici choisi cette constante de telle façon que oLj
s'annule pour t = o, c'est-à-dire que nous avons pris
'dFi
dt.
C'est ainsi que nous avons obtenu les développements (12) et(25).
Pour obtenir les développements (28) nous n'opérerons pas de même, nous prendrons la constante arbitraire égale ci zéro.
Pour avoir ensuite les valeurs de /^"'""' approximation de X/, on se servira de l'équation
