JO
^ ^ dt d\ji
Dans le second membre on doit remplacer les \i par leurs valeurs de (/i — lyf'mc approximation que l'on vient de trouver. L'équation (3o) est de même forme que l'équation (29) et se traiterait de la même manière.
Les développements que l'on obtiendra de la sorte sont bien les développements (28), car l'analyse qui précède est, dans le fond, identique à celle du n" 114.
134. Cas particulier du problème restreint. — Ce que nous avons dit juscju'ici s'applique au cas général des écjuations (10), ce que nous allons dire maintenant s'applique seulement au problème restreint c[ue nous avions d'abord en vue.
Nous avons vu au n" 126 qvie l'on passe des équations (9) du problème restreint aux équations (10) en faisant
F'= F, L'i = Li, X'i = Xi, pi = L,, wi = A2-
Tous les résultats déjà trouvés s'appliquent donc au problème restreint, mais il y a quelque chose de plus. La fonction F est développable suivant les puissances de
V'2p'i coscoi =v/'2L2 C0SX2, v^i sinto'i = y'2L2 sinX2,
quantités que nous appellerons pour abréger ç et i\. Les coefficients du développement dépendront d'aillevirs de L, et de X, . L'expression
^ dri — pi diM\ = \d'(\ — L2 <r/X2,
étant une différentielle exacte, nos équations (10) resteront canoniques quand on prendra pour variables L|, X,, ^, v] et s'écriront
dU__dF^ dki d? f^__^ ch^d¥^
dt d\i dt dLi dt d-q dt d^
Les seconds membres des équations (3j) sont développables suivant les puissances des ^ et des v) ; voilà ce qu'il y a de nouveau. Si nous posons comme dans le Chapitre précédent
A = —. — V- rix —, h «2 —, — '
dx dwi dw^
et que nous cherchions les développements de nos inconnues L|, X|, i, Y) en fonctions de t et des w sous la forme (20), (2^) ou (38), nous verrons que ces développements satisfont aux équations
(^^) ^^^=-^' ^^^=^' ^^=--^' ^-^--dv
si nous rappelons que Fo= F[j est égal à
Li ,
nous voyons que nos équations s'écrivent
( Aç + «,vi=-!.^, A-,i-n2^ = Ix-^.
Il reste à faire le choix des constantes d'intégration; je ne choisirai pas les valeurs initiales des inconnues, comme dans les développements (20), ni leurs valeurs moyennes comme dans les développements (28); je prendrai :
1° La valeur moyenne de L, (pour -: = o, bien entendu) que j'appellerai L|;
2" La valeur moyenne de X, que je supposerai nulle; 3° La valeur moyenne de
que j'appellerai E, à cause de son analogie avec l'excentricité; 4^ La valeur moyenne de
\ sin (P2 — '1 cos w=i
que je supposerai nulle.
Je vais alors montrer que nos inconnues seront développables
igo CHAPITRE VII.
suivant les puissances de
E costvo, E sinff2.
On a en première approximation
Li=L}, Xi=(ri, | = Ecos(V2, rj = EsintP2;
et la condition est donc remplie en première approximation.
Je dis que si elle est remplie en [n — i^eiic approximation, elle le sera en /i"^™". Considérons d'abord la première équation (33), le second membre est de la forme
Les B sont à un facteur numérique près des dérivées de F où il faut substituer aux inconnues leurs valeurs de première approximation ; ils sont donc développables suivant les puissances de Ecoswo et EsinpPo» Les DïU sont des monômes entiers par rapport à oL), o)m , oç, or\ auxquels il faut substituer leurs valeurs de (/^ — i^eme approximation. Ces valeurs par hypothèse sont développables suivant les puissances de E cost^i et EsiiKVs. Notre second membre est donc développable de la même façon.
Notre équation est donc de la forme (i3) du Chapitre VI; nous avons vu, aux n*^^ 109 et 114, comment peut s'intégrer une équation de cette forme ; nous avons indiqué deux manières de le faire, soit en prenant
„ T> sin ( /«Tj Wi -+- ko w, -h h ) — sin /i Lo = -B j —7 — j
soit en prenant
T3 sin ( kl IV i -+- /va Wo -f- h ) L,o= D ■ —
{cf. n° 114). Ici il faut employer le second procédé et ajouter ensuite la constante LJ, puisque nous voulons que la valeur nK)yenne de L, se réduise à L|. On voit aisément qu'en opérant de cette façon L, reste développable suivant les puissances de Ecosppo et E siiKVo. Il pourrait n'en être pas de même si l'on avait opéré de la première manière, car il pourrait s'introduire des termes en E, E^, E-^, ....
Passons à la deuxième équation (33); il faut dans le second
membre substituer à la place de L| sa valeur de n"^'^° approximation et à la place des autres inconnues leurs valeurs de (/? — lyème approximation. Cette équation prend alors la même forme que la précédente et se traiterait de la même façon.
Prenons enfin les deux dernières équations (33); dans les seconds membres, substituons aux inconnues leurs valeurs de (n — lyèmc approximation; on verrait comme plus haut que ces seconds membres sont développables suivant les puissances de EcostVo et EsintVo, de sorte que nos équations prennent la forme
où A, A', A, h' déj)endent seulement de L] et où q est un entier de même parité que k^ et au moins égal à | A'o |.
Comment peut-on intégrer ces équations? Nous commencerons par mettre à part, dans les seconds membres, les termes où k^ = o, /i-2==t:i, et conservant seulement l'ensemble des autres, nous écrirons les équations (34) sous la forme suivante
A^ -1- rt2'1 = / B 'zP cosœ -l- ^ C -û^-' sino -\- 2, b "^"^ cosç -H 2, ^ "" A-r] — n^l = "^ B'zP coscp -t- 'V G\P sincp -i- ^ b'-J"^ coscp-i-^
'" sincD,
Ici j'ai écrit u pour A") (V'i + /iotVo ; j'ai désigné par/? la plus grande des valeurs de l'exposant m. Les coefficients B et G sont
les sommes \ jjl^AcosA, \^ [x^ A sin A, étendues aux termes en
C0SC3 ou sino où l'exposant de t est égal à/>; les coefficients b et c sont les sommes analogues étendues aux termes où l'exposant de t est égal à ni <Cp- TJe même pour B', C, b' c' . Je poserai alors
ou
V^ B 7i., — Cv -v^ Bv + C /?,
V^— B/i2— C'v "^ B'v — Cn, , .
-ri = > ^ T/^coso-f- > — 5 — 'u/''sin9,
où
V = A-j ni -)- /î2 ^2- Nos équations (35) deviennent alors
c'-l'" siiics.
Ces équations (36) sont de même forme que les équations (35), seulement l'exposant maximum de t n'est plus que p — i au lieu de p; de sorte qu'en continuant de proche en proche le même procédé on finira par intégrer complètement les équations (35).
J'observe alors que, si les seconds membres de (35) sont développables suivant les puissances de EcostVo, et Esin^v., il en est de même de l', de V et par conséquent des seconds membres des
équations (36).
J'aurais donc démontré que i et -^i sont développables suivant la même forme, si les formules précédentes ne se trouvaient en défaut dans le cas où v^ = n^ c'est-à-dire où k, = o,k, = ±i. G'est^pour cette raison que j'ai mis à part les termes où /m = o, A-o=d=i, d'où CD = ± iv.2 ; et il me reste à en étudier l'influence.
ReJDrenons donc les équations (35) en faisant cp = «'2 dans les seconds membres ; nous pourrions aussi supprimer dans ces seconds membres les signes ^ P^^isque nous n'avons plus qu'une seule
sorte de termes, les termes en (Va.
Posons cette fois
i" =: ' -j'+içQSW-y-h — -^''^^ s'mWi,
y,-- ^ — ^ r-^p cosw'î-! T^^—"-'' sinwP2,
T/'+i sintr,-) t:^""^ COSW2,
'xp
LE PROBLÈME RESTREINT. igS
nos équations deviennent alors
l A^"'+n2ïl"' = 1^ + ^ 6 T'"cos(V2-H 7" c x'« sinw,,
1 Ay)'"— «2ç"' = — -7^+51 ^''^'" cosrv2-f-^ c'z'"^ sin^P2,
et l'on voit que dans les seconds membres l'exposant de z ne peut dépasser/?— i; on arrivera ainsi de proche en proche à l'intégration complète de l'équation. On remarquera qu'en opérant de la sorte, si les seconds membres des équations (35) sont développables suivant les puissances de Ecos^Vo, EsintVo, il en est de même de ^', l", Y]', r^" et par conséquent des seconds membres des équations (38), et l'on en déduira qu'il en est de même des valeurs de ^ et de 7j que l'on obtient par ce procédé.
On est finalement ramené au cas àe p = o; cas où l'on a simplement
Si, dans les formules (3'-), on suppose p ^ o, on obtiendra les coefficients de cos(V2 et de sinup'a dans ^* et dans 7\*, en désignant par Ç* et Y)* les expressions de ^ et de t) obtenues par le procédé que nous venons d'exposer; on voit ainsi que les valeurs moyennes de i*cos(ip'o-l- T|*sin(V'o et de ^*sin(ï'2 — •ri*cos«'o sont nulles. Ce que nous voulons c'est que ces valeurs moyennes se réduisent à E et à o, il conviendra donc d'ajouter respectivement à ^* et à y|* un terme Ecos('P2 et un terme EsintVo- Elles ne cesseront pas en effet pour cela de satisfaire aux équations (35). Elles ne cesseront pas d'être développables suivant les puissances de Ecostv'a et Esin(;v2-
Si au contraire nous avions pris comme données de la question les valeurs initiales ^q et y|o de ^ et r\; il aurait fallu ajouter à ç* et à r* un terme G cos<iC2 ■+- H sinws et un terme G sincco — H cosw.^ ', où ^0 — G et Y]o + H seraient ce que deviennent les ^* et yj* quand on y fait -:=«', = (V2=o. Dans ces conditions G cos «'2-1- H sintPo? Gsinçv'2 — HcosfVo ne seraient pas développables suivant les puissances de Ecoscco, EsintVo et il en serait de même de
^ = ^* -H G cos (^2 -+- H sin (V2, V] = 7]*-t- G sin «'2 — H cos(P'2.
133. On aurait pu présenter l'analyse précédente sous une autre P. — L i3
forme. Posons
aiotre fonction F sera développable suivant les puissances de X et de Y, et nos équations deviendront
f AX — ^/^.2 A = 2 i ijt. -7^ , Ai + ^«2 ï = — 2 t jjl -7^ ,
\ Cl X ci\
car
XrfY + 2i^^7]
est différentielle exacte.
Les deux dernières équations (ig) peuvent s'écrire
(39 bis)
A(Xe-"*'0= 2tae-'»'2--^> al
aX
Tl s'agit de démontrer que L,, A,, X, Y sont développables suivant les puissances de Ecos^Vo, et EsiniVo ou, ce qui revient au même, suivant celles de
Eew=, Ee-'»'2.
Cela est vrai en première approximation; je suppose que cela le soit en (n — iy«me approximation et je me propose d'établir que cela est encore vrai en /i'^"i° approximation.
Pour cela je substitue, à la place des inconnues dans les seconds membres des équations (Sg) et (89 bis), leurs valeurs de (n — lyème approximation. Alors les seconds membres des équations (3g) sont développables suivant les puissances de Ee-"^';. Ceux des équations (3g bis) sont égaux à un pareil développement multiplié par e~'*^2 ou par e'"'^.
Je dis que cette propriété ne se perd jjas par l'intégration. Soit en effet l'équation
où ç est une fonction connue de t, de E et des iv; je suppose que ve"^-i soit développable suivant les puissances de t et de Ee~"^;,
LE PROBLÈME BËSTREINT. igS
que de plus cette fonction étant périodique en (ï'j soit en outre développable suivant les cosinus et les sinus des multiples de tv, ou si l'on aime mieux suivant les puissances de e— '"'i. En d'autres termes je suppose que v soit développable sous la forme
où A est indépendant de E, t, (T'i, <t'o ; où q, m^ A', et Ao sont des entiers satisfaisant à la condition
(42) q E^ k^-^ s (mod2) g'l|A-2 + s).
C'est Lien là la forme des seconds membres des équations (39) et (og bis), l'entier s étant égal à zéro pour les équations (Sg), à +1 et à — I pour les équations (09 bis). De plus ces seconds membres dépendent encore de [jl et de L[, et sont développables suivant les puissances de (j., mais nous n'avons pas à nous en inquiéter.
Je dis que l'équation (4o) nous donnera aussi pour l'inconnue 11 un développement de la forme (4i) avec la même valeur de l'entier .y, pourvu que nous conduisions V intégration de telle sorte que la valeur moyenne de u soit nulle, ou soit égale à un développement de la forme (40 (c'est-à-dire, puisque cette valeur moyenne est indépendante de t et des (v, soit développable suivant les j)uissances de E, les exposants étant tous de même parité que s et au moins égaux à s).
Si nous nous reportons en effet aux n"^ 98 et 114, nous verrons que chaque terme du développement (4i) de v nous donnera m 4-1 termes dans l'expression de w et que ces m -\- i termes seront de la forme
où B est une constante, et où les entiers q, /T), Ao ont mêmes valeurs que dans le terme du développement de v d'où l'on est parti et satisfont par conséquent aux conditions (42); où enfin on donne à /> les valeurs o, i, 2, ..., m, si A", et /fo ne sont pas nuls et Ja valeur m -h i si k\ et A'o sont nuis.
Ainsi u est bien de la forme (4i)-
Alors en envisageant d'abord la première équation (89), nous voyons que L, est développable suivant les puissances de Ee-'"'i:;
il en est donc de même de A)v, en vertu de la deuxième équation (Sg) et par conséquent de Àj.
La première équation (89 bis) nous apprend que Xe~''^'2 est développable sous la forme (40' l'entier s étant égal à 1; et par conséquent que X est développable suivant les jouissances de Ee-'^'= et la seconde équation (89 bis) montre qu'il en est de même de Y.
Le théorème énoncé est donc établi.
136. Il résulte des deux numéros précédents que, dans le cas du problème restreint, les développements (2^) de nos inconnues . peuvent se mettre sous une forme particulière.
En raisonnant comme au n° 69 on verrait que l'on a
Li — L|, Xi — (Pi, ^ — ECOSW2,
7] — E sinw2= ^ [jl'^At'"E'7 cos(/ci Wi-f- /.-j W2-i- h),
où le premier membre est l'une ou l'autre des quatre quantités
(43) Li — LJ, Xj — (ï'i, ^ — Ecostï^25 '1 — Esin(P25
et où le second membre, qui s'annule pour [jl = o, est développable suivant Jes puissances de [a, E et t et suivant les cosinus et sinus des multiples des (f, de telle façon que A et h dépendent seulement de L| et que l'entier q satisfasse aux conditions
(44) q^k^ (moda), q^\k.\.
En raisonnant comme aux n°^ 71, 86, 111, on verrait que ces développements ne doivent pas changer de signe quand on change T et Wi en — t et — (v^ Il en résulte que h doit être égal à o ou
à — --Il est égal à o si m est pair, et à — - si m est impair dans
les développements de
Lj — L}, ^ — ^Ecos«'2.
Il est égal à o si m est impair, et à — - si ni est pair dans les développements de
^u — "'i; -ri — E sinwP2-
On satisfera aux équations du mouvement en faisant dans les
développements (43)
T = o, Wi=n'it.
On pourrait déduire de tout cela que les quantités que nous avons appelées Wj et n'- au n° 129 sont développables non seulement suivant les puissances de u., mais suivant celles de Ecoswo? E sinfPo; et comme ces quantités sont des constantes indépendantes de w.2i qu'elles sont développables suivant les puissances de [a et de E2.
137. Solution périodique. — Je suppose que, dans les équations (43), je fasse
T = o, Wi = Il'i t -1- TO/,
j'aurai une solution des équations du mouvement (où ne figureront pas de termes séculaires) et qui dépendra de quatre constantes arbitraires
Donnons à la constante arbitraire E la valeur zéro; tous les termes du développement (43) disparaîtront sauf ceux pour lesquels on a ^ = o et par conséquent /r2= o. Ces termes ne dépendront pas de (Vo.
Donc, pour cette solution particulière, les inconnues L,, ^, r,, X4 — (Vi sont fonctions de w^ seulement; de plus, ce sont des fonctions périodiques de <V) et par conséquent du temps.
Les distances mutuelles des trois corps sont donc des fonctions périodiques du temps. C'est là une solution périodique dont l'importance est très grande.
C'est celle que nous avons étudiée en détail au Chapitre III du Tome I des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste sous le nom de solution périodique de la première sorte.
On voit que la solution périodique ainsi définie dépend de deux constantes arbitraires; nous avons fait en effet E^o, de telle sorte que nos inconnues ne dépendent plus de (Vo? ni par conséquent de TTTo- Il reste donc deux constantes
L{, Toi.
Les inconnues L, et ^ sont développables suivant les cosinus
rgS^ . CHAPITRE VII.
des multiples de (ï',, et les inconnues Wj et ■f\ suivant les sinus des multiples de (v, . Il en résulte que quand cC) est un multiple de 271, il j a conjonction sy/nétrique^ c'est-à-dire que les trois corps sont en ligne droite (la petite planète étant entre le Soleil et Jupiter) et que leurs vitesses sont perpendiculaires à la droite qui les joint. Au contraire, quand (V) est égal à un multiple impair de it, il j a opposition symétrique, c'est-à-dire que les trois corps sont en ligne droite (le Soleil étant entre la petite planète et Jupiter) et que leurs vitesses sont perpendiculaires à la droite qui les joint.
Ainsi les conjonctions et les oppositions symétriques se succèdent périodiquement.
Si nous prenons, pour origine du temps, l'instant d'une conjonction symétrique, nous aurons tH) = o, et il nous restera une seule constante LJ ; comme le moyen mouvement dépend de cette constante, nous voyons que le moyen mouvement peut prendre toutes les valeurs possibles et qu'à chaque valeur du moyen mouvement correspond une trajectoire périodique de cette sorte.
Dans la pratique, E n'est pas nul, mais très petit, de sorte que la petite j)lanète s'écartera peu de cette trajectoire périodique.
138. Remarque. — Reprenons nos développements (20); nous avons vu au n" 132 que, pour obtenir les développements (21), il fallait ou bien y faire t == ^, {Vi= nit^ ou bien y faire t=o, iVi= n'-t et développer ensuite suivant les puissances de p., c'està-dire suivant les puissances de n'- — /z/.
Cela revient à dire c|ue si l'on prend les développements (20) ; si on y fait 'z = o, qu'on remplace iVi par (ï'i + (/î/ — tii)"^ et que l'on développe ensuite suivant les puissances de t, on retrouvera les développements (aS) d'où l'on est parti.
Nous avons vu que l'on satisfait aux équations du mouvement en faisant dans les développements (20)
T = o, (T'/= ll'it -+- T7T/.
Il résulte de la remarque que nous venons de faire que l'on y satisfera encore en faisant
-^ =/(0, Wi = .n'it -\- wi-^{ni— n'i) f{t), f{t) étant une fonction cpielconque du temps.
Si, en particulier, nous faisons y (^)== i + c, nous voyons cjxiel'on satisfait aux équations du mouvement en faisant
T = ^ -1- c, IV i =: jiit -h wi -{-(rii — n'i) c.
Nous voyons ainsi que la constante c[ue nous avons appelée ei n'est autre chose que
7^1-+- {ni— ni)c.
Au lieu des développements (20) envisageons les développements (28) où figurent les constantes Lj et Xj qui sont les valeurs moyennes des inconnues. Ce qui caractérise ces développements c'est c|ue «'/ et \\ n'y figurent que par la combinaison ^Vi-\-\\] nous aurons donc
L,- ou X,- = /( L,' , tp/ 4- X} , T ) .
D'après la remarque c[ue nous venons de faire, on retrouve les mêmes développements en remplaçant t par zéro et wi par Wi-{-(^n'i — ni)^; nous aurons donc
Li ou \i=f[hl^ Wi^\}-^{n'i— ni)xy,
si l'on remplace t par zéro et (V; par Ji'-t + ttt/, on a
Li ou h = fi L/ , n'it-{- T^i -f- X J ) ,
si l'on remplace t par t -{- c el (V/ par nit + Si, on a
Li= X/ = /[L}, n'it -h lj -+- Zi-^(n'i— ni)c].
Chacune de ces formules ne contient, comme il convient, que 2.71 constantes arbitraires réellement distinctes, à savoir L] et ' TO/+}vj- pour la première ; Lj et X'- + î/ + (/z^- — mjc pour la seconde.
139. Revenons au cas général du problème des trois corps. Au n° 104 nous avons montré que le terme général du développement des inconnues est de la forme
|ji« A DlLo ^'" cos(v « 4- /i),
et nous avons classé les termes d'après leur rang, c'est-à-dire d'après la valeur du nombre a — m.
Au n° 106 nous avons démontré trois théorèmes au sujet du rang :
1° Il n'y a pas de terme de rang négatif; 2" Il n'y a pas de terme séculaire mixte de rang nul ; 3° Il n'y a pas de terme de rang nul dans le développement de oL/.
Le problème dont nous allons nous occuper maintenant est la recherche des perturbations séculaires des planètes, c'est-à-dire la recherche des termes de rang nul.
L'importance de ce problème ne peut échapper à personne, puisque c'est de ces termes de rang nul que dépendra la configuration du système solaire dans un avenir éloigné.
Pour calculer ces termes de rang nul je vais reprendre les équations (9) du n° 106 que je récris
Nous savons que dans les ôL^ il n'y a pas de terme de rang nul;
occupons-nous donc d'abord de rechercher les termes de rang nul de ù^i et de 8yi/.
Pour cela prenons la deuxième et la troisième équation (i), et dans les deux membres de ces deux équations ne conservons que les termes de rang nul (en efïet, les deux membres devant être identiques, les termes de rang nul du premier membre sont égaux aux termes de rang nul du second membre).
Les dérivées de F, sont de la forme
(2) ^BDXL',
où B est à un facteur constant près une des dérivées d'ordre quelconque de F, où l'on a substitué, à la place des inconnues L^, "ki, ^i, Y) j, leurs valeurs de première approximation L^^, nit-\-X^, ç,% v)^. Quant à Dit', c'est un monôme entier par rapport aux oL/, oki,
Nous avons vu au n" 106 que les termes de rang nul de o^i et de o'r\i ne peuvent provenir que des termes de rang nul de — -r— et -j^ dont ]e rang s'est élevé d'une unité par la multiplication par p. et s'est abaissé ensuite d'une unité par l'intégration.
On obtiendra un terme de — ~ ou -jr- en prenant clans le
développement (2) un terme BOlt'; ce terme est le produit de plusieurs facteurs qui sont d'abord B et ensuite les divers facteurs oL, ... de OÏL'. Il faudra prendre un terme dans chacun de ces facteurs et en faire le produit; on obtiendra ainsi différents termes du développement de BOlo'.
Nous prenons un terme dans chacun des facteurs ; aucun de ces termes ne peut être de rang négatif; le rang du produit ne pourra donc être nul que si tous ces termes sont de rang nul. Tous les termes de rang nul des oL, o^, o-r\, ok sont séculaires purs. Tous les termes de rang nul du développement de D]V sont donc séculaires purs, puisqu'ils sont le produit de plusieurs termes séculaires purs.
Chaque terme du développement de DTJ doit être multiplié par un terme du développement de B pour donner un terme du développement de BOIL'. Un terme du développement de BD\V ne peut donner un terme de rang nul dans o^ ou ùr^ que s'il est lui-
même de rang nul et séculaire pur. Il doit donc être le produit d'un terme de DK' qui doit être de rang nul et par conséquent séculaire pur, par un teiune de E qui doit être lui-même séculaire pur si l'on veut que le produit soit séculaire pur. Bien entendu les termes deB que j'appelle séculaires purs sont constants et ne contiennent aucun facteur «'". Je les appelle ainsi simplement parce qu'ils ne contiennent pas de facteur trigonométricjue.
Nous sommes donc amenés à rechercher les termes séculaires purs de B. Soit
Fi = "V A cos(A-iXi-+- A-oXa-f- A),
où A et 11 dépendent des L, des \ et des r;.
Pour ohtenir B, il faut prendre une des dérivées d'ordre quelconque, de Fi, multiplier par un facteur numérique et remplacer ).;■ par nit-\-\^- et les autres variables par des constantes.
Considérons un terme quelconc[ue de F,. Si Ai etAo ne sont j)as nuls à la fois, dans toutes les dérivées de F, le terme correspondant contiendra en facteur le cosinus ou le sinus de ks\\ + k'>\<^-\- A; quand on y aura substitué nit-{-\^- à la place de 'ki, il contiendra en facteur le cosinus ouïe sinus de vi:=A iX^ + A^o)^"+/i, et comme V ne sera pas nul, il ne sera pas séculaire pur.
Pour avoir les termes séculaires purs de B, il suffit de réduire F, à ses termes indépendants de )., et Xo- L'ensemble de ces termes sera désigné par R; c'est ce que l'on appelle la partie séculaire de la fonction perturbatrice .
Soit alors Bo l'ensemble des termes séculaires purs de B. Nous voyons que Bo sera formé avec les dérivées de R comme B avec celles de Fi .
Soit OIL^ ce cpie devient Oit' lorsqu'on y remplace oL, o^, o-/i, oX par leurs termes séculaires purs de rang zéro. L'ensemble des tei^mes de rang zéro de
y BD1V
sera alors
Comment avions-nous formé VBDIl'? Nous avions pris l'une
des deux expressions
df\i' . d\i' nous y avions remplacé
par
et nous avions développé suivant les puissances de
• oLm ô>v, Si,-, o'/jj.
Soient alors
DL„ DX„ D^„ Dti,-
l'ensemble des termes de rang zéro de
oL/, oX,-, oçi, o-r];.
D'après ce que nous venons de voir, ^BoDILq est formé avec
R, DL/, Dl/, DH/, Dti/ comme ^^^It' avec F,, oL/, SX/, o^/, ô-/]/.
On obtiendra donc \^Bo01t[, en prenant l'une des deux expressions
dl\ d^^
drii' . d\i' en y remplaçant
par
et développant suivant les puissances de
DL,, DX„ Dl; Dqi.
Prenons la deuxième équation (i) Nous avons
d'où
( ^BDXl'dt.
Si nous égalons dans les deux membres les termes de rang nul, il
vient
Or Donc
Dï,=
BoDlt; dt.
BoDrL; = -
dR
dni
Blr
dr,i
Si nous réduisons ^i à ses termes de rang nul, c'est-à-dire à y + Dij, on aura
dh dBl-
dt dt '
et, par conséquent,
dli dR dt ^^d-rii
et de même
dr^i dR dt ~^ d\i
Dans les deux membres des équations (3) et (4), il faut remplacer
par
Mais DL/ est nul, puisque L/ ne contient pas de terme de rang nul. De plus R ne dépend pas des )./, et il en est de même par
conséquent de ;7j- et de -j—; donc les \i ne figurent pas dans les
équations (3) et (4).
Il suffira donc de remplacer
par
L°, ^? + Dï,, TiF + Dïi,.
Ainsi les équations (3) et (4), où l'on doit regarder les Lj comme des constantes, forment un système d'équations canoniques qui définissent les termes de rang nul des \ et des '/i et par consécjuent les perturbations séculaires des excentricités et des inclinaisons.
THEORIE ÉLÉMENTAIRE DES PERTURBATIONS SECULAIRES. 2o5
140. L'analyse précédente peut se présenter sous une forme un peu difTéreiite, quoique au fond équivalente.
Considérons le terme général du développement (i i) du n'^ 108;
il s'écrira
;j.=' A-:'» cos(/.-i (P'i -r- k-2 (ï-'o -t- h);
comme il ne peut être de rang négatif, on a m<Ca. Si donc je pose
'x-: = t', notre terme s'écrira
de sorte que nos développements procéderont suivant les puissances positives de u et de t', et suivant les cosinus et les sinus des multiples des w.
Ces développements satisferont aux équations du mouvement et en particulier à l'équation
dh __ dFj^
dt ~ '""f/r,/'
quand on v fera
t'= |jL(f-l-c),
iVî= r,
it-+- £/.
]Mais on a alors
dh ,. dh dt=^'^'=^d'-J
dh diVi
dh ^riî-j —
Notre équation devient ainsi
dFi dr,i
Les deux membres de cette équation sont développables suivant les puissances de 'j., de t'. et les cosinus des multiples des (v.
Nous obtiendrons les tei'mes de rang nul de zj ou ceux de — -—"
en y faisant jjl = o (je suppose, bien entendu, que, quand je fais <j. = o, T demeure fini). Dans ces conditions, ij réduit à ses termes de rang nul ne dépendra plus des (v, puisque tous les termes de rang nul sont séculaires purs, de sorte que
dh
Faisons de même u. = o dans —j^; cela revient à remplacer dans
cette dérivée les inconnues L/, ç/, '/],-, Xi par l'ensemble de leurs termes de rang zé7'0, c'est-à-dire par L", ç" + Dçj, 7j" + Dv1j, . ^î^+ tVi+ Bli. Soit donc
un terme quelconque de — ~t^' où A dépend des ^, des ri et des L. Si, dans ce terme, je remplace
par
il deviendra
cos Afl . (/il (t'i-f- /:=)»^»)+ A), sin ^ - ''
OÙ Ao est ce que devient A après cette substitution, tandis que h = A-i X« 4- /.-a XS -H Al DXi + A-, DX, .
Les termes de rang zéj^o sont séculaires purs et par conséquent indépendants des w, il en résulte que Aq et h sont indépendants des (V. Donc notre terme a pour argument A', tV| + AoWo.
Or nous ne devons conserver que les termes séculaires purs, c'est-à-dire indépendants des n\ Ce sont ceux où A", ^A^^o,
, , ,. . - !• 1 clF, . -, ,
c est-a-dire ceux qui proviennent cl un terme de — -r— indépendant de A, et de Xo.
Or l'ensemble des termes de — —r^ indépendants de À, et de Xo,
. ■ , ^R c est précisément r— •
Si donc nous égalons, dans les deux membres de l'équation (5),
les termes séculaires purs de rang un je dis un et non zéro, parce
qu'un terme de rang zéro de ~ me donne un terme de rang un
du second membre de (5) — V'~^ r J® trouve
,rs dit d^
OÙ il faut remplacer L/, i/, 'f\i par L", i^^ + Dç,, T|^" + Dyi/, c'està-dire réduire L/, li, 'r^ à leurs termes de rang nul. Je trouve de même
Comme d'ailleurs, quand ^ el't\ sont réduits à leurs termes de rang nul, on a
je puis écrire
^ ^ d'çi dR drif dR
^7) -dT=~'^'-d^i' -di-^'-dTi'
Les équations canoniques (7) nous donneront donc les termes de rang nul des \i et des r^t.
141. Comment pourrait-on se servir de la dernière équation (i)
pour calculer les termes de rang zéro de oX^-; ces termes sont ce que nous avons appelé DXf.
Nous avons vu au n° 106 que l'intégrale
d<i> , dt
J dLi
ne peut nous donner que des termes de rang un, au moins. Quant à la première intégrale
les termes de rang zéro qu'elle pourrait nous donner ne pourraient provenir que des termes de rang un séculaires purs de
'""'—'■^fki'"
Or Poisson a démontré que ces termes n'existent pas.
, Ainsi nous n'avons à considérer que la troisième intégrale; mais
nous ne pourrons l'établir qu'après avoir démontré plus loin le théorème de Poisson.
Quant à la troisième intégrale, on verrait comme au numéro précédent que les termes de rang zéro qu'elle peut donner sont compris dans la formule
dh/''
de sorte qu'il reste
Dans le second membre -tj— dépend des L,, des ^f et des ■/■;,-, mais^
ne dépend pas des \i\ il faut bien entendu y remplacer L,, ^/, -/î/ par L^", \i-^ Dç,-, -/]/+ Dïii.
Donc, quand on aura déterminé à l'aide des équations (7) les termes de rang zéro des \ et des y;, c'est-à-dire les perturbations séculaires des excentricités et des inclinaisons, il suffira d'une simple quadrature pour déterminer les termes de rang zéro des )^, c'est-à-dire les perturbations séculaires des longitudes moyennes.
142. Forme de R. — Connaissant par le Chapitre IV la forme de F<, nous pouvons en déduire R, puisqu'on obtient R en supprimant dans Fi les termes qui dépendent des À.
Nous avons vu aux n° 83 et 86 que l'on a
A dépendant seulement des L^. Nous avons vu que les entiers 2 q et p satisfont aux conditions
"i-qi^Pi (moda), "i-qt^XPiV
Nous avons vu au n° 87 que
et enfin au n" 88 que /?o -{-/>/, est toujours pair.
Voyons quelles sont les conséquences de tous ces faits. Nous
THÉOKIE ÉLÉMKNTAIRE DKS PERTURBATIONS SECULAIRES. 'iOg
voyons que F, est développable suivant les puissances de
çi= /?. P;COsw/, 7]/= v/ap^- sinw/.
Il en est donc de même de R et le degré d'an terme quelconque par rapport aux ^ et aux t] est précisément
Dans R tous les k sont nuls; et l'on a et par conséquent
et comme 2q est de même parité que p
■1 ^^ q ^ o (modaj.
Ainsi le développement de R suivant les puissances des ^ et des r\ ne contient que des termes de degré pair.
A cause de la condition \ yo = o, nous voyons que R ne changera pas quand on changera ç/ et -r\i en
\i cose — -f]/ sine, c; sine -f- r,,- cose.
On a
Pi^ Pk^ o (mod'i).
C'est-à-dire que la somme des entiers p relative à toutes les variables obliques (c'est-à-dire aux variables qui déterminent les inclinaisons) est paire.
Et comme on a
on aura aussi
Pi + Pi=o (moda),
c'est-à-dire que la somme des entiers p relative à toutes les variables excentriques (c'est-à-dire aux variables qui déterminent les excentricités) est paire.
Gomme iq est de même parité que />, on en conclut que iq.>-^ 2^4 et 2^1 + 2^3 sont également pairs.
Ainsi Le développement de R suivant les puissances des \ et des Y) ne contient que des ternies qui sont de degré pair, tant par rapport aux variables obliques que par rapport aux variables excentriques.
Toutes ces propriétés s'étendent immédiatement au cas où il j a plus de trois corps.
143. Dans une première approximation, nous pouvons négliger les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons. C'est ce qu'a fait Lagrange. Les équations (^) prennent alors une forme particulièrement simple.
Soit en etfet
R = Ro + R, -t- Ri ^ . . .
le développement de R où nous désignerons par Ry, l'ensemble des termes de degré p par rapport aux ç et aux v^. Si nous négligeons les quatrièmes puissances des \ et des /], il restera
R ^ Ro -I- R2,
et comme R.o ne dépend pas des ç et des -ri, nos équations ('j) deviendront
, . dh dK=, dr\i «fRi
( 7 OIS ) — .— = — (i. -1 — ; —r- = M- —PT '
^^ ' dt ' dcii ' dt ^ d\i
Gomme R2 est du second degré par rapport aux \ et aux -/] les seconds membres seront linéaires par rapport aux \ et aux v) ; et les coefficients de ces expressions linéaires ne dépendent que des constantes L".
Les équations ('- bis) sont donc des équations linéaires à coefficients constants.
Nous savons ensuite que tous les termes du développement de R sont de degré pair à la fois par rapport aux variables obliques et par rapport aux variables excentriques; dans Ro nous pourrons donc avoir des termes de degré deux par rapport aux unes et zéro
THEORIE ELEMENTAIRE DES PERTURBATIONS SECULAIRES. .i II
par rapport aux autres, ou inversement; mais nous ne pourrons pas avoir de termes de degré un par rapport aux unes et un par rapport aux autres.
On aura donc
R^ dépendant seulement des variables excentriques et R'^ seulement des variables obliques. Le système (7 bis) se décomposera donc en deux autres
dh dW., dfii dK',
il ter) -y- = U. ' ; —j— = M- /)• ' >
^ ^ ' dt ^ dr^i dt ^ d\i
d\i dW=y di\i dK\
{'j quater) —j- = — \i-
