IJ

dt ^ di\i dt ' d\i

Le premier où ne figurent que les variables excentriques déterminera les perturbations séculaires des excentricités; le second où ne figurent que les variables obliques déterminera les perturbations séculaires des inclinaisons.

D'autre part, Fj ne change pas quand on change les signes des X et des w, c'est-à-dire les signes des X et des 'f\ [voir n" 86); donc R et Ro ne changeront pas quand on changera les signes des y]. Donc Ro ne contiendra que des termes de degré deux par rapport aux ^ et zéro par rapport aux Tj, ou inversement, mais pas de terme de degré un par rapport aux ; et un par rapport aux i\ ; il en sera de même de R', et de R^. On aura donc

où SI et S',', ne dépendent que des ^, tandis que T^ et T'!, ne dépendront que des r, .

Nous avons vu ensuite que R ne change pas quand on change ^ et 7], en ^ coss — t) sine et ç sine H- t, cose. Il doit donc en être de même de R!, et de R", ; mais dans ces conditions R', devient

82(5 cose — -r] sins)-!- T', (; sins -\- tq cose), ou

cos'-e Sq ( ^) — 2 cose sin e ^ r] ' -1- cos^e Si (ir] )

-+■ sin^e Tg (ç)-+- 2 cose sine / ^ —j-^ -I- cos^e Tg (r; ).

Pour que cette expression, quel que soit e, se réduise à il faut que l'on ait

c'est-à-dire que S^ soit formé avec les l comme T^ ai'ec les t]. De même pour S"., et T'I.

JNos équations deviennent alors

dii dl', drii d^',

(^•^^ -dt^-^^' -dï = ^Xi'

pour les variables excentriques et

dii dTl d(\i dSl

pour les variables obliques.

144. Intégrales diverses. — Les équations (lo) ou (lo bis) admettent un certain nombre d'intégrales importantes. D'abord le système (lo) ou (7 te/-) admet l'intégrale des forces vives

(1 1) R'^ = const.

De même le système (10 bis) ou {'j quater) admet l'intégrale des forces vives

(i I bis) Rj = const.

Prenons maintenant les équations (10), multiplions la première par \i^ la seconde par 'T\i et ajoutons ; il viendra

Mais, en vertu des équations (9), le second membre est nul; nous aurons donc

(12) \^(|- -+- -ri?)= const.

THÉORIE ÉLÉMKNTAIRE DKS PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 2l3

La sommation doit être étendue à toutes les variables excentriques.

En traitant de la même manière les équations (lo bis), on trouverait

(l'ibis) \ (^,- -1-- T),^ )= const.;

la sommation étant étendue cette fois à toutes les variables obliques.

Les intégrales (12) et (12 bis) ne sont pas autre chose que les intégrales des aires. Nous avons vu en effet au n" 90 que ces intégrales s'écrivent

'I2I/L1 — Pi— ~ —'nk{/U— p.3— ^ = con

st.

- const.,

y L — -7 p = const.

S'il j a plus de deux planètes, nous écrirons plus généralement

— = const.,

■'I — Pi — = const.,

I ^<^Li — pi — P2) = const.;

le signe ^ signifiant que le terme explicitement exprimé

— 1^2 1/Li— Pl

se rapporte à la première planète et qu'il faut y ajouter les termes analogues relatifs aux autres planètes.

La troisième équation (i3) peut s'écrire

(i4) V L- -V(^2-^ tqS )= const.,

la sommation s'étendant cette fois à toutes les variables ç et y^ tant excentriques qu'obliques. Cette équation doit être identiquement vérifiée quand on y substitue, à la place des inconnues L, ^ et y),

2l4 CHAPITRE Vill.

leurs développements suivant les puissances de ui, de t et suivant les cosinus et les sinus des multiples des w; ou bien encore, si ayant posé [j.t = t' comme au n° 140, on substitue aux inconnues leurs développements suivant les puissances de [a, de t' et suivant les cosinus et les sinus des mvdtiples des w.

Le premier membre se présente alors comme une fonction de pi, de t' et des (v, et cette fonction doit se réduire identiquement à une constante; elle se réduira encore à une constante quand on y fera jj. = o .

Or si l'on fait ij. = o, x' restant fini, les inconnues L, ^, rj sont réduites à leurs termes de rang zéro, ce qui veut dire que l'équation (i4) est encore vérifiée quand on réduit les inconnues à leurs termes de rang zéro.

Or dans ces conditions L^ se réduit à L,^ puisque oL/ ne contient

pas de terme de rang zéro; de sorte que 2, L ^st une constante. Il reste donc

Tj2) = const.,

les ^ et les y] étant supposés réduits à leurs termes de rang zéro. C'est la somme des équations (12) et (12 bis).

145. Remarque. — Il faut observer que nous avons fait implicitement une hypothèse qu'd est nécessaire de signaler parce qu'elle pourrait passer inaperçue : c'est que toutes les planètes tournent dans le même sens. Voici comment elle s'introduit.

Nous avons posé

G = L / 1 — e'^, 6 = G cos i.

Si donc L est positif, G est plus petit que L et positif lui-même; © est également positif et plus petit que L. Il en résulte que

pi = L — G, p2 = G — • 0

sont positifs et que les ^ et les '/] sont réels.

Si au contraire L est négatif, il en est de même de G et par conséquent de

Pj=:L(i — \/ 1 — e-). p2=G(i — cosi) Donc les ^ et les r^ sont imaginaires.

THÉORIE ÉLKMKNTAIBE DES PERTURBATIONS SÉOIÎI.AIRES. 2l5

Si donc nous voulons que les ^ et les y] soient réels, il faut que les L soient positifs, (^r le moyen mouvement d'une planète est égal à un facteur positif (dépendant des masses) divisé par L'. Supposer les L positifs, c'est donc supposer que tous les moyens mouvements sont positifs, c'est-à-dire que toutes les planète? tournent dans le même sens.

Supposer les L positifs, ce n'est pas restreindre la généralité. En effet, une planète qui se ment dans le sens rétrograde sur une orbite d'une inclinaison i peut être envisagée comme une planète se mouvant dans le sens direct sur une orbite d'une inclinaison 7t — i. Il est donc permis de supposer que toutes les planètes se meuvent dans le sens direct.

Mais, dans l'analyse qui précède, nous avons supposé les inclinaisons très petites. Elle ne s'appliquerait donc pas à des planètes se mouvant sur des orbites dont les inclinaisons seraient très petites, mais qui ne se mouvraient pas dans le même sens; il faudrait en effet les envisager comme des planètes se mouvant toutes dans le sens direct, mais dont les inclinaisons seraient très petites pour les unes, très voisines de i 80" pour les autres.

Si l'on voulait néanmoins appliquer à ce cas les formules analytiques précédentes, cela serait licite, mais à la condition de se rappeler que quelques-uns des ^ et des ri seraient imaginaires.

Peu importe d'ailleurs puisque ce cas ne se présente pas dans la nature.

146. Il s'agit d'intégrer nos équations linéaires (10) ou (10 bis). S'il y a Az + I corps, soit n planètes, il y a 2 n variables excentriques et 2/1 variables obliques. Chacun de nos systèmes sera donc d'ordre in.

On sait quelle est la forme générale des solutions d'un système d'ordre p d'équations différentielles linéaires à coefficients constants. Soient

les inconnues; soient

les racines d'une écjuation algéljrique facile à former et dite équation déterminante .

ai6 CHAPITRIi VIII.

A chacune des racines a^ correspondra une solution particulière du système qui s'écrira

les B//; étant des constantes faciles à calculer; et la solution générale sera

Xk^- A, Bi/,e3'i ' -h Aa B,/, e«2 « -h . . . -t- A,, B/,/,e«;; ^

les A étant des constantes arbitraires.

Dans le cas où l'équation qui donne les a a des racines multiples, il peut y avoir en outre des solutions dites r/égéjiérescentes qui sont de la forme

37/,= Vi,,e^it,

P,7, étant un polynôme entier en ^.

Nous allons appliquer ces principes soit au système (lo), soit au système (lo bis). J'observe d'abord que l'équation qui donne les a ne peut avoir de racine réelle différente de zéro. Si en effet elle avait une racine réelle a, le système admettrait une solution de la

forme

^<.= G/.e°'S Ti/.= D/,ea',

les G et les D étant des constantes. On aurait donc

Mais le premier membre doit être une constante, le second serait

une constante 7 (G^-(-D^.) multipliée par un facteur variable e-^^.

Cela n'est possible que si les deux membres sont nuls. On aurait donc

c'est-à-dire

^ = TT) = o.

Je dis maintenant que l'équation ne peut avoir que des racines purement imaginaires, c'est-à-dire dont la partie réelle soit nulle. Soit en effet a == [^ H- ^y une des racines et supposons que la partie réelle (^ ne soit pas nulle. Le système devra admettre une solution

THÉORIK ÉLÉMENTAIRIi DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 217

particulière de la forme

^;,, = (G/,4-tG'/,)e(P+'Y)S

Cette solution est imaginaire, mais la solution imaginaire conjuguée satisfera également aux équations linéaires, il en sera de même de leur demi-somme qui est la partie réelle

^/^. = G/,.eP^ cosy^ — G/,.eP' sin y?,

r\/, = D/, eî^'cosy^ — D/.é"P' siny?, d'où

= ^1(^1.+ D|)e2p^cos2y< — 2 V(G/,Gi.-f- D/,D;,)<?2pf siny ? cosyf

Or, si [3 n'est pas nul, entre les cpiatre fonctions i, e-P'cos-y^, e-P^sin-y^, e-^^cosy/ sinv^^ il n'y a aucune relation linéaire à coefficients constants. L'égalité précédente, dont le premier membre est une constante en vertu des équations (12) et (12 bis), ne peut donc avoir lieu que si tous les termes sont nuls. On a donc encore

d'où

^ =ïi = 0.

Je dis maintenant que notre système ne peut admettre de solution dégénérescente. Supposons en etïet qu'il en admette une

(l5) ï/,= P/,,,.a^ ^/,= Q^,gaf,

les P/t et les Q/f étant des polynômes entiers en t.

Je puis toujours supposer que ces polynômes sont du premier degré. En effet, si le système admet la solution (i5), il admettra également la solution

{i5 bù) li^.= V',,e^t, .7]/,= Q;,e*S

où P^ et Q^. sont les dérivées de P^ et de Q^.

2l8 CHAPITRE Vlll.

De plus a sera purement imaginaire; car si nous avons la solution (i 5) où P/f etQ/f sont supposés du premier degré, nous aurons aussi la solution (i5 bis) où P^. et Q^ seront des constantes et à laquelle s'appliqueront les raisonnements précédents par lesquels nous avons établi que a doit être purement imaginaire.

Soit donc a :^ i'y; la solution (lo) sera imaginaire, mais la solution imaginaire conjuguée satisfera également aux équations, ainsi que la partie réelle. Cette partie réelle se composera d'un terme en f cosy^, d'un terme en isiny^, d'un terme en cosy^, d'un terme en siny^. Soit donc

Ç/.-+Ç/.-, 'nk='f\k^'^k

cette partie réelle, où ^'/^ et y)'^ représentent l'ensemble des deux termes en Acosy^ et ^siny^, et où ^')^ et yj^ représentent l'ensemble des deux termes en cosy< et sinyi.

On aura alors

^(W^ -ni) =^{ ^k + -rlk ) + 2 2 ^ '^'^ '^''' '^ '"^'"'^''^ ) "^ 2 * ^'^' ^ '^^ ^'

Le premier membre doit être une constante en vertu de l'équation (12).

^^{^'k^'k^-r{k'f\'k) « tcos-^^t, tsin^-;t, ^cosy^siny^,

^(^A^ -t- ■'q'/i^ ) » cos^Y?, sin^yï, cosy^sinyZ.

Or, entre les dix fonctions 1 , tP cos-y^, tP sin- j'^, tP cosy / siny< (jO = o, 1,-i), il n'y a pas d'autre relation linéaire à coefficients constants que

cos^Y ^ H- sin2 yi = I.

L'équation précédente ne peut donc subsister que si les termes en t- ont tous pour coefficient zéro ; on a donc

d'où

ù = 'nk= o,

ce qui montre que les polynômes P^ et Q^h doivent se réduire à des constantes, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de solution dégénérescente.

147. Nos équations ne changent pas quand on change ^ en — 7\ et Yi en Ç, puisque Sa est formé avec les Ç comme T-, avec les ■/]. Si donc elles admettent une solution

^/, = C/,e'^(, -1)1,= D/,e2'^ elles admettront également la solution

De plus, elles ne changent pas non plus quand on change 'r\ en — T^ et t en — t, de sorte qu'elles admettent également les solutions

ik^ C/,e-«, Tr)A-= — DA■e-«^

f^. = — D/,e-«', '/!/,= - GA.e-«'. Elles admettront donc en outre les solutions

'^ ' fA,= (C/,+ îD,t)e«S rik=^-iiCk^iBk)e=^i

Si donc D/f^d= /G/r, l'une des deux sokitions (i6) disparaît et la racine a peut être simple.

Si, au contraire, D^f n'est pas égal à dz iCh-, les deux solutions (16) sont effectives l'une et l'autre et la racine a doit être double; mais les solutions (i6), déduites l'une et l'autre de la solution donnée, jouissent de la même propriété; la valeur de r^h est égale à celle de ^k au facteur près ± i. Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer

D;t = ±fGA-.

Soit donc

(17) U=C/ce^'[', ■r,k = ±iCkeilt.

D'après ce que nous avons dit plus haut, nos équations admettront aussi comme solution

il j bis) ^A- = Gk e-iyi, T) A- = + i Ga- e-'T '.

Si Y est racine simple, il n'y a pas d'autre solution en e'ï', ni en

2'20 CHAPITKE VIII.

e~'T^; de sorte que ces deux solutions doivent être imaginaires conjuguées, d'où l'on conclut que C^- est réel.

Si Y est racine double ou multiple, il faut modifier un peu le raisonnement. Si nos équations admettent la solution (17), elles admettront la solution imaginaire conjuguée

OÙ C). est imaginaire conjugué de G/t, et par conséquent en changeant ■/] el t en — Y| et — t :

et, par conséquent,

U={ Ga-^- G^.)e'Y', ■n/,=:± i(GA-+ Gl)e-iJ^,

où le coefficient Ca+ G^ est réel.

Nous pouvons donc toujours supposer que dans la solution (17) le coefficient C/f est réel.

Je dis maintenant qu'on peut toujours supposer que si l'on envisage le signe zh placé devant i dans la formule (17), c'est le signe + qu'il faut prendre. Si, en effet, c'était le signe — , il suffirait de changer Y en — y 6t l'on retomberait sur la formule (17 bis) où le signe ± est renversé.

Si nos équations admettent la solution (17), elles admettront également la solution imaginaire conjuguée, d'où l'on conclut aisément que la partie réelle de la solution (17)

(18) ^/. = G/,, cosy^, T)/,. = — Ga- siny^;

satisfait également aux équations.

Nous sommes donc conduits à chercher à satisfaire à nos équations par des expressions de la forme (18); on en conclut

Si nous substituons, par exemple, dans les équations (10), elles deviennent

Comme S'^ est formé avec les ^ comme T., avec les -/j, ces équations établissent entre les t) les mêmes relations linéaires qu'entre les i; il suffira donc de considérer l'une d'elles, par exemple

Considérons les n variables excentriques ^ comme les coordonnées d'un point dans l'espace à /? dimensions; l'équation

représentera une surface du second degré dans cet espace. J'appelle 2, cette surface. Si n ^= i^ c'est-à-dire dans le problème des

trois corps, cette surface est une ellipse dans un plan; si ai z= 3, c'est-à-dire dans le problème des quatre corps, c'est un ellipsoïde dans l'espace ordinaire.

Cherchons les axes de cette svirface ^. Pour cela, considérons la sphère

Cherchons à déterminer X^ de façon qu'elle soit bitangente

à 2,'i alors X sera la longueur de l'axe correspondant et les deux

points de contact en seront les extrémités.

Or on sait qu'on arrive à ce résultat en envisageant la surface conique

et exprimant qu'elle a une droite double; on trouve ainsi les équations

Ces équations nous donneront les valeurs de ).-, et les valeurs des \i qu'on en déduira seront proportionnelles aux cosinus directeurs de l'axe correspondant. Or ces écpations s'identifieront aux équations (19) si l'on suppose

Donc les valeurs des y sont en raison inverse des carrés des axes de la surface S', = i , et sont égales à

2 [JL

Quant aux l^ et, par conséquent, aux coefficients G^, ils sont proportionnels aux cosinus directeurs de l'axe correspondant.

Les solutions de la forme (i 8) sont donc entièrement déterminées quand on connaît les axes de la surface S., = i en grandeur et en direction.

Une surface du second degré de l'espace à n dimensions ayant n axes, nous avons n solutions distinctes de la forme (i8). De chacune d'elles nous pouvons déduire une solution plus générale contenant deux constantes arbitraires A et h :

ï/,= AG^. cos( Y? -+- h), t]^. = — AC/, sin(Yf -+- h).

En additionnant ces n solutions, on trouve une solution contenant 2/? constantes axbitraires; on a donc la solution générale du problème.

148. Intégrales quadratiques. — La solution générale s'obtient donc de la façon suivante :

Soit fi l'une des n valeurs de y, la solution particulière correspondante s'écrira

ï/,-= A-iCa cos(y,-^-i- hi), T,A. = — A,-G^/.sin(Y/^-H hf), et la solution générale sera donnée par les équations

(20) h~ = ^ A; Cik COS ( Y; ^ + hj )

(2i) T,A- = — ^A/Ca-sinfYi-H hi).

Des n équations (20), je puis tirer les n quantités

A cos(y^ -+- h) sous la forme

A; COS(Yi ^ + ^'/) - 7 D;7,-^/i-

THKOUIE KLÉMENTAIUE DES PEKTU KBATIONS SÉCULAIRES. li'i

De même, des n équations (21), je puis tirer les n quantités A sin( V t -h h),

et, comme les coefficients G sont les mêmes dans les équations (20) et dans les équations (21), il viendra

— A,- sin( Y,-^ -H hi ) = V D/^. r,/,. En faisant la somme des carrés, il vient

2D//,^/,j + ( 2 D,7.ï)/, j = A; = const.

Ce sont là des intégrales quadratiques de nos équations; il j en a /i, puisque l'indice i peut prendre les valeurs 1 , 2, . . ., n.

149. Intégrales linéaires. — Tout ce que nous venons de dire s'applique à la fois aux formules (fo), relatives aux variables excentriques, et aux équations (10 bis), relatives aux variables obliques. Voici maintenant une propriété qui appartient exclusivement aux équations (10 6w).

Reprenons les deux premières équations (i3). Ces équations doivent subsister quand les L, les ^ et les Tj sont réduits à leurs termes de rang zéro. Nous avons négligé dans R les quatrièmes

puissances des q, et, par conséquent, dans -^ les troisièmes puissances. Continuons donc à négliger les cubes des ^ et, par conséquent, les termes en ^p ou vip ; les deux premières équations (i3) deviendront

^r)2v/Li = const., 2^^,/L| = co

iist.

Dans ces équations, les L^ doivent être remplacées par leurs termes de rang zéro, c'est-à-dire par les constantes h^ et il reste les équations

(22 j % ^,/L'J = const., 7 r,,/^^ = const.

Ce sont des intégrales linéaires des équations (10 his).

Cela prouve que V équatiori qui donne y a une racine nulle.

Si nous prenons, en effet, la première équation (aa), la constante du second membre peut prendre une valeur quelconque, car les valeurs initiales des ^ peuvent être choisies arbitrairement. Supposons donc cette constante différente de zéro.

Substituons dans l'équation (22), à la place des ^, leurs valeurs (20); nous aurons alors une combinaison linéaire des

cos(y^ -f- A)

qui devra être égale à une constante différente de zéro. Cela n'est possible que si un des cosinus se réduit à une constante, c'està-dire si l'un des y est nul. c. q. f. d.

Gela veut dire que la surface du second degré S", = 1 a un de ses axes infini, c'est-à-dire qu'elle se réduit à un cylindre, par exemple à deux droites parallèles, si n = 2, à un cylindre elliptique si /i = 3.

Ou bien encore cela veut dire que la forme quadratique S" peut être nulle ainsi que toutes ses dérivées, sans que i, vi, . . . s'annulent. Dans ce cas, les équations (10 his^ se réduiront à

dt ' dt '

de sorte que les \ et les r, seront constants.

C'est ce qu'il est aisé de vérifier; supposons en effet que les orbites de toutes les planètes soient dans un même plan, mais que ce plan n'ait pas été choisi pour plan des ^, x-^.

Alors les inclinaisons ne seront pas nulles et les variables obliques ^ et 'T\ ne seront pas nulles non plus. Mais les planètes resteront constamment dans ce même plan; les longitudes des nœuds seront donc constantes, ainsi que les inclinaisons.

Or on a

p2 = (Lj— pi )(i — cosi).

Le terme p, (i — cos?) est du quatrième degré par rapport aux ^ et aux Yi; il a donc été négligé dans l'analyse précédente; il reste

donc

p., = L| (i — cost).

L, se rédviit à la constante L^, et i est constant d'après ce qui précède. Donc 02 est constant. Si 02 et CO2 sont constants, il en

est de même de ç.2 et de •/12, et de même pour toutes les variables obliques qui peuvent ainsi être constantes sans être nulles.

150. Les équations algébriques d'ordre Ji qui donnent les valeurs des Y ont été résolues numériquement par Lagrange d'abord, par Le Verrier ensuite. On trouvera des détails à ce sujet dans le Chapitre XXVI du Tome I de la Mécanique céleste de Tisserand.

Mais ni Lagrange ni Le Verrier n'ont employé les éléments canoniques. Il faut donc faire attention au changement de notation.

Au lieu de développer comme nous suivant les puissances des H et des 71, ils développent suivant les puissances des

A = e sinTîy, l = e coscr,

p =: tangisinô, q =: tangtcosO.

Mais en négligeant comme nous le faisons les cubes des excentricités et des inclinaisons, on a

Les L; se réduisent à des constantes LJ*, de sorte que les ^ et les 71 ne diffèrent des h, des /, des p et des q que par des facteurs constants. Le passage d'un développement à l'autre est donc immédiat.

151. Premier changement de variables. — Pveprenons les équations

, , d^i cTïL dc\i dS'.,

(^°^ ^=-'"^' -dF==^-dC'

Considérons la surface du second degré S'.,= i; cette surface est située dans l'espace à n dimensions et nous avons convenu que les n variables excentriques ^

Çl? ^3) bî • • • ) ?2«-l

représentent les coordonnées d'un point dans cet espace.

Rapportons maintenant cette surface à ses axes, que nous prendrons pour nouveaux axes de coordonnées. Soient

Çl7 ?3î S5' • • • » S2"— 1

les coordonnées courantes par rapport à ces nouveaux axes. Ce seront des fonctions linéaires des coordonnées anciennes

et l'on a d'ailleurs identiquement

car les deux membres de cette identité représentent l'un et l'autre la distance à l'origine du point de coordonnées courantes. On aura, puisque la surface S'., est rapportée à ses axes,

2[^S; = — ^T'ir-

Nous définirons de même les 7)' qui seront liés aux '/] par les jïiêines relations linéaires que les i' aux ^. On aura, par conséquent.

et identiquement

les sommations étant étendues à toutes les valeurs impaires de l'indice i. Le changement de variables est donc canonique, de sorte que le système (lo) devient

(9,3) -— =— \x-—^, ^ dt ^ df{i

d-ri'i

dS',

Nous opérerons sur le système

, , . , d\i dV, <'^^"^ dt= ^"-d-,?

df\i dt

dS%

relatif aux variables obliques, comme nous avons opéré sur le système (lo).

Nous envisagerons le point dont les coordonnées sont les n variables obliques

nous formerons la surface du second degré S'^ = i ; nous la rapporterons à ses axes; nous désignerons par

les coordonnées par rapport à ces nouveaux axes. Nous définirons Tio, 7)'^, ... de la même manière, c'est-à-dire que nous aurons entre les v]' et les t] les mêmes relations linéaires qu'entre les \' et lesi.

Dans ces conditions, nous aurons

2[aS';= — ^T/T/', 2[a J 2 = — 2jYrf.r,

les sommations étant étendues aux valeurs paires de i.

Le changement de variables sera donc canonique et le système (lo bis) deviendra

dr^ i d'è\

'■<^ùr

dt ~^ d'c:i

(23 bis)

D'ailleurs il est clair que

la sommation étant étendue à toutes les valeurs de l'indice i. Le ehangement de variables est donc canonique et le système (^) devient

, , d^i dK d'ri'i dR

^^'^ -di=-^d^' -dT = ^Wi'

Si l'on tient compte de la forme de SI,, T^, S" , T'ô, on voit que les systèmes (aS) et (aS bis) deviennent

di'i , dT{i

Ift -T''^" dt ~ ^'^''

d'où

^/= AiCOs{'(it^ hf), ri'i = — Ai sin {y it-i- ht),

Aj et hi étant des constantes arbitraires. On déduit de là

\'l- + r'i^ = const.

Ce sont les intégrales quadratiques du n° 148. En les combinant, on trouve

^C^r + 'n? ) = ^(Vï-^'nl) = const.,

2ï'( ^''' + ^''•' ) = - I^( s; + T; ) = const.,

les sommations étant étendues, soit à toutes les valeurs paires, soit à toutes les valeurs impaires de i. Ce sont les intégrales du n° 144.

Dans le cas des variables obliques, un des y est nul; soit

il reste

dt ~ dt ~ °' d'où

^2„= const., rj2,j= const.

Ce sont les intégrales linéaires du n° 149.

On voit avec quelle facilité on retrouve tous les résultats an Chapitre précédent.

152. Limitation des excentricités et des inclinaisons. — Ces formules nous donnent le moyen de trouver des limites supérieures que les excentricités et les inclinaisons des planètes ne pourront jamais dépasser. (Bien entendu, si l'on tient compte seulement des termes de rang zéî^o et que l'on néglige les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons.)

Nous avons trouvé plus haut les intégrales

d'où, pour un angle quelconque s,

|^;-cos£-l-rj;-sin£| < A^-;

THÉORIE ÉLÉMENTAIRIi; DES PERTURBATIONS SECULAIRES. 229

les Ai sont des constantes que l'on peut regarder comme des données de la question, puisqu'il est aisé de les déduire des valeurs initiales des ^ et des ri, et que l'on peut supposer positives.

Si l'on se reporte maintenant aux équations (20) du n*' 148, on verra que l'on peut supposer que l'on a

■=^ca/ù, r.=2^

lA- ÇA-'

J'observe en passant que dh, de même que D//f, représente le cosinus de l'angle que fait l'ancien axe des ^^ avec le nouvel axe des ^'- ; on a donc

On aura donc

^/, cos£ -H rj/, siiiî = ^G a- iVi cosz -i- i]i s\nt),

et, par conséquent,

1 ^k ces s + ■!]/, sin £ I < ^ A, I dk \ .

Or je puis toujours trouver un angle £ tel que

^/, coss -I- rik sins = V^^|-+- 'ql- 11 en résulte que (•25) \/'d+-d<^^i\Ga\,

ce qui nous fournit une limitation des excentricités et des inclinaisons.

11 est un cas où cette limitation devient illusoire. ISous avons en effet

Pi= Li(i — /i — e-), p2= (Li— pi)(i — cosj),

ou, en négligeant les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons,

Pi = Li — ) p2=Li— •

Li = 7n\ ]//ni -+- m-, y/ a,

a, e et i désignant le grand axe, l'excentricité et l'inclinaison de la première planète.

Il en résulte que

contient en facteurs la masse ?n\ ; cette expression est de l'ordre de cette masse multipliée par le carré de l'excentricité. L'inégalité (aS) nous donne donc une limite supérieure du produit m', e^,

soit

in\ e-< B,

d'où

Si la masse in\ est très petile, cette limite supérieure de e pourra être très grande et n'avoir aucune valeur pratique.

Il est donc nécessaire d'examiner en particulier le mouvement d'une petite planète sous l'influence perturbatrice d'une ou plusieurs grosses planètes.

Supposons que la petite planète soit la première planète, c'està-dire que in\ soit très petit. On aura alors

à des infiniment petits près d'ordre supérieur. On pourra poser alors

F = <i>o-h wi*i,

où <Ï>Q dépendra seulement des coordonnées des grosses planètes, ou plutôt de celles des planètes fictives correspondantes, et des dérivées de ces coordonnées par rapport au temps. Quant à la fonction $), elle dépend des coordonnées de toutes les planètes et des dérivées de ces coordonnées par rapport au temps. La masse m\ est infiniment petite, mais $0 et <ï>, sont finies.

Formons maintenant nos expressions R, R2, R^, R'ô, S^, T2, S', T'^. Dans chacune de ces expressions, dans S!, par exemple, distinguons les termes qui proviennent de $0 et ceux qui proviennent de nii^s ; les premiers seront finis, les autres seront de l'ordre de m^.

La fonction S'., est un polynôme entier par rapport aux n variables excentriques

çi) b) • • • ) ;2«-i.

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES PERTURBATIONS SECULAIRES. iSl

La première de ces variables se rapporte à la petite planète; elle est donc de l'ordre de y//?Zi ; les autres se rapportent aux grosses planètes et elles sont finies. Soit alors

où Pa + P'2 est un polynôme du second degré en

P, un polynôme du premier degré par rapport aux mêmes variables et Po une constante.

P2 représente l'ensemble des termes provenant de Oqî etP^ celui des termes provenant de m, <!>,, Quant aux teiuiies

ils proviennent tous de nii $,, car Oq 11e dépend pas des coordonnées de la petite planète, ni par conséquent de H). Le polynôme P2 est donc fini, tandis que

:2iiPi-

oKÎ

doit être de l'ordre de m,. Et comme ^, est de l'ordre de 0/^^, nous devons conclure : 1° que les coefficients de Po et la constante Po sont finis; 2° que les coefficients de Pj sont de l'ordre de \Jni\', 3° que les coefficients de P', sont de l'ordre de m{. Si donc nous posons

P; = miQÎ,, Pi=\/^Qi, d'où

S',= P2+/niQ',^-?V'"^çiQi+Po^ï,

les polynômes

P-2, Q;, Qi, Po seront finis.

Nous avons à chercher les axes de la surface du second degré

Elle diffère peu de la surface

L'un des axes de celle-ci est l'axe des Hi, les autres sont perpendiculaires à l'axe des ^( . L'un des axes de la surface 82=1 (à part

un cas d'exception dont nous parlerons plus loin) fait donc avec l'axe des ^, un angle très petit de l'ordre de ^m^. Si donc nous reprenons nos cosinus directeurs G/yt, nous voyons que

Gl,3> G], 5, . . . , Ci,2«— I;

Gs^i, Gg^i, . . . , G2rt— i,i

sont très petits de l'ordre de y//?^l .

Reprenons alors l'inégalité (20) en l'appliquant à la petite planète; nous aurons

Je dis que le second membre est de l'ordre de y//n,. En effet, je dis que A, est de l'ordre de \/n^^ ; c'est en effet la valeur initiale de

/;? + ''■) l'- Or

Çi ^ Çi G11+ Ç3G13-I-. . .-+- ;2«-i Cl, 2/1-1.

La valeur initiale de i', est de l'ordre de y//?î), parce que la valeur initiale de ^, est de l'ordre de sjnii et que Ci 3, . . ., Ci^o„i sont aussi de l'ordre de sjrn^ . Il en est de même de la valeur initiale de 7]'^ et, par conséquent, de A,.

Le premier terme Ai [Ch | est donc de l'ordre de sjm^ et il en est de même des autres parce que

Gs^i, . . . , G2H— 1,1

sont de l'ordre de y/m,.

On a donc

v/^i + '^ii < /"^Th,

H étant fini. Mais on a, comme nous l'avons vu, en négligeant les puissances supérieures des excentricités et celles de la masse 1n^^

où M est la masse du Soleil, a et e le grand axe et l'excentricité de la petite planète. On a donc

ce qui nous donne, pour l'excentricité, une limite supérieure finie.

Il y a cependant un cas où ce qui précède serait en défaut, ce serait celui où la surface du second degré

aurait deux axes égaux (l'un de ces deux axes étant l'axe des \\). Nous ne pourrions plus affirmer alors que ses axes font des angles très petits avec ceux de S', = i .

Pour nous en rendre compte, supposons ii = 2 de façon que la surface S!, = i se réduise à une ellipse dans un plan. Cette ellipse différera très peu de l'ellipse P2+P(,^j=i qui a pour axes les axes de coordonnées. Les axes des deux ellipses différeront très peu les uns des autres et, par conséquent, très peu des axes de coordonnées. Mais, si la seconde ellipse se réduit à un cercle, nous n'aurons plus le droit d'affirmer que les axes d'une ellipse très peu difi"érente de ce cercle sont très peu diflerents des axes de coordonnées.

On peut arriver aux mêmes résultats d'une autre manière.

Nos équations peuvent prendre la forme suivante :

Nous aurons

car les termes P[, et ^i P, sont négligeables devant Po.

De ces équations et des équations analogues pour les ç/, on déduit par le procédé ordinaire les vai4ations séculaires des excentricités des grosses planètes. Alors ^i et ru sont donnés sous la forme d'expressions linéaires par rapport à certains cosinus et sinus de la

forme .

cos(y^ + /i), sin{-(t -i- h).

Il vient ensuite

dri ~dt

^ = 2[JlPi-H2|J.Po^i,

i — 2hlPo^i = 2Acos(y^ + /0,

234 CHAPITRE VllI. — THÉORIE DES PERTURRATIONS SÉCULAIRES.

car Pi est linéaire par rapport aux ^i, et, par conséquent, par rapport aux cos(y^ + h).

On satisfei^a à cette équation et à sa conjuguée

-i- 2 [xPo-rii = 2 A sin( Y ;; -+- A)

en posant

A cos(y^ -^- h)

^ Yo— T

• / 7 N V^ A sin(Y^ ■+- A)

•Il =— asin(Yo^-l- ^o) — >, ' '

^^ Yo — T

où Yo = — 2[jlPo et où a et Aq sont des constantes arbitraires.

Cette expression demeurera très petite, à moins que yo ne soit égal à l'un des y, ce qui correspond au cas où notre surface du second degré aurait deux axes égaux.

Ce que nous venons de dire sur les excentricités s'appliquerait sans changement aux inclinaisons.

Le Verrier a montré, dans le Tome II des Annales de V Observatoire, qu'il existe, entre Jupiter et le Soleil, une position où une petite planète pourrait, sous l'action de Jupiter et de Saturne, acquérir de grandes inclinaisons, parce que le cas d'exception dont nous venons de parler se trouverait réalisé.

153. ISous avons ramené la recherche des variations séculaires des excentricités et des inclinaisons, c'est-à-dire la recherche des termes de rang zéro des inconnues ^ et r, à l'intégration d'un système d'équations canoniques

^^' ~dt ~~ ^''d^/ 'dt ~'^'''dîi

et nous avons vu comment cette intégration pouvait être effectuée quand on négligeait dans R les quatrièmes puissances des \ et des Tj.

Je me propose maintenant d'intégrer complètement le système (i). Je vais montrer en effet que les équations (i) peuvent être ramenées à la forme des équations (lo) du Chapitre Vil et que, par conséquent, tous les théorèmes de ce Chapitre leur sont applicables.

Si nous faisons maintenant le changement de variables du n" 151 , nos équations resteront canoniques et deviendront

154. Second changement de variables. — Grâce à la petitesse des excentricités et des inclinaisons, les termes du développement du n° 143

(3) R = Rg^R2|R^^-...

vont rapidement en décroissant. Pour mettre ce fait en évidence,

d\'i dt

dri'i dt

on peut faire un nouveau changement de variables qui ne nous sert que pour mieux faire saisir certaines analogies, mais qu'il faudrait se garder de faire effectivement dans la pratique. Posons

£ étant un coefficient de l'ordre des excentricités et des inclinaisons. Posons en outre

R=Ro-f-£-S, Rp=E/'S/j, d'où

On voit que S est développable suivant les puissances de s-, des ^" et des -fi", et que S^ est homogène d'ordre p par rapport aux q" et aux ri".

Nos équations deviennent alors

, , , d^'i- dS d-f\'f dS

^^ dt ' dr/-- dt d\i

loo. Troisième changement de variables. — Posons maintenant

^i = \/i p"i cos w^-, ri'i = \/-i. p} sin w'^ ;

nos équations conserveront la forme canonique et s'écriront

. . , dp'i dS dwl'i dS

dt ^ du>'- dt ' dpi

Nous avons, en reprenant les notations des numéros précédents,

R, = S'. -+- T'2 + S'^ + T'; = e2 S2 et

-'2fa(T^-t-T;)=2T^-^i?- Nous tirons de là

^' = ~ ^ y T/(^? + vp ) = - i y^i9'i-

Nous pouvons voir alors l'analogie complète des équations (5) avec les équations (10) du Chapitre VU.

On voit que :

[jlS joue le rôle de F,

les p" jouent » des L, les (o" » » des X,

£2 joue » de [Ji.

En effet :

1" La fonction S est développable suivant les puissances de e^ ;

2" Pour e- = o, elle se réduit à Sa et Sa ne dépend que des p"-;

3° Il n'y a, en général, entre les dérivées de So, aucune relation linéaire à coefficients entiers, puiscjue les y^ sont des données empiriques indépendantes.

Gela est vrai du moins cjuancl, toutes les planètes se mouvant dans un même plan, il n'y a lieu de s'inquiéter c[ue des excentricités et non des inclinaisons; mais, s'il j a lieu de tenir compte des inclinaisons, nous avons vu au n° 149 que l'un des y était nul.

Je montrerai plus loin, au n° 165, comment on peut se tirer de celte difficulté; je me borne à renvoyer à ce numéro afin de ne pas interrompre l'exposition.

4" Enfin S, qui est développable suivant les puissances des ^'^ et des Ti", est une fonction périodique des to".

lo6. Tout ce que le Chapitre VII nous a appris au sujet des équations (lo) est applicable aux écpiations (5).

En première approximation, c'est-à-dire en négligeant s- et en réduisant S à So, on trouve

dp'î dM"i

It^""' ~dt ^~^^'

p^-= const., w',' = — Y/^ + const.

Ces formules résument les résultats obtenus dans le Chapitre précédent.

On peut pousser l'approximation plus loin et appliquer la méthode de Lagrange; on trouvera ainsi, pour nos inconnues p", to'^,, i", ri", des développements de la forme

V(£2)aA^'« cos(vf -h h),

OÙ A et h sont des constantes et où

les ki étant des entiers.

Ce sont les constantes — yj qui, en effet, jouent ici le rôle des moyens mouvements ni.

Dans ces développements, remplaçons t par t quand il est en dehors du signe cos et que l'exposant a de e^ n'est pas nul; sous

le signe cos, remplaçons v^ par N ^,«'/. Dans le premier terme

■du développement de m- , où t est en dehors du signe cos, mais où l'exposant a est nul^ remplaçons — Y^-i par rn^-; nous obtiendrons ainsi pour

des développements de la forme

V (E2)aAT:'« cos (^^kw-^- h\

Ces développements sont ceux du Chapitre Vl ; on satisfera donc aux équations (5) en y substituant

X z= t -\- C, iVi = Y^ t -t- £;•,

•quelles que soient les constantes c et e,.

On y satisfera encore, en vertu du Chapitre VII, en substituant dans les développements

T = O, Wi = — y',- t + Wi,

les y'- étant des constantes déterminées légèrement différentes des y^, et les ro, des constantes arbitraires d'intégration.

Les Yi sont développables suivant les puissances de e- et se réduisent aux ji pour e-^ o (cf. n° 131).

L'importance de ce résultat est très grande ; nous avons vu en effet qu'en négligeant les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, Lagrange et Laplace avaient démontré que ces excentricités et ces inclinaisons devaient toujours demeurer très petites, d'où résultait la stabilité du système solaire.

Cela restait-il vrai quand on tenait compte de ces puissances supérieures? On en pouvait douter, car, en appliquant aux équa-

lions (5) la méthode de Lagrange, on voyait s'introduire des termes séculaires. A vrai dire, en prenant la question par une autre voie, on pouvait démontrer que la stabilité subsistait. On l'avait fait en tenant compte de R4 par une méthode dont nous dirons un mot plus loin, mais on pouvait se demander si l'on y réussirait encore en tenant compte des termes d'ordre supérieur.

Les considérations qui précèdent résolvent complètement la question, en ce sens que le procédé cjue nous venons d'exposer permet toujours de faire disparaître les termes séculaires.

Les développements

« A-l'" ces

peuvent, comme nous l'avons vu au n° 138, s'obtenir de la façon suivante :

Dans ces développements (6), faisons d'abord t = o, puis remplaçons Wi par «'j-h (y, — y,) '^7 ils deviendront

2(£')''A CCS ^^kiv -i-^A-xCy - y') + AJ .

Si l'on développe ensuite suivant les puissances de t, on retombera sur les développements (6). On comprend mieux ainsi d'où provenaient les termes séculaires qui figurent dans ces développements (6).

Dans les développements (6) figurent 4'^ constantes arbitraires si l'on a /i + I corps, c'est-à-dire n planètes. Les coefficients A et A ne dépendent que de ces 4'* constantes.

On peut choisir pour ces constantes les valeurs initiales

de nos 4'^ inconnues. Mais, ainsi que je l'ai expliqué au n° 133, il est possible de faire ce choix d'une infinité d'autres manières. Nous verrons bientôt quelle est la plus convenable.

lo7. Tout ce que nous avons dit jusqu'ici s'applique au cas général des équations (10) du Chapitre VIL Mais nos équations (5) sont d'une forme particulière, d'où résultent pour elles certaines propriétés analogues à celles que nous avons démontrées aux n"^ 134 et suivants.

24o CHAPITRE IX.

Nous avons vu en effet que S est développable suivant les puissances des ^" et des r\" . Posons en effet

de telle façon que [j-So joue le rôle de Fq et U celui de F,.

Soit, d'autre part,

de telle façon que Aç se réduise à -j- quand on fait

Nos équations deviendront alors

il) A^ — y,vi, = -s-— . A-ri,+ Y,^,= s-^,

analogues aux deux dernières équations (33) du Chapitre Vil. Je choisirai pour nos ^n constantes les valeurs moyennes de

que je désignerai par E/ et E^- ; je puis supposer d'ailleurs E^== o sans restreindre la généralité. Nos formules contiennent en effet 6/2 constantes arbitraires E/, E^- et ttî/, c'est-à-dire in àe trop; c'est d'ailleurs ce cjiie nous avons fait au Chapitre Vil.

Ce que nous allons chercher à démontrer, c'est que nos développements procèdent suivant les puissances de

Ejcosw^, E/sintP(,

et nous voyons déjà que l'on a, en première approximation,

^ï = E; cos <v,-, -rii = E; sin wt.

Nous allons le démontrer par une analyse toute semblable à celle du n° 13o. Posons

de telle façon que

2 j ^'^ ^^k ■+- 2 if V '^'k dr{'k

étant différentielle exacte, nos éc[iiations deviennent

(7 bis) AX^-l- tY/,XyL = 2«£- -,r— ' A\/,— 17/, Y/, = — ats^ .

«1/,. aA;t

(J'ai remplacé les indices i par les indices k afin d'éviter toute confusion avec i= y/ — i).

Les seconds membres de ('j bis) sont développables suivant les puissances des X et des Y. Ce que je me propose de démontrer, c'est que les X et les Y vont être développables suivant les puissances de

Cela est vrai en première approximation, où l'on trouve

Je suppose que cela soit vrai en [n — lyeme approximation et je me propose de démontrer que cela est vrai en /2*«'"e INos équations peuvent s'écrire

^^^ i wv • . -, • ^U

f A(Y/,e"''i) = — ats^e'w^ -î^r- »

analogues aux équations (89 bis) du n" 135.

Les dérivées de U sont développables suivant les puissances des X et des Y; et, comme ces quantités, en (n — i^eme approximation, sont développables suivant les puissances des E^e-"^/', il en sera de même des dérivées des U.

Nos équations (8) sont donc de la forme

équation (4o) du n" 135, où ç est une fonction connue de t, des E^ et des Wf(i de telle façon que çe^^^''' soit développable suivant les puissances de - et des E^e— "^^, le nombre s étant égal à — 1 dans la première équation (8) et à H- i dans la seconde. En d'autres termes, on a

(9) ^=^^Wyy

A est un coefficient constant, jn un entier; I B E*^' représente P. — ]. 16

le produit

Les q et les p sont des entiers satisfaisant aux conditions

(ij=Pj (mod2), qj1\pA (y^/O,

q,, = pi, 4- 5 ( ni od 2 ) , <//, ^ | /»/, + .9 1 ,

analogues aux conditions (42) du n" 13o.

Nous avons \u au n° 135 que t« sera de la même forme que ^ àla condition que Tintégration soit conduite de telle sorte que la valeur moyenne de u soit nulle, ou soit égale à un développement de la forme (9).

Cette condition est remplie, car nous conduisons nos intégrations de telle façon que les valeurs moyennes de X/^e~'""A, Y^e'"'^ soient l'une et l'autre égales à E/v ; on a donc

Val. moy.... X/,.e-''>'A = e-''*'i(E/,.e'"'A ), Val. moy Y/,.e'"'A = e''»'A- (E/,e-'"'i )•

Ces valeurs moyennes sont donc bien de la forme (9); il en est donc de même des inconnues qui jouent le rôle de u dans les équations (8), c'est-à-dire de X;f<?~"'"A, Y^e'"'*, le nombre s étant égal à -h 1 pour la première, à — i pour la seconde.

Cela veut dire que X^ et Y^ sont développables suivant les puissances des Ee— '^.

I08. Nos équations (5) ne changent pas quand on change

") sn 'il

j^, h'ç",; hri"i,

quelle que soit la constante h. Dans ces conditions, les valeurs moyennes E/f et E';^, qui nous servent de constantes d'intégration, se changent en hE/f et en AE'^.

Nous avons supposé E';,.:=o; mais nous voyons que si nous

changeons £ en ! , E/; en AEa, nos inconnues ç] et yj'- se changent

en hç] et /r/]"^-, tandis que

THÉORIK OOMPI.ÉTI': DKS PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 5>43

ne changent pas. Donc ^',- et r{- sont développables suivant les puissances de ~ et de

£ E/,. cos »'/,;, £ E/,- sin w/,-,

les coefficients du développement ne dépendant plus d^ ailleurs ni de s, ni de t, ni des E, /^^ des w.

Cette circonstance nous montre bien l'inutilité pratique du changement de variables du n" lo4 ([ul ne nous a servi que pour faciliter l'exposition. Nous supposerons donc dans la suite e = i ;

159. Nos équations ne changent pas quand on change les signes de toutes les inconnues i" et tj", car la fonction S ne contient que des termes de degré pair par rapport à ces inconnues.

Changer tous ces signes, c'est changer aussi les signes des valeurs moyennes E;;^.

Si donc nous changeons les signes des valeurs moyennes E^, nous changerons les signes de toutes nos inconnues; d'où cette conséquence :

Les développements des ç" ou des y;" (ou, en faisant £ ^ i , ceux des ^' ou des y)') suivant les puissances des

E/,- cos wj^, E/^. sin w;^

ne contiendront que des termes de degré impair.

Si nous nous rappelons que les ç et les ■r\ sont des fonctions linéaires des ^ et des y^', nous verrons que les ^ et les-/] peuvent se développer suivant les puissances de

"t, E/^. cos (v/ , E/,- sin w/^-.

On satisfait aux équations du mouvement en faisant dans ces développements

T = O, HP/, = — Y/, t -\- TO/,.

Alors les i et les t] sont développables suivant les puissances

E/, cos ( Yk t — 'jT/,- )» E/, sin ( y'/, i — th/, ) ;

les développements ne contiennent cjue des termes de degré impair.

244 CHAPITIUÎ IX.

160. Nous avons vu au Chapitre VII (n° 136) que les n] sont développables non seulement suivant les puissances de [j., mais suivant celles de E-.

De même ici les ^'- seront, comme les ; et les y], développables suivant les puissances des

E/,- cos (V/.., E/,. sin w^

et, comme ils doivent être indépendants des w, suivant les puissances des E|.

Les E/f, quand on suppose £ = i , sont des quantités très petites de l'ordre des excentricités et des inclinaisons.

Quand on fait E|^ o, les y^- se réduisent aux Vj.

Remarquons que les y/, d'après leur définition, sont déjà des quantités très petites de l'ordre de tx; les différences y'^. — y^- seront plus petites encore et dé l'ordre de jaE-.

161. Symétrie. — J'observe que nos équations ne changent pas quand on change t en — ^, et 'i\ en — r^.

Si donc nous changeons (V en — w^ t en — t, sans changer les E/f, ies ^ ne changeront pas et les r^ changeront de signe. Nous pouvons faire

quitte à faire ensuite

alors les développements des ^ suivant les cosinus et les sinus des multiples des w ne contiendront que des cosinus et ceux des yi ne contiendront que des sinus. On aura donc

(lo)

= 2A'J];(EJ.)sia2/>y«V>

9j = PJ (mocl'2), gj'àlPjl-

C'est là une conséquence de la symétrie par rapport au plan des

162. Si l'on fait tourner le système d'un angle quelconque s au-

THEOKlt: COMPLIÎTE DES PERTURBATIONS SECULAlUIiS. ^.431

lour de l'axe des x^, nos équations ne changent pas et ç, •/] se changent en ^ coss + t, sins, — q sinî + t] coss.

Si donc nous augmentons tons les wj d'une même constante s, les expressions

doivent être respectivement multipliées par On aura donc

= e+'^ (A cos 2,Pj ivj-i- iA' sin 2^Pj^'^j) , d'où (il) A = A', ^pj = -^i,

conditions nouvelles auxquelles doivent satisfaire les développements (lo).

163. Nos équations ne changent pas non plus quand on change les signes de toutes les variables obliques. C'est là une conséquence de la symétrie par rapport au plan des .27)^2-

D'après nos conventions, les indices impairs correspondent aux variables excentriques ç, et r,/ et aux constantes E^ correspondantes; les indices pairs aux variables obliques ^i et 7]^ et aux constantes Eyn correspondantes.

Si donc nous changeons les signes de toutes les constantes E;;d'indice pair, les ç et les r, d'indice impair ne changeront pas, les E, et les 7] d'indice pair changeront de signe.

Donc, dans les développements (lo), les sommes

étendues à toutes les valeurs paires de l'indice j, sont paires pour les variables excentriques, et impaires pour les variables obliques. C'est le contraire, en vertu du numéro précédent, pour les mêmes sommes étendues à toutes les valeurs impaires de l'indice /.

164. Intégrales diverses. — Les équations (lo) nous donnent les ^ et les tj sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes des

(12) E/,- cos (v/,-, E/,. sin fv/,..

Oa peut résoudre ces équations par rapport aux quantités (12) et l'on trouve alors

, ^, ( E/, COStP/,= <»/,(?, Ti),

( E/, sin(i'/.= <^/.(^, Tj),

les seconds membres étant des séries procédant suivant les puissances des ^ et des r, . On en déduit les intégrales

(i4) cp|. -I- i^f. = E|. = const.

Nos équations possèdent donc des intégrales développables suivant les puissances des ^ et des Y). Supposons que, négligeant les puissances supérieures des ^ et des v], nous réduisions R aux premiers termes de son développement

R = Ro+R,+ R^, de sorte que nos équations deviennent

d^__ d{ï{-2^ H4) dr; rf(R,-^R^)

dt ~~ ^^' dq ' dt~^^ d\ *

Négligeons également dans le premier membre de (i4) les sixièmes puissances des ^ et des rj, et soit

ce qui reste de ce premier membre après cette réduction (il est clair que ce premier membre ne peut contenir cjue des termes de degré pair; Vo et V.,, représentent donc respectivement les termes du deuxième degré et ceux du cjuatrième). On aura alors identiquement

/f/V., f/Ri r/V, ^Ri^

^ f/; dr^ dri de, )

f/R., dr^

dW.^

di]

dR.

rfR., dr^

"dl

M. Cellérier, de Genève, avait déjà remarqué qu'il existe des polynômes Vo et V/, satisfaisant à ces identités.

Cette remarque lui avait déjà fait soupçonner la possibilité de faire disparaître les termes séculaires, possibilité qui vient d'être complètement établie.

163. Au n" 155, j'ai fait observer que, quand les planètes ne se mouvant pas dans un même plan, il j avait lieu de calculer non seulement les perturbations séculaires des excentricités, mais encore celles des inclinaisons, on rencontre une difficulté, provenant de ce qu'un des coefficients y est nul.

Il est temps de revenir sur cette difficulté et de montrer par quel artifice très simple on peut l'éliminer.

Nous avons vu quelle était la forme des intégrales des aires; elles peuvent s'écrire

h = Vl 2i

= const.

consl.

(c/. n" 144). Elles subsistent quand on réduit les L, les p, les ^ et les Tj à leurs termes de rang zéro. Gela revient en effet à développer les inconnues suivant les cosinus et les sinus des multiples des w et suivant les puissances de u. et de u.t =: t', et à faire ensuite pL = o, t' restant fini; les intégrales des aires, \ raies pour toutes les valeurs de ul, subsisteront évidemment pour p. == o.

Ghoisissons le plan invariable pour plan des X\X.2] les intégrales U et V seront nulles.

Je dis que, dans les équations (i), nous pouvons alors renvplacer R par R+aU- + aV-, a étant un coefficient constant quelconque. On a en effet

f/(R + aU2-^aV2) dK ,. d[j ^^ dV dR

dii d'i^i d\i dc,i d'^i

puisque U et V sont nuls, et de même

d(\i dfj

^48 CHAIMTRK

On oblient ainsi Jes équations

c?(K-4-aU2^ = '"■ dU

-aV2)

Cela ne veut pas dire que tontes les intégrales de (i5) appartiennent à (i) et inversement, mais seulement que le système (i5) et le système (i) ont une infinité d'intégrales comnrunes, à savoir celles qui satisfont à la condition U^V = o; nous ne restreignons pas la généralité en nous bornant à envisager ces intégrales.

Cela revient en effet à supposer que le plan invariable est le plan des XxX^; et nous pouvons toujours choisir les plans de coordonnées de façon à satisfaire à cette condition.

Comparons maintenant les fonctions

Je dis que la seconde de ces fonctions est de la même forme que la première. Elle est en effet développable suivant les puissances des ^ et des 'r\ et ne contient que des termes de degré impair par rapport à ces variables.

Envisageons maintenant les termes du second degré ; ils s'écrivent

R,+ a(2^VLi)Va(2^^v/L:)'

On voit que les quatre expressions

peuvent jouer le rôle de S'^, T'.,, S\^ T'^, car les deux premières ne dépendent que des variables excentriques, les deux dernières dépendent seulement des variables obliques ; d'autre part, la première et la troisième dépendent seulement des ^, la deuxième et la quatrième seulement des r, ; enfin la première et la troisième sont formées avec les ^, comme la deuxième et la quatrième avec les 'r\. La fonction

TIIÉOUII-: COMPLÈTE DIÎS PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 24g

satisfait d'ailleurs aux mêmes conditions de symétrie que la fonction R.

Les équations (i5) sont donc de la forme de celles que nous avons traitées dans ce Chapitre. Seulement la difficulté signalée a disparu. Aucun des coefficients que nous avons appelés y n'est nul.

Nous pouvons donc appliquer au système (i5) toutes les conclusions de ce Chapitre. Ce système est d'ordre 4^ (s'il y a /z -j- i corps, c'est-à-dire n planètes), et les /\n variables \ et ii pevivent se développer suivant les puissances des i^ii quantités

E/,- cos(y'/,.^ — 'jî/,-)) E/,- sin(YA-? — 'ï'a) (^i = ' , 2, . . . , 2/1),

où les E;^ et les to^ sont &^n constantes d'intégration.

Il est clair que l'un au moins des coefficients r'/^ dépendra de a, puisque l'un des v^ dépend de a, et que y'y^. se réduit à y^ quand toutes les constantes E/; sont nulles {cf. n° 160). Soit y'^,^ ce coefficient ou l'un de ces coefficients. JNous ne devons conserver que les solutions qui sont communes aux deux systèmes (i) et (i5) et pour lesquelles U = V = o. Ces solutions ne doivent pas dépendre de a; elles ne peuvent donc dépendre de l'argument

ce qui montre que, pour ces solutions,

D'autre part, ces solutions dépendent encore de l^n — 2 constantes arbitraires, puisque nous ne leur imposons que deux conditions U^V = o, et elles dépendent de 111 — i arguments y'y^J — TO/V, puisque in — i des y ne sont pas nuls pour a = o. Donc les autres constantes

El, Ej, . . . , Ej,;-!

ne sont pas nulles en général.

166. Reprenons les crochets de Jacobi définis au n° 16, c'està-dire posons

/ d^ cW cW d^

25o CHAPITRE IX.

Les équations (i5) prouvent que

dt ' ^ ^

De plus, comme H, U et V sont des intégrales de l'équation (i), on aura

Il est aisé de vérifier, d'avitre part, que l'on a

On conclut de là

[H, R-4-aU2-4-aV2] = o,

ce qui montre que H est une intégrale des équations (i5V On a donc

H = const.

On trouve, d'autre pai^t,

d\] dV

dt ^ ' dt ' '

d'où, en se rappelant que H est une constante,

(16) U = Asin(2a[jLHi+ P), V = A cos(2a [JiH « -i- P),

où A et jii sont des constantes d'intégration.

167. Je ne veux pas quitter ce sujet sans avoir expliqué la signification géométrique des équations (i5). Pour bien la faire comprendre, supposons que nos inconnues \ et r^ soient regardées comme des fonctions de deux variables indépendantes 1 et u^ définies par les équations différentielles

, , d\ f/i\ de, dK

dx dc^ d~ d>

■(18) ii= j,^lH!ziIl), ^ ^ ^^ajM-Y2)^

du dr^ ' du d\

et la première question qui se pose est celle de savoir si ces deux

systèmes (17) et (18) sont compatibles. Nous trouvons en effet

dx du

-^^Ut) =4f— ]•

l'-TT^ T. = f^

dx du d-z dri