JU
Ces deux expressions sont-elles identiques? Oui, car les équations (i) admettant U-n- V- comme intégrale on a
En différentiant cette identité par rapport à T), il vient
Les deux systèmes sont donc compatibles; si alors je fais
■z = t, u = const.,
je retombe sur le système (1), et si je fais
z = t, u = :ct -h const.,
je retombe sur le système (i5), de telle façon que, de la solution générale du système (17), (18), je déduis immédiatement la solution générale soit du système (i), soit du système (i5).
Envisageons en particulier les équations (18) et supposons que, u étant une variable indépendante jouant le rôle du temps, les variations des i et des /] soient définies par ce système (18); quelle sera la nature de ces variations?
Je considère la figure formée par les /i -h 1 corps, ou, si l'on aime mieux, par le Soleil placé à l'origine et par les n planètes fictives définies au Chapitre II et dont nous avons appelé les coordonnées x'-, et en outre par les vecteurs qui représentent en grandeur et direction les quantités de mouvement de ces planètes fictives et dont nous avons appelé les composantes y'- .
Soit <ï> une fonction quelconque ne dépendant que des distances mutuelles des n planètes fictives et de l'origine et en outre des grandeurs des vecteurs ( J', j J>'''>5 JK-i)' •••' ^^ ^^^ angles que font
•^32 CHAl>JTRE IX.
ces vecteurs entre eux ou avec les droites qui joignent les n planètes fictives et l'origine. En un mot, soit 4> une fonction indépendante du choix des axes de coordonnées. Je dis que Ton aura
(19) [,i>,u-^+V2]=o, car on a
Et en effet, pour établir que les équations du problème des trois corps admettent les intégrales des aires, nous nous sommes simplement appuyés sur ce fait que la fonction F était indépendante du choix des axes. Donc le système
dx'i d^ dy'i c?<i>
dt dy'i dt dx'i
admettra les intégrales des aires, ce qui entraîne les égalités (20) et, par conséquent, l'égalité (19).
Mais cette égalité signifie en même temps que $ est une intégrale des équations (18).
Reprenons alors la figure dont nous venons de parler et qui est formée de l'origine, des planètes fictives et des vecteurs
{fuyi^ïz). ••••
De ces données, on peut déduire les orbites osculatrioes des diverses planètes fictives et le vecteur des aires OA dont les composantes sont U, V, H, de sorte que ces orbites et ce vecteur peuvent être regardés comme faisant partie de la figure.
Eh bien, si les variations de cette figure étaient définies par les équations (18), cette figure se déplacerait à la façon d'un corps solide, sans se déformer, puisque toute fonction $ indépendante du choix des axes demeurerait constante.
L'origine, d'ailleurs, dans ce mouvement, demeurerait fixe, de sorte que ce mouvement se réduirait pendant un instant à une rotation autour d'un certain axe instantané 01 passant par l'origine.
Pour trouver cet axe, revenons des variables
TIIÉORIIÎ COMPLÈTE DES PEKTIIRBATIONS SÉCULAIRES. 9.53
aux variables primitives x\ et jk]-; le système (i8) demeurera canonique, puisque le changemenl (ie variables qui lient les deux systèmes de variables est un changement canonique.
Observons d'ailleurs que le système (i8) devrait naturellement être complété par les équations
d^ __ </(U2+VM d\ f/(U^-4-V2)
du d\ du dh
L'addition de ces équations ne nous gênera pas, puisque U- -j- Vne dépend pas des \; d'où il résulte : i° que les L sont des constantes; 2" que nous n'avons pas à nous préoccuper de calculer Ih
, , . , dX dérivée -y-du
Si donc nous revenons aux variables £c' et y', notre système
deviendra
, , dx'i d(\J'--h\'-) dy'i c^(U2^-y2)
avec
du dy'i du ' dx\
u=2 (^2.^3— ^sr'î)» ^'=2 ^^'-iy^—^'^y'-i^
i^cf. Chapitre II).
Il vient alors
du ' ■*
Si le point x\^ x^^ x'^ est situé sur l'axe 01, on doit avoir
dx\
du
et, par conséquent,
Donc l'axe instantané 01 est dans le plan des Xx x-2.
D'autre part, le vecteur des aires OA doit être constant en grandeur; sa projection H sur le plan des ^,.^2 est constante également puisque H est une intégrale. Ce vecteur fait donc un angle constant avec l'axe des .r.i et son extrémité A décrit un cercle ayant son centre sur cet axe.
La vitesse de ce point A est donc perpendiculaire d'une part au plan .ToOA, d'autre part au plan lOA. Ce qui prouve que ces deux
254 ClIAPlTRt: IX.
plans coïncident et que l'axe instantané 01 est la projection du vecteur OA sur le plan des x^x-^.
L'angle lOA est constant, de sorte que l'axe OI reste constamment sur un cône de révolution G invariablement lié à la figure mobile et ayant pour axe le vecteur OA.
Le mouvement envisagé se réduit donc au roulement de ce cône C sur le plan des x^ x.^.
La signification du système (i5) est maintenant bien claire. Soit V la vitesse d'un point quelconque de notre figure à supposer que les variations de cette figure soient définies par le système (i); soit c' cette même vitesse à supposer que ces variations soient définies par le système (18) et que u représente le temps; soit enfin t'" cette même vitesse à supposer que ces variations soient définies parle système (i3). Alors la vitesse v" sera la somme géométrique de V et de at^'.
Ou, si l'on préfère, nous pourrons supposer que + a t'' représente la vitesse d'un système d'axes mobiles, invariablement lié au cône mobile G, et que v représente la vitesse relative d'un point de notre figure par rapport à ces axes mobiles, en admettant que ce mouvement relatif se fasse conformément à la loi de Newton, c'est-à-dire aux équations (i); alors v" sera la vitesse absolue.
Nous pouvons, au contraire, regarder les axes fixes comme mobiles et inversement; dans ce cas, notre système (i) représente le mouvement absolu de nos n + i corps obéissant aux lois de Newton, et le système (i5) représente le mouvement relatif de ces mêmes corps par rapport à un observateur invariablement lié à un plan qui roule sur un cône de révolution fixe G.
Telle est la signification géométrique cherchée.
168. Introduisons les trois angles d'Euler (c/. Appell, Mécanique rationnelle, t. II, 2*^ édition, p. 142) qui définissent la position des trois axes de coordonnées mobiles invariablement liés au cône C, par rapport aux trois axes de coordonnées fixes. Le troisième axe de coordonnées mobiles est précisément la droite OA.
On voit que si nous faisons varier w, t restant constant, l'angle B reste constant, les angles cp et d» varient proportionnellement 'AU.
THÉORIE COMPLÈTE DES PEUTURBATIONS SIÎCIJLAIRKS. 255
Les coordonnées par rapport aux axes fixes seront des fonctions des coordonnées par rapport aux axes mobiles et des trois angles d'Euler. Considérées comme fonction de ces angles, elles seront développables suivant les puissances de
, , .0 COS "L — CD 0 COS <ll -i- o
(22) Sin - . -î ^- , COS- . -' '-•
2 sin 2 2 sin 2
J'ajouterai qu'elles seront des polynômes homogènes et du second degré par rapport à ces quatre quantités.
De même, revenons à nos inconnues ^ et r^. Si nous rapportons le système à nos axes mobiles (je veux dire variables avec u, mais invariables pour u constant), elles satisferont aux équations (i); si, au contraire, nous rapportons le système aux axes fixes et que nous fassions varier à la fois u et t de telle façon que i = ty a =^ at -ir const., les inconnues satisferont aux équations (i5).
Soient ç et '/] les valeurs de ces inconnues, le système étant rapporté aux axes fixes; soient l' et r/ leurs valeurs, le système étant rapporté aux axes mobiles.
Alors les ç et les vi seront des fonctions des ^' et '/]' et des quantités (22); ce sont des polynômes homogènes, d'une part du premier degré par rapport aux q' et r/, d'autre part du second degré par rapport aux quantités (22).
Or les l' et les r/ représentent précisément les solutions communes aux systèmes (i) et (i5) que nous avons traitées au n" 165. Elles sont donc développables suivant les puissances des expressions
t. : . w/^ (/c — I, -2, . . . ,1)1 — i). sin
Posons
sin-=E2„, -I ^=wi, ^ = W2 (1).
Comme cos- est développable suivant les puissances paires de
(') Inutile de faire observer que les quantités w, et w, introduites dans ce numéro n'ont aucun rapport avec celles que nous avons désignées plus liaut par les mêmes lettres. Dans les Chapitres suivants, nous rendrons à ces lettres leur signification primitive.
sin-> les l et les 'f] seront développables suivant les puissances de
cos sin
et pourront se mettre sous la forme
-/>lCûl-t-/?2W2-
Les coefficients A, A' sont des constantes qui contiennent d'ailleurs en facteur
Nous déterminerons bientôt les constantes h et /i'. L'entier positif q\ est au moins égal à /?, en valeur absolue. Quant aux entiers />, et/)o ils ne peuvent avoir d'autre valeur que o, iti, ±2.
Reprenons le raisonnement du n° 161 ; nous choisirons des solutions particulières, telles que les valeurs initiales des t{ soient nulles pour
la symétrie des équations exige que, pour ces solutions, les '^ ne changent pas et que les r{ changent de signe quand les w changent de signe. Ces solutions sont bien celles que nous avons envisagées; car elles .satisfont manifestement à la condition
Si donc nous changeons les signes des w et des w, les ^' ne changeront pas, et les 'r\ changeront de signe; par conséquent, à cause de la symétrie des relations qui lient les \ et les y), aux ^', r{ et oj, les \ ne changeront pas et les r\ changeront de signe. Cela revient à dire que h et h' sont nuls.
Reprenons maintenant le raisonnement du n" 162.
Je suppose que l'on fasse tourner le système d'un angle s, soit autour du troisième axe de coordonnées fixes, soit autour du troisième axe de coordonnées mobiles.
Dans le premier cas
Wx, W,, .... Wo,i-i
THKORIli: COMPLÈTE DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. %5']
ne changeront pas, <J; ne changera pas, o augmentera de e. \ et ■/] devront se changer en
^ coss -i- -f) sins, — ^ sins + 75 cose.
D'ailleurs co, et Wo se changeront en
Cela veut dh^e que l'on doit avoir
A ^ A', On aura donc l'une des trois solutions
Faisons maintenant tourner le système autour du troisième axe mobile; tous les iv augmenteront de s; mais si en même temps je fais toui^ner les axes mobiles d'un angle — s, c'est-à-dire si je change 'L en 'h -\- s, la position du système par rapport aux axes fixes ne changera pas; et les ç et les r; ne changeront pas.
Les i et les ■/] ne changeront donc pas si je change w en w -\- s,
cO| en cO| -'r f? «2 en Wo -f- -• Cela entraîne la consécjuence
Introduisons maintenant des arguments auxiliaires
w'^= (Vf — aoj, (i = I, 2, . . ., m — I),
MP-ort = wi — ojg ;
on aura, en vertu de la valeur de 2. ^"^ trouvée plus haut.
d'où
\ /C(>P -^ piMi-i- PîMi = 2^ kiW'i-\-piw',,i,
Y] = y AEf ;, sin ( y kl »>i -H /j, tr^ „
On voit que les ^ et les v) sont développables suivant les puissances de
^ cos , cos ,
SI 11 sm
On voit aussi que la somme des coefficients entiers
est égale à + i , ce qui est conforme au résultat obtenu au n" 162. Ces arguments «-'varient proportionnellement au temps t, mais, si on les regarde comme des fonctions linéaires des deux variables indépendantes t et ii introduites plus haut, on voit que
H-'l, iv',, ..., ^2,;-!,
dépendent à la fois de t et de u (puisque les (v^ dépendent de t et ojo de u) mais que leurs différences ne dépendent que de t. Quant à (ï'1„, il ne dépend que de u. Si l'on fait Eo«=o, les termes qui contiennent «'^'^ disparaissent et il ne reste que les termes pour lesquels y;, ^ ^, = o.
En même temps -j^ s'annule et Wo se réduit à une constante, de
sorte que nos expressions ne dépendent plus de a et satisfont à la fois aux équations (i) et aux équations (i5).
Ainsi se trouve élucidée complètement la signification géométrique des équations (lo), ainsi que leurs relations avec les équations (i).
169. Les considérations précédentes pourraient être considérablement simplifiées en modifiant l'artifice emj)lojé. Remplaçons le système (i5) par le système
,,,., d^i r/(R + aH) f/-r„- ^(R + aH)
(l5 bis) —-=— u , — r- = [J. J-
^ ^ dt ' dT]i dt ' d\i
et les systèmes (17) et (18) par les systèmes
d\ f/R dr^ <^R
^'^^") ^. =-'"^' -da = ^-dl-
On verrait comme plus haut que les deux systèmes (17 bis) et (18 bis) sont compatibles et que l'on peut déduire la solution des équations (i5 bis) de celle des équations (l'y bis) et (18 bis) en y faisant
T = ^, U =^ 'Xi -\- COllSt.
On verrait également que la fonction R + aH est tout à fait de même forme que la fonction R, et par conséquent que les équations (i5 bis) sont tout à fait de même forme que les équations (i) avec cette dilï'érence qu'aucun des y n'étant nul, la difficulté signalée plus haut ne se présente pas.
Quelle est maintenant la signification géométrique des équations (i5 bis) et d'abord celle des équations (18 bis). Celles-ci s'intègrent immédiatement, car elles s'écrivent
d'c dfx
Elles nous apprennent que, quand la variable u varie proportionnellement au temps, tandis que 1 reste constant, tout le système tourne autour de l'axe des x-^ d'un mouvement de rotation uniforme, à la façon d'un corps solide.
Les équations (i5 bis) représentent donc le mouvement de nos Il H- I corps rapportés non à des axes fixes, mais à des axes mobiles tournant uniformément autour de l'axe des x->,.
L'une des propriétés des équations (i5) ne se retrouve plus ici, car les équations (i) et (i5 bis) n'ont aucune solution commune. Mais il est aisé de déduire la solution générale des équations (i) de celle des équations (i5 bis). Soit en etfet
la solution générale des équations (i5 bis). En vertu du n° 162, on a
On doit d'ailleurs faire Comment les y' et les B dépendent-ils de a?
26o CHAPITRE IX.
Si je change a en aH- [B, la vitesse angulaire de rotation des axes mobiles augmente de Bpi, de sorte que ^ et y] se changent en
^ cos <^ixt -+- Y) sin i^iJ.t, — ^ sinjiia.^ + i] cos ^[J-f,
ce qui montre que (V/ doit se changer en Wi — [i^j-t. Donc, quand a se change en a + [3, les y' se changent en y'+ [By. et les B ne changent pas. Donc les B sont indépendants de a et les y' sont des fonctions linéaires de a; de plus leurs différences sont indépendantes de a.
Pour avoir la solution des écjuations (i), il suffît de faire a= o; nous savons que pour a = o, l'un des y', à savoir y^^, s'annule. Donc, pour a = o, le coefficient j'- se change en y^- — y,!,^^.
Donc, pour trouver la solution des équations (i), il suffit dans les formules (aS) de faire
Il ne sera pas nécessaire d'ailleurs de former effectivement les équations (i5), ou (i5 bis); on pourra partir des équations (i) et le calcul se poursuivra sans qu'on rencontre aucune difficulté. Si j'ai introduit les équations auxiliaires (i5) ou (i5 bis), c'est pour démontrer cjue ces difficultés ne se présenteront pas. C'est un artifice de démonstration, ce n'est pas un artifice de calcul.
170. Généralisation. — Dans tout ce qui précède, la fonction R était supposée d'une forme particulière :
1° Elle ne changeait pas quand on changeait les signes de tous les '/], ou encore quand on changeait les signes de toutes les variables obliques. Si l'on renonce à cette condition, tous les résultats subsisteront, sauf ceux des n"^ 166 et 163;
2" Elle ne changeait pas quand on changeait ^ et t] en
^coss — r, sins, ^ sins -t- r, cose.
Si l'on renonce à cette condition, tous les résultats subsistenl encore, sauf ceux du n" 162;
3° Elle ne contenait que des termes de degré pair par rapport aux i et aux r^. Si elle contient des termes de degré 3, 5, -y, . . ., mais pas de terme de degré i, tous les résultats subsisteront, sauf ceux du n° 159.
TIIÉOIUE COMPLÈTE DKS PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 26 1
Les i et les /] seront encore développables suivant les puissances des quantités
,, CCS
sin
mais les développements contiendront non seulement des termes de degré impair, mais encore des termes de degré pair. 4° Enfin, la fonction Ri était d'une forme particulière.
Qu'arinve-t-il lorsqu'on renonce à cette dernière condition? Soit alors Ro un polynôme quelconque homogène et du second degré par rapport aux 4n variables i et y^ et soient les écjuations canoniques
dii dl\, dr,, d\\,
^ ^' dt ' drii dt ' d\i
Ces équations sont linéaires et à coefficients conslants. Elles admettront donc l\n solutions de la forme
(25) ^^=a^>-^^ ïl}=?fe>-^^
et il reste à déterminer les constantes aj , [j^, À^; nous trouvons
Je suppose, bien entendu, en écrivant ces équations, que dans Ro les variables \i et T^i ont été remplacées par af et p^^..
Entre ces l\n équations (qui sont linéaires et homogènes par rappot^t aux a et aux [3) j'élimine les [\n quantités a et (S. J'obtiens ainsi une équation algébrique de degré ^n en X/f dont les racines seront deux à deux égales et de signe contraire.
Soient
■(26) r^^ '^u.c^-vt^ -rl'i^liuent,
une autre solution des équations (24)7 correspondant à une autre racine \^.k de l'éc|uation en \k-
A l'aide des deux solutions (20) et (26) formons l'expression
(27) . '^iXi-'u—-<iX'i)-
202 CHAlMTUIi: IX.
Cette expression est une constante, car sa dérivée s'écrit
V Z'?' £'''- — ' fi?^- \ V (^" ^?' — - " ^i
ZàV dt '' dt I ZuV' cïï ^ dt
ou
„VR, ,f/R-2\ x^/,„r/R2 , „f/R2
r/f ' ch(' 1 ' ^y dX dq ;
el cette dernière expression est nulle en vertu des théorèmes bien connus sur les formes quadratiques.
D'autre part, cette expression (27) est égale à une constante multipliée par
Il faut donc ou bien qu'elle soit nulle, ou que [x^H- ')^h^ o. Mais, si l'expression (27) était nulle quelle que soit la racine ]kk choisie, elle serait nulle quand on remplacerait ^'^', v)'^- par la solution générale des équations (24)? puisque celte solution générale est ime combinaison linéaire d'expression de la forme (26). On aurait donc entre les ç et Tj une relation linéaire et ces variables ne seraient plus indépendantes.
Donc, si nous nous donnons À/;, nous aurons une racine p.^ telle C|ue [J-;, + A/!f= o, c'est-à-dire cjue les racines de notre éc|uation sont deux à deux égales et de signe contraire. c. q. f. n.
Prenons donc [J.a= — >^/i- L'expression (27) sera une constante clifFérente de zéro et nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer c[ue cette constante est égale à i ; posons
Nous avons /\n racines àa, nous ne donnerons toutefois à l'indice k cjue in valeurs, parce que chaque couple de racines \k et — \h ne doit être pris qu'une fois.
Formons l'expression
^{\ld-r^i-r,id\i).
THÉORIE COMPLÈTli: Di:S PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 263
Si j'observe que d'après les propriétés de l'équation (s'y) on a
je vois qu'il vient
'^{b chi--ni dli) = \/^^^(^/.- dY,-Y/, dX/,), ce qui montre que
^^,dr,^i^X
dY
est une différentielle exacte.
Nos équations (24), conservant leur forme canonique, deviendront
, , , . , dX;, . dRo dYk . dR,
^ ^ / dt ' c/Y/, dt ' dXi,
Or ces équations doivent admettre pour solution
X/, = e'^^kt^ Y/, = e-^^^ Xj = Yy = o (y $ /c ) .
Il faut donc que l'on ait
. dR^ - -, . dRi -, ^
i [J- -jTF^ = A/, X/,, — i \± -TTT- = — A/, ï /, ,
d'où
Soit maintenant
[Je ne donne plus ici aux lettres i' et r{ la même signification que dans les équations (20)].
On voit que
•iXk dY/^ ^- 2 i^'^. dr^'f.
est une différentielle exacte et qu'il en est de même par conséquent
264 ' CIIAPITRK IX.
de et de
Les équations (24) deviennent dès lors
cFç' r/R, df]' dR,
~dt ~~''' 7/7^' 'dt ~^''~d^'
et l'on a d'ailleurs
La fonction Ro exprimée à l'aide des nouvelles variables est donc ramenée à la même forme c[ue par le changement de variables du n° loi ; de sorte que le changement de variables que nous venons de définir et c[ui est canonique et linéaire, peut remplacer dans le cas général celui du n" 151.
Les quantités ^jouent le rôle des y/;.
Supposons maintenant que l'on ait
où R.', est de la forme envisagée dans le Chapitre VITI et dans le commencement du Chapitre IX, tandis Cjue R'.^ est très petit. C'est ainsi que les choses se passeront dans toutes les applications que nous pourrions avoir à faire.
Considérons les valeurs des yA formées à l'aide de la fonction R^ ; ces y^ sont tous réels d'après le n" 145 et, si R'.', était nul, on aurait
Supposons d'abord qu'aucun des y/^ ne soit nul. Dans ce cas les \h sont rangées par paires; les deux Xa d'une même paire doivent être imaginaires conjuguées, et en même temps égales et de signe contraire. jNous savons en effet que les Xk doivent être deux à deux imaginaires conjuguées; et comme elles diffèrent très peu des /y/r, ce sont les deux \k qui diffèrent très peu de + ^y^ et de — i^k qui sont conjuguées. D'autre part nous savons Cjue les \k sont deux à deux égales et de signe contraire; et ce ne peut être là aussi que
TIlÉORli: COMI'LISTK DES PERTCRBATIONS SÉCULAIIUÎS. 2G5
les deux À/, qui diffèrent très peu de + i^h et de — /y/f. Donc À^ et — \h sont imaginaires conjuguées; d'où il suit que les deux solutions (ao) et (26) sont imaginaires conjuguées et que notre changement de variable est réel.
Ce raisonnement ne serait pas applicable au cas où l'un des y serait nul; parce que deux des racines \h et — \k pourraient être réelles et très voisines de zéro. Mais, dans toutes les applications que l'on pourrait avoir à faire au problème des trois corps, on pourra toujours ramener au cas où aucun des y n'est nul, en employant soit l'artifice du n" 165, soit celui du n" 169.
