On peut aussi se poser le problème autrement. Supposons
que l'on ait
R = R'+ [jlR",
que R soit de la forme envisagée au début de ce Chapitre; que [j. soit un paramètre très petit; qvie R" soit quelconque, assujetti seulement à être déveioppable suivant les puissances des ^ et des y], mais pouvant contenir des termes de tous les degrés et même de degré un, et avec des termes du second degré de forme quelconqvie. Les équations (i) deviennent
dl dVJ dK' dn dW clK"
dt ' d-r^ ' dri dt ^ d\ ' d\
Nous allons faire le changement de variables du n" loi puis •celui du n° 154, mais en posant en même temps ]x = s '' p.', de sorte que l'on aura
^'=£^", -rj'^er/', \s.^z*\i!,
€t en écrivant
R'=R[, + R'2-hR', + ...,
•où R^ représente l'ensemble des termes de degré A-, nous poserons
encore
[JlS = [Jt.S2-i- zP- U,
d'où
et
^ £^ drl' dS
'dt ^~^''d^'' dt ~ '"" d%' '
afiô CHAPITRE IX. — THÉORIIÎ DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES.
Nous retombons donc sur les équations du n" loi, et je n'ai presque rien à changer à ce qui en a été dit. La seule différence, c'est que U, qui dans les numéros précédents ne contenait que des termes de degré pair, en contiendra de tous les degrés, mais il n'en résulte aucun changement.
Les ^ et les r\ restent développables suivant les puissances des
cos
i^/.- . 'VA-,
Slll
mais les développements, au lieu de contenir seulement des termes de degré impair, contiendront des termes de degré pair et même de degré zéro.
D'ailleurs il est bien entendu que les conclusions des n"'^ 161, 162, 163 ne subsisteraient que si R" possédait les mêmes symétries cjue R'.
172. Nous avons examiné, dans les Chapitres V et VI, la manière de former des développements qui satisfont aux équations différentielles du mouvement dans le cas général du problème des trois corps. Au Chapitre VII, nous nous sommes attachés à un cas particulier, celui du problème restreint et nous avons montré comment, dans ce cas, on peut faire disparaître les termes séculaires de ces développements.
Aux Chapitres VIII et IX, nous avons fait l'étude spéciale des perturbations séculaires, c'est-à-dire que nous avons cherché à déterminer, dans le cas général du problème des trois coi^ps, les termes de rang zéro de nos développements. Nous avons vu que ces termes dépendent d'équations canoniques qui sont de même forme que celles du Chapitre VIÏ, et qui, par conséquent, conduisent à des développements où il est possible de faire disparaître les termes séculaires.
Nous allons maintenant revenir aux développements les plus généraux du Chapitre VI, et montrer qu'on peut y faire disparaître les termes séculaires par des procédés analogues à ceux du Chapitre VII.
Il s'agit d'intégrer les équations canoniques
Nous avons vu au Chapitre VI qu'on peut y satisfaire à l'aide de développements de la forme suivante :
( -2 ) L, = Lo -h 8L,-, X, - <P,-4- VI + oÀ,-, \i = ^?4- 0^,, r^i = r^\ + l-t\i.
dL
~di "
d\ dJ
d¥ ~ dL
d\ dl
^F dr^
dr^
268 CHAI'ITKE X.
Les SL, oX, ù^, Sr, sont cléveloppaLles suivant les puissances de [JL, de t, des S", des 7)° et suivant les cosinus et les sinus des multiples des w, c'est-à-dire qu'ils peuvent être mis sous la forme
( 3 ) y ;jL^ A Oloo ''" cos f y A- (ï^ -(-
Les A" sont des entiers; A et h ne dépendent que des constantes L" et a" ; OlLo est un monôme entier par rapport aux ^" et aux Ti".
Les gL, oX, o;, ot) s'annulent pour [x = o ; elles s'annulent également pour t= (P/=o, de sorte que les constantes L|', À", q*-, tiI- ne sont autre chose que les valeurs initiales de nos inconnues L, X, ç, f\ pour T = (V = o.
Ces développements (2), (3) satisfont aux équations (i) quand on y fait
quelles que soient les constantes c et s,-.
Cherchons à appliquer à ces développements le procédé du n" J29. Nous sommes partis du théorème du n° 16, qui est résumé dans les formules
.V c!f = cLl -t- y A/, d%;,— F dt, dLl ^ y^ dF
dt ' Ad. dx
Dans le cas qui nous occupe, le rôle des x est joué par les L et les i; celui des y par les \ et les 't\ ; celui de F par — F. Nos formules deviennent donc
analogues aux formules (i3) et (i4) du Chapitre VIL
Nous pourrons écrire la seconde équation (4) sous la forme
analogue à l'équation (i5) du Cliapitre VIL
Le second membre de (5) est développable sous la forme (3). L'équation (5) est donc de même forme que l'équation (i3) du
Chapitre VI, et l'on en conclnt que l'une des solutions de cette équation est encore développable sous la forme (3). Ce sera celle que nous adopterons; nous regarderons donc 0 comme développable sous la forme (3).
Ainsi les quantités L, \, ^, r, , Q sont des fonctions de t, des iv et des constantes d'intégration L)', à", ç", t]"; mais nous regarderons les ^vj* comme des constantes données une fois pour toutes^ de sorte que nos inconnues seront seulement fonctions de
Nous pourrons donc écrire
( =uck^y^ w, chv,- + 2 G/ dL^ + 2 ^' '^^^ + 2 ^' '^'"^ ^ •
Dans cette formule (6), les coefficients différentiels H, W^, Ci, X/, Yj sont développables suivant les puissances de t et suivant les sinus et les cosinus des multiples des w et il en est de même des C° si l'on pose
-^^ dLi Je puis écrire d'ailleurs plus simplement
puisque
est fonction de L" seulement.
Faisons maintenant
Z = t, iVi-+- llit -\- Zi,
d'où
d-z = dt, dwi^ iii dt -f- dzi-{- t diii.
On trouvera
(7) I ^(u-^^y^iiiÀdt
^a^ jéssi .^ifn ^aad
en. remarquant que G" se réduit à
ce qui donne
C,^ clL] = Cl f/L° ^ tWi dm.
Nos constantes d'intégration qui jouent le rôle des aA de la formule (4) sont ici les L^", les e^-, les i", les 'r\-. Donc les W/, les Q', les Xi, les Y^ qui jouent le rôle des Aa de la formule (4) seront des constantes indépendantes du temps et dépendront seulement des constantes d'intégration.
De plus
sera aussi indépendant du temps en vertu de l'équation des forces vives.
Or les W/ sont développables suivant les puissances de u. et de X et suivant les cosinus et les sinus des multiples des (v; et l'on peut leur appliquer le lemme du n" 107 et le raisonnement du n° 129.
Pour
on a
où /"o, d'après ce qui précède, est une constante indépendante du temps et ne peut dépendre que des constantes d'intégration
Mais ici les constantes e/ sont nulles, puisque nous faisons Donc ff, ne dépendra que des
T 0 ÏO -, 0
En vertu du lemme du n" 107, la relation
qui a lieu pour t = i, vçk=^ '^kt, aura lieu identiquement quelles que soient les valeurs de t et des w.
Donc Wt ne peut dépendre que des L^^, ç^" et TiJ- .
CAS GÉNÉRAL DU PROBLÈME DES TROIS CORPS. IJl
11 en est de mêine pour la même raison des
et aussi de F (et par conséquent de H). P».eprenons l'identité (6) et faisons-y
X =. Wi = G,
et, par conséquent,
ch. = dwi = o.
Les )v/, les \i et les -r\i se réduiront respectivement à \\^ \\ et r,", puisque ces constantes sont, par définition, les valeurs initiales des À, ç et Tj pour t ^ a^ = o. On aura donc
cl\ = G,
puisque les \\ sont considérés comme des constantes données une
fois pour toutes et
d-fii=d-i]1.
On aura d'ailleurs (puisque t est nul)
et, si Qo représente la valeur de ù pour t^ cp = o, notre formule (6) deviendra
Si nous faisons simplement t = o, en conservant aux w des valeurs quelconques, G; est encore éga:l-à C^ et la formule (6) devient
( Vl^x ^yidT, — dii
Il importe de remarquer que les quantités C^% X;, Y, ne dépendant pas des w ont mêmes valeurs dans la formule (8) et dans la formule (9). Si donc je retranche ces deux fonnules l'une de l'autre, je trouve, en faisant passer certains termes d'un membre
272 CHAPITHE X.
dans l'autre,
^BB affrnn ^b^b ■^'™™
Cette formule suppose que l'on a fait
Prenons donc nos développements (2) et (3) et faisons-j
ils définissent les L, X, ç, '/\ en fonctions des w et des constantes
Les a" sont en eft'et regardées comme des constantes donnée* une fois pour toutes.
D'ailleurs les W sont des fonctions des L^, l^, r,*?; donc, inversement, les L" sont des fonctions des W, ç", r,", de sorte que finalement les inconnues
sont fonctions des
W,, «V, 'ç% ri«,
et que ces fonctions sont données par les développements (2), (3) (où l'on a fait t = o).
Ces développements (2), (3) (avec t = o) définissent donc un changement de variables et la formule (10) nous apprend que ce changement de variables est canonique.
Les écjuations (i) conserveront donc la foi'me canonique et deviendront
( ^Yl - ^ ^3° dF
\ dt dwi^ dt d-n') (II)
] dn^ jiF dr^l dF
\ dt " dWi ' dt ~ d'q^} '
Nous voyons tout de suite c[ue F dépend seulement des L", ^", ri", c'est-à-dire des W/, i", vi". Donc la dérivée de F par ra])porl à iVi est nulle et W^ est une constante.
On démontrerait, comme au n" 130, cpie les lemmes du n" 107 sont applicables.
173. Il faut voir maintenant quelle est la forme de la fonction F. Les développements (2), (3) nous apprennent c{ue
sont développables suivant les puissances de t, [a, ^'^, y]^^ les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des L^ et des w. Il en est évidemment de même de leurs dérivées et, par consécjuent, de
^Li, aX,-, A^,-, At]/.
Il en est de même de F (considérée comme fonction des L^^, ^^^, y\^-, ul). Il en est donc de même de
c'est-à-dire de AQ; il en est donc de même de 0 et par conséquent aussi de
dl x^ , dq du
jLu dwi ^^ dwi
dwi
On voit donc cj[ue W/, c[ui ne dépend pas de t ni des (P, sera développable suivant les puissances des ^", r^l et de [x, les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des L|?.
Si nous faisons [jl ^ o, on a
dwi
0 d\i dwi
'r\i= -ru, dF
dit]
dwi
F = Fo,
dU="-
d'où
d'où enfin
AQ = V m L? — Fo = const.
dQ, dwi
Ainsi le premier terme du développement de W^ suivant les puis- P. - I. 18
sances de ^ se réduit à h^-. Soit, pour [j. quelconque
SW; sera développable suivant les puissances de [j., des ^^ et y]^; les coefficients du développement seront des fonctions des L^, holomoi^phes dans Le domaine envisagé.
Si donc j'ai
d'où
la fonction f sera développable non seulement suivant les puissances des [j., ^^, y)^, mais suivant celles des différences L^ — Wa, les coefficients du développement dépendant seulement des W. Alors notre équation peut s'écrire
(12) L? - W,+/(ia, ^?, 'fil, W/,+ U- W,.) = o,
et le premier membre est développable suivant les puissances des
Quand on y fait
le premier membre se réduit à L|- — Wj et sa dérivée partielle par rapport à cette différence sera i .
Donc, en vertu du théorème de Cauclij sur les fonctions implicites, ou, comme aurait ditLaplace, du théorème sur le retour des suites, de l'équation (12), on pourra tirer
et, par conséquent, L^'* en série procédant suivant les puissances des UL, i^^, y)", les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des W/.
Si, dans F, nous substituons ces séries à la place des L°, nous verrons que F est développable suivant les puissances de [j., des ç • et des Y)", les coefficients de développement dépendant seulement des W.
Telle est la forme de la fonction F.
CAS GÉNÉRAL DU PROBLÈME DES TROIS CORPS. 'i.']^
174. Revenons aux équations (i i). Rappelons-nous que, en vertu de ces équations, les W^f sont des constantes, que F ne dépend pas des w^ et envisageons spécialement les équations
, ,. '^l__ dF dr^ dF
*- ^ ^ di ~ d-qf dt ~~ d^f
Comparons-les aux équations (i) du Chapitre IX :
di,i __ dR d-t]i dR
dt ' d-r\i^ dt d^i
L'analogie est évidente; F joue le rôle de [ji.R, \^- celui de i,, r\l celui de t)/. De plus, F ne dépend pas d'autre variable que des ^" et des 7]^?, puisqu'il ne dépend pas des w et que les W sont des constantes. Enfin F est développable suivant les puissances des ^^? et des y\^-.
11 y a toutefois une différence. Tandis que uiR ne contenait que des termes de degré pair par rapport aux ^/ et aux t]/, le développement de F contient à la fois des termes de degré pair et des termes de degré impair.
Quelle est la conséquence de cette différence? Au Chapitre IX nous avons supposé que le développement de S commençait par des termes du second degré, ce qui revenait à dire que [jlR ne contenait pas de termes du premier degré. Mais l'hypothèse que |jlR ne contient pas de terme de degré 3, 5, ^, ... n'a joué aucun rôle dans nos démonstrations depuis les n*''* 155, 156, 157, 158. C'est seulement au n° 159 que nous l'avons introduite. C'est d'ailleurs ce que nous avons expliqué au n° 170.
Les résultats des n°* 155, 156, 157, 158 seraient donc applicables à des équations de la forme (i3), où F ne contiendrait pas de terme de degré un par rapport aux inconnues, mais pourrait contenir des termes de degré 3, 5, 7, .... Avec de pareilles équations, les inconnues seraient développables suivant les puissances d'expressions de la forme
(14) E/; ces w'j.^ E/,. sin w'j,,
OÙ les E;t seraient des constantes d'intégration et les «4 des variables auxiliaires ; pour satisfaire aux équations du mouvement, il faudrait faire
OÙ les y' sont des constantes dépendant des E et les tu^. de nouvelles constantes d'intégration.
En revanche, les résultats du n° Jo9 ne seraient pas applicables, de sorte que les développements contiendraient non seulement des termes de degré impair par rapport aux expressions (14)5 mais aussi des termes de degré pair. Ils ne contiendraient pas cependant de termes de degré zéro. On voit en effet que les équations différentielles sont satisfaites quand toutes les inconnues sont nulles. Les inconnues s'annulent donc toutes à la fois quand les constantes E;; s'annulent toutes à la fois.
Le cas où F contient des termes de degré un peut-il être ramené à celui où F ne contient pas de termes de degré un? Rien n'est plus facile : il suffît de poser
Ç/ — ?z -^ ^i) ^n — ^i ^ Pm
où ç'^" et i\^ sont les inconnues nouvelles, a.i et [3/ des constantes. Nous déterminerons ces constantes, de telle façon que
d^ d¥ quand on j fait
Alors, en effet, les dérivées de F s'annulant avec le"s "^^ et les r;^*', le développement de F ne contiendra pas de terme de degré un par rapport aux i^" et aux 'r\^ .
Ce changement de variables ayant ramené nos équations à la forme que nous avons traitée, nos nouvelles inconnues ç^" et '({f sont développables suivant les puissances des expressions (i4)5 il en sera donc de même des anciennes inconnues \\ et r,^^ qui n'en diffèrent que par des constantes. La seule différence, c'est que les développements des \\ et des t," contiendront des termes de degré zéro, tandis que ceux des ^^-^ et des r\^ n'en contiennent pas.
175 . Il importe, avant d'aller plus loin, de faire voir que les constantes a/ et ^t sont très petites de l'ordre de a.
Pour cela, je commence par observer que la valeur moyenne de
est divisible par p.-. Je rappelle ce que j'entends par valeur
moyenne d'un développement procédant suivant les puissances de x et suivant les sinus et les cosinus des multiples des w. C'est l'ensemble des termes de ce développement qui sont indépendants à la fois de T et des w.
D'^après cette définition, si U est un pareil développement, la valeur moyenne du développement
dwi
sera nulle, puisque les termes indépendants des dt' disparaissent par la différentiation.
Je remarque ensuite que
dii'i dwi d\i dùlj
div,- dwi
aïk),
dWi dWi
Il vient donc
^ j^ '"■ dwi ^^ dwi ^^^ dwi
■^ ,^j. doT\k dû.
^^ ^ "^ dwi dwi
Or L|, \\ sont des constantes, de sorte que les valeurs moyennes
de
0 dl\k ^Q dor^k du
dwi dwi dwi
sont nulles et que l'on a
val. moy.(W,-L,) = val. moy.^^ ^^^^ +2 °'S)-
Comme ôL, SA, o^, vi\ sont divisibles par [j., nous voyons que la valeur moyenne de W^- — L/ est divisible par u.-.
Cela posé, cherchons à exprimer F en fonction des W, des \^ et des 7,0 et cela en négligeant pi^. Nous avons
F = FoH-;jlFi.
Le premier terme Fo dépend seulement des L^ et, comme Wj — L/ est de l'ordre de jj., nous pouvons écrire
en négligeant u.^ ; d'ailleurs comme
est de l'ordre de [J., nous pouvons, toujours en négligeant [j.-^, écrire
et
Dans le dernier terme u-Fi, nous pouvons remplacer les inconnues
L/, ^o ç/, ^li
par leurs valeurs approchées
L'erreur commise sera de l'ordre de u.-.
Comme F estime constante, il est égal à sa valeur moyenne.
Or Fo(Wj) est une constante; la valeur moyenne de L^- — W/ est nulle en négligeant pi- ; celle de F) se réduit à R, partie séculaire de la fonction perturbatrice.
Donc
(i5) " F = val. moy. F = Fo(W/) + [jlR.
Dans B, il faut i^emplacer L/, ^i, ru par W/, "^1 , ■r\'^ ; je ne parle pas de ^i qui ne figure pas dans Pi.
Or nous savons que le développement de R suivant les puissances des i et des Y| ne contient que des termes de degré pair; si donc on négligeait ^-, il n'y aurait que des termes de degré pair dans le développement de F suivant les puissances des |" et des t]^. Ou bien encore, si l'on exprime F en fonction des W/, i", ri" et si l'on développe suivant les puissances des ^" et desT]", les termes
de degré lUi et, en général, les termes de degré impair seront divisibles par V.-.
Quelles seront alors les valeurs des constantes a/ et [Bj? Ce seront les valeurs qui, substituées à la place des i" et des v^", satisfont aux
équations
d¥ dF
Les premiers membres de ces équations sont divisibles par [j.; en effet, povir p. = o, F se réduit à Fo(W/), c'est-à-dire à une constante indépendante des ^" et des 'i\^^. Si donc nous posons
F = Fo(W,) + !^F',
nous pourrons écrire nos équations sous la forme
nous aurons ainsi fait disparaître le facteur \k.
Les premiers membres de ces équations sont développables suivant les puissances des ^^?, r\l et de \k. Pour [jl i^ o, F' se réduit à R, et ne contient plus que des termes de degré pair par rapport aux ^^? et aux r\l; ses dérivées premières s'annulent donc avec les ^^^ et lesYi^
Nos équations sont donc satisfaites pour
Nous tirerons donc de nos équations les ^^- et les rj en séries procédant suivant les puissances de [x, et ces séries s'annnleront avec [j.. Comme les valeurs des ^,- et 'r\l ainsi obtenues ne sont autre chose que les constantes a./ et (3/, nous devons conclure que les oLi et les (B, sont des séries procédant suivant les puissances de [x et contenant jj. en facteur, c[ue ces constantes sont par conséquent de V ordre de p..
Si alors, dans notre fonction F qui est développable suivant les puissances de
nous faisons
fo^r.o + a,, n»--^'»
il est clair qu'après cette substitution, F sera développable suivant
•28o CHAPITRE X.
les puissances de
