Reprenons maintenant la dernière équation (i i

dwi d¥ ~dt ^ dWi'

Le second membre dépend seulement des

Ces quantités viennent d'être déterminées et l'on a trouvé que les Wi sont des constantes et que les i" et les ri^ sont développables suivant les puissances des exj)ressions

( 1 4 ) E/c cos tV/., E/; sin w'^,,

où les F^k sont des constantes d'intégration et où les w'^ doivent être remplacés par

— Yl-^-^-^l- Le second membre est donc connu, de sorte cjue nous obtiendrons Wi par une simple quadrature.

Le second membre est développable suivant les cosinus et les sinus des multiples des w'j^. Soit n'- sa valeur moyenne et posons

IV i = W"i -h gi

avec

dw'\ , dgi d¥ ,

'dt ~ '''■' ~dt ~ dWi "'''

Comme -tttt- est développable suivant les puissances des expressions (i4) et de [Ji, les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des constantes W^, sa valeur moyenne n'^ sera une constante développable suivant les puissances de p. et des E| [je dis des E^ parce que n- ne doit pas dépendre des w'/^ (cf. n° 160)].

Quant à la différence

elle pourra être mise sous la forme

OÙ A et h sont des constantes dépendant seulement des W, des E et de' a, et où les k': sont des entiers.

Il vient alors

w"i = n'i t -I- wi,

les Gj/ ëtant de nouvelles constantes d'intégration, et

ïy

Rappelons que les y'- sont divisibles par [jc; on pourrait donc craindre que les expressions des gi ne contiennent [j. au dénominateur, si les coefficients A n'étaient pas eux-mêmes divisibles par [JL.

Heureusement, c'est ce cjui arrive; si nous faisons [jl = o, nous aurons, en vertu de la formule (i5),

Comme ->~- est une constante, elle est égale à sa valeur moyenne,

de sorte cju'on a

et

dt

Si -~ s'annule pour ^ = o, c'est qu'il est divisible par [jl. Donc

tous les coefficients A sont divisibles par jx. Dans l'expression de g'i, le facteur [j. disparaît haut et bas, de sorte que cette expression est développable suivant les puissances de [jl.

177. Reprenons maintenant les développements (2), (3); nous satisferons aux équations (i) si nous y remplaçons :

i** T par zéro;

2" Les ^° et les 'f\l par leurs développements suivant les puissances des expressions

/ /N r-, ces , , / ,

développements qui résultent de l'intégration des équations (i3) et qui dépendent d'ailleurs des constantes W/;

3° Les L° par leurs valeurs en fonctions des W/, ^°, Y)"; ces valeurs étant développables suivant les puissances des ^^ et r\^ seront également développables suivant celles des expressions (i 4) î

4° Les iVi par

Le terme général du développement (3) s'écrit

V [Ji« A DlLo -'"■ cos ( V ki Wi + h

Je puis supposer m = o, puisque je fais dans ce développement T==o, et que, par conséquent, les termes qui contiennent un facteur t disparaissent; si je fais de plus Wi= w\-\- gi, notre développement deviendra

Le monôme OlLo sera développable suivant les puissances des expressions (i4)î il en sera de même de A, cosA, sinh qui dépendent des L^^ ; il en sera de même des g'i ainsi qu'il résulte de

la formule (16); il en sera donc de même de cos ( /^ kjgi),

sin(^2''*^'o'')j cosl'^A-igi^ h\ sin(^kigi-h h). Ainsi les coefficients de notre formule (17) sont développables suivant les puissances des expressions (i4)-

En raisonnant comme au n" 69, on verrait que les développements (3) prennent la forme

(.8) 2 P^'BE^Œt-. . .Ef;^'^^ (2 A7«-'; + 2/'''^')'

les entiers q el p satisfaisant aux conditions

gi = Pi (mod2), qi^\pi\.

Les coefficients B dépendent d'ailleurs des constantes Wj.

Pour satisfaire aux équations (i), il faut dans les développe-

2 I^'' A OlLo cos ("^ /.-/.^-/-f- AJ cos (2 ^i '-''"i [JL* A SlLo sin f 7 ki g/ -h A j sin / % kt w) \ .

ments (i8) faire

w'i = — y'i t -H Ti^'i, \v\ = riit -+- mi.

S'il j a /z H- I corps, soit n planètes, cette solution renfermera 6n constantes arbitraires, à savoir : les n constantes W/, les a/? constantes E^-, les n constantes rn/, les 2/1 constantes r^'-. Je ne parle pas des X° que nous regardons comme données une fois pour toutes.

Le système (i) est d'ailleurs d'ordre 6n.

178. Revenons aux équations (i3) et examinons-les de plus près. Nous les avons rapprochées des équations (i) du Chapitre IX et nous avons vu au n" 174 quelles sont les différences; on peut ramener au cas du début du Chapitre IX en combinant l'artifice du n° 170 avec celui du n" 174. Mais il est plus simple d'employer le procédé du n" 171, c'est ce que je vais expliquer.

En nous reportant à la formule (i5), nous voyons que l'on a

F = Fo(W,-)+[JtR'H-[JL2R",

où R' n'est autre chose que R où l'on a substitué W/, ç,- et v]" à la place de L/, ç/ et r^i, tandis que R'' est développable suivant les puissances de pi, ç", yiJ', et dépend en outre des constantes W/. Les équations (i3) deviennent alors

(i3 bis)

Nous reconnaissons là les équations du n° 171, car R' est formé avec les '^^ et y^^^ comme R avec les ^i et y|/.

Si toutes les planètes se mouvaient dans un même plan, de façon qu'on n'eût pas à tenir compte des inclinaisons, aucun de nos y ne serait nul, de sorte qu'il n'y aurait aucune difficulté.

Dans le cas où l'on doit tenir compte des inclinaisons et où l'un des y est nul, on tourne la difficulté par l'un des deux artifices exposés à la fin du Chapitre IX, par exemple par celui du n° 169. On se rappelle qu'il consiste à rapporter le système non à des axes fixes, mais à des axes mobiles tournant uniformément autour de l'axe des x-^.

dt

dR' , dR"

dt

dR' , ^R"

Soient alors L', V, p', a>' les éléments canoniques osculateurs rapportées aux axes fixes; L, X, p, oj les mêmes éléments rapportés aux axes mobiles ; on aura

a étant une constante dépendant de la vitesse de rotation attribuée aux axes mobiles.

On aura les équations canoniques

dlJ

dt ~

d¥ dk'"

dp'

dF diu'

dF

doi'

dF

dt ~

dV '

dt ~

dp"

d'où il est aisé de déduire les suivantes

ou

dL

Ut ~~

cTK

dp dt ~

diF -+- a[jLH) doi

dX

d{F -^a\x\\) dh

dio

Ut ~

d{F + aiJ.n) do

est le premier membre de l'une des équations des aires. J'ajoute que quand j'aurai remplacé L', p', a', oj' par

L, p, À — ^;J-^, co -h a;jL^,

les fonctions F et F + au. H dépendront seulement de L, p, X, w et pas du temps t\ cela tient à la symétrie particulière de la fonction F (c/. n° 169).

Si nous revenons aux variables \ et yj, les équations (20) conserveront leur forme canonique et deviendront

[ dh c/(F + a;jLH) d^ d(F ^ oj^xU)

\ dt dk ' dt dq

^ ^ I dl f/(FH-g[JLH) ^ d(F + oiiJ.H)

[ dt dh dt d^

Nous opérerons sur les équations (21) comme nous avons opéré sur les équations (i). Remplaçons donc dans F et dans H les variables en fonctions des W/, ^", y]^, wi; comme H est une constante, en vertu des intégrales des aires, H ne dépendra pas des wi, et je

pourrai écrire

H = H'H-.uH",

H'=Vw,— i2[(^")' + (^")M,

el où H" est développable suivant les puissances des jj., ç|-, v]" et dépend en outre des constantes W^-. Les équations (i3) deviennent alors

(r3 ter)

dt - •" :^^ ^ rfvi?

dri^'i d( R' + a H' ) , di R" + a H" )

Ces équations sont de la forme de celles du n" 171, et les procédés du Chapitre IX peuvent leur être appliqués sans aucune difficulté.

179. Calcul des moyens mouvements. — Je dis que les coefficients n' et y' (qui jouent un rôle analogue à celui des moyens mouvements) sont développables suivant les puissances du paramètre a et des constantes E^.. C'est ce qui résulte de tout ce qui précède et nous pourrions le démontrer de bien des manières, mais il semble que le mieux soit de raisonner comme il suit.

Les équations (i) doivent être satisfaites quand on fait

d'où

dt ^2à"''d^i~2d^'dï7i'

Servons-nous de cette dernière formule pour transformer les équations (i). Nous obtiendrons ainsi les deux systèmes d'équations

, dli -^ , dlf dF^

Ai '' dw\ ^ '' dw'i,

du

et

\ 2d '^'' 'dw). '~ ^ "''■ 'd^k ~ ^^i ' 1 -^ , dr^i -^ , d(\i d^ 2à "/'■ d^.~Zà ^^'- div' - d\i '

Ce sont deux systèmes d'équations linéaires d'où l'on peut tirer les constantes /?/ et y^ En effet l'indice i peut prendre n valeurs (s'il y a /i planètes) pour les À,, et 2 w pour les \i et les •t\i\ l'indice k peut prendre n valeurs pour les n! et les «'" et 111 j)our les y' et les w'. Chacun de nos systèmes comprend donc Tm équations et 3 n inconnues.

Les seconds membres des équations (22) et (23), c'est-à-dire les dérivées partielles de F, ainsi que les coefficients, c'est-à-dire les dérivées partielles des X, ç et y), sont développables suivant les puissances de

(24) [i., Eytcosnp^., Eyi- sintv^,.

Les déterminants formés à l'aide de ces équations linéaires seront donc développables de la même manière.

Chacune de nos inconnues se présentera donc sous la forme

où P, Q, X, Y sont des séries procédant suivant les puissances des

• P quantités (24). La première expression ^ sera déduite des équa-

tions (22) et la seconde expression ^ sera déduite des équations (23). En conséquence X et Y sont les déterminants des équations (22) et des équations (23).

Soient Xq et Yq l'ensemble des termes de degré le moins élevé des deux développements X et Y ; je dis que, si les deux polynômes Xo et Yo sont premiers entre eux, le développement P sera divisible par X, et Q par Y de sorte que chacune de nos inconnues sera développable suivant les puissances des quantités (24)-

C'est là un théorème général, d'ailleurs bien connu et que je vais établir en quelques mots. On aura

PY = QX,

de sorte que PY est divisible par, X; je dis que P est divisible par X. Si en effet P n'était pas divisible par X, on pourra écrire

(25) P = RX-t-S,

où R et S sont des développements de même forme que P, Q, X, Y,

et OÙ l'ensemble Sq des termes de degré le moins élevé du développement S n'est pas divisible par Xq.

Si en efl'et Sq était divisible par Xq, on aurait

So=MXo,

M étant un polynôme homogène, puisque Sq et Xo sont des polynômes homogènes. On pourrait alors poser

P =(R + M)X-t-(S — MX),

formule analogue à la formule (26) mais où R est remplacé par R + M et S par S — MX. Si nous comparons les termes de degré le moins élevé de S — MX à ceux de S, nous voyons que le degi^é des premiers est plus grand que celui des seconds, car Sq — MXo = o. On pourra donc augmenter sans cesse le degré des termes le moins élevé de S, à moins que l'on n'arrive à un moment où Sq ne sera plus divisible par Xq. Supposons donc que So ne soit pas divisible par Xq. On aura alors

RXY + SY = QX,

ce cjui veut dire que S\ est divisible par X; il faut donc que So Yq soit divisible par Xo ; or cela impossible parce que Yo est premier avec Xq et que So n'est pas divisible par Xo (pour des polynômes, le théorème a été démontré par Kronecker). Donc P est divisible par X. c. Q. F. D.

Nous sommes donc conduits à rechercher si Xo est premier avec Yo et pour cela, il suffît de démontrer que cela a lieu pour |jt. = o. Si nous faisons ui = o, il reste

Or les ^1 et les ri^ ne dépendent que des w' et pas des iv\ de sorte

que, dans les premiers membres des équations (aa) et (28), les

di dr\ ^.

~7—r, et -7—7 disparaissent.

dw dw i

n en résulte cjue X est le produit de deux déterminants :

dw] est indépendant des (v";

1° Celui des —4 qui est égal à i, puisque pour a = o, \idwj^