CUAl'ITKE X

2" Celui des — ^' Nous devons nous borner à en chercher les

dwk

termes de degré le moins élevé. Remarquons que, pour u. = o, les ç" peuvent être calculées simplement à l'aide des équations (i) du Chapitre IX [c'est-à-dire des équations (i3 bis) ou (i3 ^e/-), en supprimant dans les seconds membres les termes en |jl-]. Les ^" sont alors développables suivant les puissances des quantités (i4)- Pour avoir les termes du degré le moins élevé de notre déterminant, il suffit de prendre dans les \\ les termes du premier degré; lesquels peuvent se calculer par les procédés du Chapitre VIII. Il faut donc d'abord faire subir aux \\ le changement de variables du n° loi, qui est linéaire et canonicjue ; si alors nous appelons ç'/ les nouvelles variables on aura (en nous bornant aux tei'mes du premier degré)

^/!' = E/,. cos ojL '''', = — E/^. sin w',. = — •*]'," .

dwf^

Ce que nous cherchons c'est le déterminant fonctionnel des ^^^ par rapport aux (p'; or il est égal au produit du déterminant fonctionnel des \\ par rapport aux ^'/ cjui est égal à i (puiscpie le changement de variables du n" 151 n'est qu'un changement de coordonnées rectangulaires) par le déterminant fonctionnel des ^^^^ par rapport aux w' qui est égal à

Il 1 2 • • -f m- On a donc

Xo = r/^o ■^;o . . . .,/^o^ JJ ( E/, sin w',). On trouverait de même

Yo = X', Xi..- '<in = JX ( Ea- cos «>;^. ),

ce c|ui montre cjue Xq et \^ sont premiers entre eux.

Quelques mots pour repousser une objection possible. On pourrait dire que Xo et Yq sont premiers entre eux pour a = o, mais qu'il n'est pas certain cju'il en soit de même pour [J-<o. Il peut se faire en effet que les termes de degré le moins élevé de X et Y, qui sont de degré nn par rapport aux quantités (24) C|uand on fait u. = o, soient de degré moindre pour [J-<o, parce que les termes du degré le moins élevé cjui ne seraient d'ailleurs pas premiers entre eux disparaîtraient pour |j. ^ o.

PoLU" se mettre à l'abri de cette objection, il suffît de convenir que l'on évaluera le degré de chaque terme en attribuant à E^cos»'^, Eytsintv)^ le degré i et à p. le degré ^, q étant un entier plus grand que in. On sera certain alors que tous les termes qui contiennent [j. en facteur sont au moins de degré in.

Il résulte de tout cela cjue nos moyens mouvements n! et y' sont développables suivant les puissances des quantités (24) et, puisque ce sont des constantes indépendantes des w', qu'il sont développables suivant les puissances de jji et des E^..

Cherchons les valeurs des n' et des y' pour

[Jl = o.

Pour [j. = 0,

on a

F = Fo,

dU = ''"

dF dV

d\i ~ drj

ri),-

div/^.

-j-^ =0, dwi^

de sorte que les équations (22) nous donnent d'abord

Y'=o et ensuite

n'jz= m.

Donc les y' contiennent |ji. en facteur, et les n'- se réduisent aux ni pour ij. = o.

Voyons ce c|ue deviennent les — pour

[j. = Kl- = o.

Si nous négligeons p.- dans les seconds membres des équations (22) ou (aS), nous pourrons écrire

dV r/Fi dV ^ f/Fi

dçi ' d^i dqi ' dr^i

et dans les dérivées partielles de F, remplacer

drà

290 CHAPITRK X.

par leurs valeurs approchées

qui sont exactes à des quantités j)rès de l'ordre de [j..

Les deux membres sont alors développables suivant les sinus et les cosinus des multiples des t'p''etdes w' . Egalons dans les deux membres les termes qui ne dépendent jDas des w" ^ mais seulement

des w' .

Di ^ , • t d¥ 1^ d¥ \ -, • 1 < 1

ans les dérivées -i>-' -j — ' les termes qui ne dépendent pas

des W" sont ceux qui ne dépendent pas des X; ils ne sont donc autre chose que

puisc|ue l'on peut remplacer \i et 'i\i par ç^^ et 'r\[.

D'autre part, dans les premiers membres les termes

ne me donneront pas de termes indépendants des cp", puisque les termes de cette nature, cjui pourraient exister dans ç/, disparaissent par la différentiation.

Enfin, dans les termes

nous pouvons remplacer les \i par ç" ; l'erreur commise sur • — %■

dwf.