Reprenons les équations

dx dF dy dF^

^'^ 'dt ~' "dy' ~dt ~ 'dx'

avec ces équations nous pouvons former les équations de Jacobi

(16) F(^^,, ^j = const.

Faisons un changement canonique de variables; soient q ei p les variables nouvelles, de telle façon que

'^qdp—'^xdy= dY

soit une différentielle exacte et que les équations (i) deviennent

, , ■ , dc/i dF dpi dF

(i bis) -Jl := —~] Ç£ = .

dt dpi dt dqt

Je désignerai par F(^;yy) ce que devient F(.r,jK) quand on y remplace les x et les y par leurs valeurs en fonctions des ^ et des p\ je mets un point-virgule entre q eX. p pour éviter toute confusion et afin que F(q^p) ne semble pas être le résultat de la substitution de ^ à ^ et de /> à jk dans la fonction F.

Nous pouvons appliquer aux équations (i bis) la méthode de Jacobi, en remplaçant dans F la variable pi par la dérivée partielle -3— > ce qui donne l'équation

(16 bis) ^ i Ci', —, — ) = const.

V dgi/

Les fonctions S' qui satisfont à l'équation (16 bis) sont-elles les mêmes que les fonctions S qui satisfont à l'équation (16)? Non, en général.

En effet, je puis remplacer l'équation ()6) par

F(ic/, j/j) = const. d'èi = j y dx

PRINCIPES DE I.A DYNAMIQUE. l3

et l'équation (i6 bis) par

F(^2; />/) = const. dS' = y p dp.

L'équation F(q; p) = const. est bien une conséquence de l'équation F(x,y) = const. ; mais on trouve

dS' -dS =^pdq --^jdx = d(^\^pq —^a;j^—Y\

d'où

S'—S = ^pg — ^crj-\'.

Le second membre n'est pas nul en général.

Il y a cependant un cas oii les fonctions S' sont les mêmes que les fonctions S ; c'est celui des équations de Hamilton et du changement de variables du n° 8.

Nous avons trouvé en effet au n" 8

^jydx = '^pdg,

d'où l'on tire

dS'=dS, S'^S.

En d'autres termes, dans le cas des équations de Hamilton, si dans l'équation (i6) on remplace les x par leurs expressions en

fonctions des ^ et les dérivées partielles - par leurs expressions

en fonction des ^ et des dérivées partielles -y--, l'équation transformée s'écrira

ce qui n'est pas autre chose que l'équation (i6 his) où S' a été remplacée par S.

12. Cas où le temps figure explicitement. — Supposons que la fonction F dépende non seulement des x et des y mais du temps i, et envisageons encore les équations (i); elles n^ admettront plus V intégrale des forces vives

F = const.

dx dY' dt " dy '

dy dF'

dt ~ dr

du dF' dt ~ dv'

ds; dF' dt ~ du

l4 CHAPITRE I.

Il est aisé toutefois de ramener l'étude des équations (i) dans le cas où le temps figure explicitement dans la fonction F à 1" étude de ces mêmes équations dans le cas où il n'y figure pas ; cas qui est le seul que nous avons envisagé jusqu ici.

Introduisons deux variables auxiliaires u et r et posons

F' = F y Xi, Vi l u) -^ r,

OÙ F{xi, vï; u) est la fonction F où ? a été remplacé par ii. Considérons les équations

Ces équations ont la forme canonique.

La troisième des équations (20) nous donne

du

d où u =i t\ les deux premières ne sont autre chose que les équations (1); car. quand on fait u = t. il vient

dT dF^ dF' dF

dy dy dx dx

Quant à la quatrième, elle définit la variable r, que Ton pourrait é^^alement définir à l'aide de l'intégrale des forces vives des équations (20)

F yxi,yi\ M j -y- (-• = const.

Supposons maintenant que l'on fasse un changement de variables et que les variables nouvelles x et y' soient des fonctions des variables anciennes x et y et du temps t.

i" Si la différence

y^x' dy'—^xdy

est une différentielle exacte.

PRINCIPES DE LA Dr.NAMIQlE. l5

Lexpression

( y x' dy — u dv ^ — ( / X dy ^ u dv\

sera une difFérentielle exacte : ce qui veut dire que les équations (20) conserveront leur forme canonique, quand, conservant les deux dernières variables, 11 et f, on prendra pour variables nouvelles ôt). j'j-, u et f, au lieu de xi. 17. u et i-. Les équations (i 1 qui ne sont autre chose que les deux premières équations (20 ; conserveront donc aussi leur forme.

2^ Si l'expression

^x dy—^x dy

devient une différentielle exacte quand on y regarde t comme une constante.

Nous aurons, quand t sera regardée comme variable. ^ X dy —^x dy = dS — W dt,

dS étant une différentielle exacte et ^^ une fonction des x. des^>' et de t, ou, si 1 on aime mieux, des x\ des r et de t. Ou bien, en remplaçant t par u.

\ x' dv' — "^ X dv = dS — W du.

Posons alors nous vovons que

( ^Sx dy'^ u dv ) = ( y a- dy -hudv) = d(S-^ m W)

est une différentielle exacte.

Si donc nous prenons pour variables nouvelles x-, r'^, u et t?' au lieu de jr,, ^7. u et r. les équations (20) conserveront la forme canonique.

Mais nous aurons, avec les variables nouvelles.

et

dF'

d(F — W) dF'

dx'

~ dx' ' dy'

dy'

Les deux premières équations (20) deviennent donc

dx' d(F — W) dy' ag(F — W)

dt dy' dt dx'

On voit que les équations (1) ont encore la forme canonique, mais que la fonction F est remplacée par F — W.

3" Si les variables x' et y' sont des fonctions des x et des y seulement et pas du temps t et si

^^x' dy' — '^x dy

est une différentielle exacte.

INous retombons sur le premier cas et les équations (i) conservent la forme canonique avec la même fonction F.

Quel résultat nous donne maintenant la méthode de Jacobi appliquée aux équations (20)? Appliquons la règle. Posons

d^ dS

dxi •^" d.u

et égalons F' à une constante, nous trouvons

^/ d% \ dS r ( Xi, —, — j M H — j— = const., \ dXi / du

OU, en remplaçant u par ^,

r Xi, —, — y t ) -{ — ^ = const.

V dxi I dt

Telle est la forme de l'équation de Jacobi dans le cas qui nous occupe.

13. Crochets de Jacobi. — Revenons au cas où le temps ne figure pas explicitement dans la fonction F.

Soient F, et Fo deux fonctions quelconques des xi et des yi.

Nous désignerons par la notation [F^, Fo] l'expression suivante :

dFi dFj dxi

C'est le crochet de Jacobi .

Nous trouvons immédiatement, en vertu des équations (i),

'^ ^ Zà\dxi ~dt "^ dfi dt ) ~ Zà\dxi dyt dyt dxi]^

c'est-à-dire

Cela veut dire que la condition nécessaire et suffisante pour que F, = const. soit une intégrale des équations (i), c'est que le crochet [F,, F] soit nul.

Si A, B et C sont trois fonctions quelconques, on vérifie aisément l'identité

Supposons donc que F,^const., F^=const. soient deux intégrales des équations (i); je dis que [F,, Fo] =: const. sera une troisième intégrale. C'est le théorème de Poisson.

En effet, nous avons l'identité

[[F, Fi], F2] -+- [[F„ F2], F] -h [[F2, F], Fi] = o.

Le premier et le dernier terme s'annulent, parce que Fi et Fo étant des intégrales [F, F, ] = — [F,, F] et [Fo, F] doivent s'annuler. Le second terme sera donc nul et l'on aura

ce qui exprime que [F,, Fa] est une intégrale.

Pour plus de détails, je renverrai à mon Ouvrage sur les Méthodes nouvelles de la Mécaiiicjue céleste. On verra, en particulier, aux n°^ 06, 69, 70 et 71 (t. I, p. i66, et 192 à 198) quels sont les rapports entre les crochets de Jacobi et ceux de Lagrange que nous allons bientôt définir, et l'on trouvera à la page 169 {t. I) une nouvelle démonstration du théorème de Poisson. P. — I. 2

Dans le Tome III on verra les rapports des crochets de Jacobi avec les invariants intégraux et, en particulier, au n° 2oo, page 43, on trouvera une généralisation du théorème de Poisson.

Je n'insisterai pas ici sur toutes ces considérations.

14. Crochets de Lagrange. — Supposons que les équations (i) ayant été intégrées, les xi et les yi se trouvent exprimés en fonction du temps t et des in constantes d'intégration a^.

Je désignerai par la notation [a/,, a^] l'expression suivante :

1 V / .^' .^ ^' iî^' \

Ce sont les crochets de Lagrange qu'il faut se garder de confondre avec ceux de Jacobi.

Nous avons vu au n" 2 que les équations (i) entraînent les suivantes :

^^^ dt2à''d7,-~d^k2d'^dt ~ dn'

ce que je puis écrire J'aurai de même

dt ^^ da^ doLji \ ^ dt /

Jedifférentie (21) par rapport à a^ et (22) par rapport à a^ et je retranche. Les seconds membres se détruisent et il reste

d 1 d -^ dy d ^ dy

dt\dy.u.^' dv-k dik ■^ d'^h

ou

d v^ / dx dy dx dy \ <i [ «a . a ', ]

dt j^ \ d'Xfi d'j.i; d%h d'Xji j dt

ce qui signifie que (a^, a^) est une constante indépendante du temps et pouvant dépendre seulement des constantes d'intégration a.