JY

est de l'ordre de a; l'erreur commise sur ri —^ est donc de l'ordre

' ' dw),

de [j.-, puisque y)^ est de l'ordre de ^.

Donc, en négligeant u.- et conservant seulement dans les deux membres les termes indépendants des (v", les équations (22) et (23) deviennent

, d\1 dR

Si nous négligeons les puissances supérieures à E^, nous pouvons réduire R à Ro et écrire

Ce sont les éc^uations du Chapitre VIII, de sorte que l'on a Nous devons donc conclure que pour

les différences y). — y/t sont de l'ordre de [j.-.

Tout ce que nous avons dit reste d'ailleurs vrai, si l'on est obligé d'employer l'artifice du n° 169 et de remplacer F et R par F + afjiH, et R + ajj^H.

Remarquons que l'un des arguments y!,^. est toujours égal à ajj. (et par conséquent à zéro, quand rapportant le système à des axes fixes on fait a = o). Soient en effet, comme au n° 169, U et V les deux premiers membres des écjuations des aires. On trouve alors

aisément

d\} ,, cIN

—r- = aaV, -,— = — a.uU,

dt ' ' dt ' '

car les crochets de Poisson

[F,U] = [F, V] = o, [H, U] = V, [II, V] = — U. On tire de là

U = G cos(a[JL^ -i- a), V = G sin(aîJL^ + A),

équations qui expriment d'ailleurs que, pour un observateur invariablement lié aux axes mobiles, le vecteur des aires cjui est fixe dan^ l'espace paraîtra décrire un cône de révolution d'un mouvement uniforme; C et h étant des constantes. Comme U et V doivent être développables suivant les sinus et les cosinus des multiples des ik' et des w" ^ cela prouve cjue a[j.^ + h est une combinaison linéaire à coefficients entiers des w' et des cv", c'est-à-dire que aa est une

combinaison linéaire à coefficients entiers des Ji' et des y'

En faisant [-«-^o, je vois d'abord que les entiers ki sont nuls; en faisant ensuite ijl très petit, négligeant p.- et faisant E|= o, il reste

Or Yo« est égal à ajji. et il n'y a pas d'autre relation linéaire à coefficients entiers entre les y et a|j.. Donc tous les entiers k'^ sont nuls excepté A.',,, qui est égal à i; on a donc

"^V- = Ti«- '■• Q- i'- i^-

180. Nombre des arguments. — Dans le cas général du problème des n + I corps (n planètes), nous avons n arguments ce" et 211 arguments tï', en tout 3/z; mais comme y.',„ est nul lorsque l'on rapporte le système à des axes fixes, l'argument çv.',^^ se réduit à une constante. Les coordonnées des n-{-\ corps dépendent donc de 3/1 — I arguments seulement: leurs distances ne dépendent que de 3/z — 2 arguments [vide infra, n" 193).

Dans le cas où les n + i corps se meuvent dans un même plan, on n'a plus que n arguments « ' ; mais aucun des y' n'est nul; les coordonnées dépendent donc de in arguments.

Dans le cas du problème des trois corps, les coordonnées dépendent de 5 arguments si les inclinaisons ne sont pas nulles et de 4 si elles sont nulles; les distances dépendent de 4 arguments dans le premier cas, de 3 dans le second.

Si l'une des masses est infiniment petite, les autres masses se meuvent conformément aux lois de Kepler; l'un des y' devient nul, c'est celui d'où dépendrait le mouvement du périhélie de la grosse masse ; nous n'-avons donc plus que 4 arguments si l'inclinaison n'est pas nulle et 3 si elle est nidle; mais les distances mutuelles des trois corps dépendent encore de 4 arguments dans le premier cas, de 3 dans le second. Les équations ne présentent plus en elïet la même symétrie et il y a une direction y?a^e qui joue un rôle particulier, c'est la direction du périhélie de la grosse planète.

Passons enfin au cas du problème restreint, et supposons que l'orbite de la grosse planète soit circulaire. 11 n'y a plus alors de direction fixe c[ui joue un rôle particulier puisque le périhélie de cette orbite est indéterminé. Il en résulte que les distances mutuelles des trois corps dépendent seulement de 3 arguments si l'inclinaison est nulle et de 2 si elle n'est pas nulle (vide infra, n° 193).