THÉORÈME DE POISSON

181. Comparaison des développements. — En comparant les développements (3) et (i8) du Chapitre précédent, on est conduit à des résultats moins simples et moins nets que dans la comparaison des développements correspondants du Chapitre VII. Cependant cjuelques-uns de ces résultats ne sont pas sans intérêt et, parmi eux, je citerai surtout le célèbre théorème de Poisson sur l'invariabilité des grands axes.

Pv.appelons la forme des développements (3) et (i8) du Chapitre précédent, développements auxquels je donnerai dans ce Chapitre les n°^ (i) et (2). Le premier s'écrit

SUl

(1) y^ix^ADT^,-J-''2 ^Ji^^i.

et le second

.■'"BTT(Ef):°!(S^-. ■■'■;- Sw-;.

^BB9 H ■ S 1 11 \ ^"^^^ ^g^g

L'un et l'autre donnent la valeur de l'une des quantités oL, 0)., oç, 0'/), le premier quand on y fait

le second quand on y fait

<^v"i = n'i t -\- rn/, »•'/. = — y'/, t -l- t^)..

D'un autre côté, ^7, \]^ 7)°, L" sont également développables sous la forme (2), de sorte que

THÉORÈME DE POISSON. 2g5

sont développables à la fois sous la forme (i) et sous la forme (2), tandis que

est développable sous la forme (i) et que

li—w'} = \'^^ffi-h SX/

est développable sous la forme (2).

Si l'on veut comparer ces deux développements, il faut d'abord choisir les constantes c, £/, w, to' de façon qu'ils représentent la même solution des équations du mouvement.

Si nous prenons le développement (i) et que nous y fassions

c'est-à-dire si nous attribuons aux constantes c et e^ la valeur zéro; ce développement (i) nous fera connaître la solution particulière des équations du mouvement qui est telle que les inconnues L/, X/, ^/, T,/ aient comme valeurs initiales L°, X", ç^^, r^l pour t=^o.

Seulement, ici, il faut prévenir une confusion; dans les développements (i), L^", \^, ^1, 'f\l représentent des constantes, à savoir les valeurs initiales de L/, X/, ^i, r\i.

Dans les formules (3) ci-dessous, au contraire, L^, ^^, V^J ne sont plus des constantes. Je conviendrai donc de représenter par L^', \\, t\\ les valeurs initiales L/, ^/, 'r\i.

Nous devons donc choisir les constantes W, E, V5 et m' de telle façon que le développement (2) représente la même solution. Nous avons les équations