L, = L° + SL
ru = r,
Dans ces équations, chacune des expressions ôL, oA, 8^, di] doit être remplacée par le développement (2) correspondant et il en est de même d'ailleurs de gi, ^^, ■/]", L^^.
Faisons maintenant ^ ^ o, c'est-à-dire
Soit
ff% 50L,, ooX,, 2"^,, 5oï.,, L^o, ^00, ^00
ce que deviennent par cette substitution
S-,; oU, ?A,; ?/^i, Oï),, L;*, ?0^ y,^.
Comme L/, X/, ^i, 'i\i doivent se réduire à leurs valeurs initiales L^"", \", 11'^^ ■r\Y\ les équations (3) deviennent
Telles sont les relations d'où nous devons tirer les constantes W, E, wi, w',^
en fonctions des valeurs initiales
J'observe d'abord que les seconds membres des équations (4) sont développables suivant les puissances de
u, E/,. costtt'^^., E/,- siniïT'y.^.
et suivant les sinus et les cosinus des multiples des ra/; ce sont d'ailleurs des fonctions liolomorphes des W. Pour [j. := 0, les équations se réduisent à
Dans \\^ ^ '^i'^ 1 8\i 01^ a fait [j, = o, et ces quantités, indépendantes des CT/, sont développables suivant les puissances de
E/,. cos7^y'y^., E/,- sintTy'y^..
De ces relations (5), on peut tirer les
E/,. cos TO^^., E,;. sin V5'i^
sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances des \\ et des -ix] et dépendant d'ailleurs des W^ ou, ce qui revient au même, desLI.
Tiiiiolui.MK \)K l'Oissox. :ujy
De même, ^:,'", qui est développablo suivant les puissances des
deviendra développable suivant les puissances des q^ et des -^j.
Qu'arrive-t-il maintenant pour [j. quelconque. Remarquons que les deux membres des équations (4) sont cléveloppables suivant les puissances de ia, des ra/, des
E/^. cos ro^^,, E/,- sin tït^^.,
et enfin des W^ — L^', si l'on remplace AV, par L] + (W/ — Lj ), car ce sont des fonctions holomorphes des Wj quand ces variables sont suffisamment voisines de leurs valeurs approchées L^- .
Or, cjue nous apprend le théorème de Cauchy sur le retour des suites (voir mon Ouvrage Su?' les méthodes nouçelles de la Mécanique céleste, t. I, n" 30)?
Supposons c{ue l'on ait a équations dont les seconds membres sont nuls et dont les premiers membres sont développables suivant les puissances de n. fonctions inconnues ^i, z^-, ..., z,i et de p variables indépendantes a;,, a?^, . . ., Xp et cjvie l'on veuille tirer de ces équations les inconnues z en fonctions des variables x. Le théorème en question nous apprend que les ::; seront développables suivant les puissances des x^ si les équations sont satisfaites
cjuand on fait
et si, pour :;=^ = o, le déterminant fonctionnel des premiers membres par rapport aux z n'est pas nul.
Cherchons à appliquer ce théorème aux équations (4) et à tirer de ces équations
W^ — L], E/,; cosTir^^., E/^-siiiTHy,, ôT;,
en fonctions de [j., \\ , t\\ .
Vérifions d'abord c[ue les éc[uations sont satisfaites pour
[j. = ^1 = -r] J = THi = Wi — L] = E/,- cosTH^^. = E/,. sin th/^^, = o.
Pour a^o, les équations (4) se réduisent aux équations (5); il suffit donc de montrer que E^- ", yj^?" et g\ s'annulent pour
E/,. COSTïTy, = E/,. sillTIT^^, = o.
Nous savons que ^^ et y]^^ sont donnés par les équations (i3 bis) ou (i3 ter) du Chapitre précédent; comme nous pouvons faire jj. = o, nous pouvons négliger les termes en [jl-R" et ces équations se réduisent à
dt
dt ~ '■' d'c:i
Elles ne sont autre chose, à la différence des notations près, que les équations (i) du Chapitre IX. Donc R' ne contient que des termes de degré pair par rapport aux ^^^ et y)", c'est-à-dire que les développements des \\ et t]" ne contiendront que des termes de degré impair par rapport atix
E/, cos (P/., E^. sin tv^..
Ils s'annuleront donc pour
E/, cos «'/. = E/,. sin (v^. = o,
c'est-à-dire que les \]^ et y^"" s'annuleront pour
E/,- cos 777/^, ^ E,;. siniU/^. ^ o.
Passons à ce cjui concerne g\ ; nous avons trouvé, au n° 176,
l'équation
dgi dV ,
'dt ^ dWi ~ "'''
Le second membre est développable suivant les puissances des
cos ,
sin '"
et sa valeur moyenne est nulle, de sorte qu'il ne contient que des termes dépendant des w'/^; tous les termes de ce second membre contiennent donc un des E;;^ en facteur.
L'intégration montre que g'i est de la même forme et, si nous n'ajoutons pas de constante arbitraire, sa valeur moyenne sera également nulle et tous ses termes contiendront un des E;t en facteur.
Donc o-/ s'annule avec les E^ . (P,, et ^? avec les Ea . rnl. * sin '' *' sin '^
TIIÉORlhlE DE POISSON. 299
Vérifions mainLenant que pour
[-1 = i,j = rij = Wi— W/— Lj = E/- cosTTj^. = E/, sinra^^. = o,
le déterminant fonctionnel des équations par rapport aux inconnues
'^i, Wj — IjJ, E/,; costtt^,, E/,sinn7^.
n'est pas nul.
En effet, pour jjl = o, les équations (4) se réduisent aux équations (5), de sorte que le déterminant fonctionnel cherché se réduit à celui des ^^^ , y\'l^ par rapport aux Eyt . w'/^.
Les ^^"^, 71^°*^ sont développahles suivant les puissances des
E/, [■"'^'ff, et, si nous voulons la valeur de notre déterminant pour
E^^^ o, il nous suffira de réduire les développements à leurs termes du premier degré.
Ces termes du premier degré sont ceux que nous avons déterminés au Chapitre VITI, c'est-à-dire que les ^^^", r^^^ sont liés aux E/, costo'^,, E/fSinw'^. par les mêmes relations linéaires que les ^i, ru aux nouvelles variables ^'- , y]'- dans le changement de variables du n' 151.
Or le changement de variables est une transformation rectangulaire de coordonnées. Donc son déterminant est égal à un.
Notre déterminant fonctionnel est donc égal à un.
JYous devons conclure que Von peut tirer des équations (4) les constantes
sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de
dépendant d"" ailleurs des 1^\ .
Ce résultat m'a demandé d'assez longs discours, bien qu'il soit presque évident.
182. Rappelons quels sont les deux développements qu'il s'agit
d'identifier. Nous avons d'une part
<6) l^J='zl^^i, 'rii='^}-^hh
Les oLi, 0^/, or^i, oAj doivent être remplacés par leurs développements (i) et, dans ces développements eux-mêmes, il convient de remplacer : i° les arguments wi par fiit et t par t; 2° les constantes L^^, H^% f]^ par L^-, H^-, r^l pour nous conformer au changement de notations que nous avons été obligés d'adopter au numéro précédent afin d'éviter une confusion.
Nous avons d'autre part
Les oL/, OQi, 07]/, oÀ/ doivent être remplacés par leurs développements (2) ainsi que les L?, ^f , y]^% gi et, dans ces développements eux-mêmes, il convient de remplacer iv"^ et (t^ P^^' '^'i ^ + ^o
Pour identifier les expressions (6) et (17), nous pouvons opérer de deux manières : nous pouvons adopter les constantes
qui sont celles c[ui figurent dans les équations (6).
Nous devons alors, dans les équations ('j), remplacer les constantes
VV/, -UJi, ^Agjj^^/,
par leurs expressions en fonctions des L^', ^- , y)J, expressions que nous avons appris à former au numéro précédent.
Quelle est alors la forme des seconds membres de ces équations?
Ce sont des séries procédant suivant les puissances de
[JL, E/,.cos »-'/., E/^. siniVy..
Mais comme on a, par exemple,
E/, cos (p^. — E/; cosTTT^. cos Y/^. t -t- El- sininj.. sinyj,. f,
TIIKORÈMK Dli POISSON. 3oi
nous voyons que ce seront des séries procédant suivant les j)uissanccs des
et suivant les sinus et les cosinus des multiples des y'/^.^.
D'autre part, les L^, ^/, y\i, "ki — iv"- sont développables suivant les cosinus et les sinus des multiples des (vj, et, par conséquent, suivant ceux des ttj; et des n',- 1.
Enfin, les coefficients de ces développements déj)endent encore des W^-.
Or, d'après le numéro précédent, les
sont développables suivant les puissances des
et il en est de même évidemment des cosinus et des sinus des. multij^les des Wj.
Donc les formules (7) transformées nous donnent Lo \i-, '1/, \i— iiit sous la forme de séries procédant :
1° Suivant les puissances de
2" Suivant les sinus et cosinus des multiples des
3° Dépendant en outré des h- .
Le terme sfénéral est de la forme
^,, ces , ' sin
OÙ A déj)end seulement des \^'/, , où 011, est développé suivant les, puissances des ^j et rij et où
les ki et les p/i étant des entiers.
3o2 CHAPITRE XI.
Ce développement n'est pas encore identique au développement (6), parce que le nombre
qui est un monôme entier en [j., ç,, t),, a pour coefficient
. cos A . vt, sin
qui dépend encore de ji., ^i et y^, .
En effet, les n'i et les y';^ sont développables suivant les puissances de
D'autre part, les
E| = (E/,. cos77î/^.)2+ (E^, sinTïr/.)2 sont développables suivant les puissances de
Donc les n'^ et les y';^ et, par consécj[uent, le coefficient v', seront développables suivant les puissances de
