V-, lu
Povir identifier les deux développements, il faut donc encore développer cosv'i ou sinv'^ suivant les puissances de ces quantités.
Pour u.= o, v' se réduit à
V = ^ ki iii.
11 est clair que, par exemple,
COSv'i = COs[vi +('■'' 'O^jî
et peut, par conséquent, se développer suivant les puissances de (v/ — v)^; le terme général est égal à un coefficient numérique, multiplié par cosv^ ou sinvi et par une puissance de (v' — v)if.
Ensuite v' — v, c[ui est d'ailleurs divisible par v, peut se développer suivant les puissances de [j-, des Ç, et des yi,.
Le terme général du développement (7) ainsi transformé est
THÉORÈME DE POISSON. 3o3
alors
.^„ / , CCS
sin et il doit alors être identique au développement (G).
183. Il est alors aisé de se rendre compte de l'origine des diverses sortes de termes du développement (6), c'est-à-dire du développement obtenu par l'application directe de la méthode de Lagrange.
Les termes séculaires purs sont ceux qui ne contiennent pas le facteur cosv^ ou sinvi; ce sont donc ceux pour lesquels on a
Comme nous n'avons entre les ni aucune relation linéaire à coefficients entiers, cela entraîne
ki= o,
c'est-à-dire que les termes séculaires purs proviennent des termes indépendants des w"-el dépendant seulement des arguments iv,^.
Si, en effet, v' est divisible par pi, on ne pourra développer cosv'? suivant les puissances de [j. sans le développer en même temps suivant les puissances de ^, ce qui fait apparaître des termes séculaires purs.
Quelle différence j a-t-il donc entre le cas actuel et celui du problème restreint traité au Chapitre VTI?
Dans les deux cas, nos coordonnées peuvent s'exprimer en fonctions développées suivant les cosinus et les sinus des multiples d'un certain nombre d'arguments variant proportionnellement au temps. Mais, dans le cas actuel, quelques-uns de ces arguments ont un moyen mouvement très lent s'annulant avec pi; dans le cas restreint, au contraire, tous les moyens mouvements étaient finis. Il en résultait que nous n'avions pas de terme en cosv'ï, avec v' divisible par p., et, par conséquent, pas de termes séculaires purs dans le développement de Lagrange.
Les termes qui dépendent des w'\ pour lesquels par conséquent le coefficient v n'est pas nul, nous donneront des termes périodiques et des termes séculaires mixtes.
3o4 CHAPITRE XI.
Quel sera le rang des termes ainsi oLt.enus? Partons d'un terme
(8) A[^.«DrLa''°--v'^
sin
du développement (^) transformé; il nous donnera des termes de la forme
1 ~ CM- / : ^ cos
Aa«DK'i(v — vY" t"^ . yt, sin
et si, en développant (v' — v)'" suivant les puissances de u, on frouve
notre terme général deviendra
sm
Comme v' — v est divisible par p., l'exposant [3 est au moins éiial à J7i.
"tJ^
Le rang de notre terme général est donc
a + p — ju -la.
Comme a ne peut être négatif, nous voyons la raison d'être de ce fait démontré plus haut qu'un terme quelconque est toujours au moins de rang zéro.
Ainsi les termes déduits d\in terme de la forme (8) ont toujours leur rang au moins égal ci a.
On voit qu'on obtiendra les termes de rang zéro en faisant y. = o dans les équations ('j); comme, dans ces conditions, oL, o;, o-/], oX s'annulent, il reste
Là L^", ^", 7]°, gi doivent être remplacés par leurs développements de la forme (2) et, dans ces développements, il faut encore faire a^o. On retrouverait naturellement ainsi les résultats du Chapitre IX.
Cherchons l'ensemble des termes séculaires purs, et d'abord en
TlIKORÈMIi: DE POISSON. 3o5
ce qui concerne les L/, les ^/ et les ti/. Ce sont, nous venons de le voir, les termes indépendants des w" .
Mais nous devons nous rappeler comment ont été obtenus les développements (2); on a pris les développements (i), on y a fait T ^ o, on y a remplacé les i)\ les n" et les L° par leurs valeurs en fonctions des iv'/^ et des VV [valeurs déduites des équations (i3) du Chapitre précédent) et enfin on a remplacé les Wi par (vj+ gi.
Dans cette dernière substitution, un terme
donne
A cos ^/''/ <ï'/ A cos^A-,a''; cos ^/.7^, — A sin^A/ w} sin^A/^v,
c'est-à-dire cpie tous les termes qui en pro^iennent contiennent en facteur le cosinus ou le sinus de > kiw] .
Donc un terme indépendant des wi (c'est-à-dire où les ki sont nuls) ne nous donnera que des termes indépendants des (vj et inversement un terme dépendant des <ï'/ ne nous donnera que des termes dépendant des w"-.
Nous voulons l'ensemble des termes indépendants des (vj ; pour cela, nous n'avons qu'à prendre l'ensemble des développements (i), à y faire t = o, à y supprimer tous les termes dépendant des (V, et à y remplacer les L)^, \" ^ r^- par leurs développements de la forme (a).
Nous aurons donc
termes séculaires purs de L/ = ^4-^ val. moy. oL,-,
b = \\ -+- '> oi,;
» 'rii = -,1^- -+- )) orii.
Je donne au mot de valeur moyenne le même sens que dans le Chapitre précédent, c'est-à-dire que je suppose que, ayant développé ôL/, o\i^ 0T\i suivant les puissances de t et les cosinus et sinus des multiples des (v, je n'y conserve que les termes indépendants de T et des w.
Pour Xi, il faudrait tenir compte en outre de ceux qui proviennent du terme (vj, de sorte qu'on aurait, pour les termes sécu- P. — I. 20
3oG ciiAPiruE XI.
laiies purs cle )./,
X" + i^it -4- TO/-!- gi-\- val. mo^'. ol/.
184. Nous aurions pu également, pour comparer les développements (6) et (7), adopter les constantes
il nous aurait suffi alors de remplacer les L^! , qj ^ t)^-, ra,- par leurs valeurs données directement en fonctions de ces constantes par les équations (4)- Nous aurions obtenu ainsi quelques résultats intéressants.
Nous aurions pu aussi faire la comparaison des développements sans faire un choix particulier de constantes.
Il en serait résulté de grandes simplifications et nous aurions supprimé des longueurs plutôt que des difficultés. Mais notre comparaison aurait été moins précise.
I80. Théorème de Poisson. — On sait que Lagrange a démontré un théorème dit de V invar iabilité des grands axes et en vertu duquel les développements des grands axes ne contiennent pas de termes séculaires, du moins si l'on néglige les carrés des masses, c'est-à-dire les termes de l'ordre de jjl-. Nous avons démontré plus haut' ce théorème [cf. n'' lOo) si important au point de vue de la stabilité du sjstème solaire.
Plus tard, Poisson a étendu les résultats de Lagrange et établi un théorème analogue pour le cas où, tenant compte des carrés des masses, c'est-à-dire des termes en [j.-, on néglige les cubes des masses, c'est-à-dire les termes en a-^. On trouve, à la vérité, dans le développement des grands axes, des termes séculaires mixtes ; mais il n'y a pas de termes séculaires purs.
A-insi Poisson a monti^é que, dans le développement des grands axes ou, ce qui revient au même, dans celui des L/, il n'y a pas de termes en
Or les termes en u- sont d'ordre deux et de rang un. Nous allons maintenant démontrer ce théorème de Poisson ou j)lulôt nous allons établir un théorème plus général, à savoir que
THÉOUÈME DE POISSON. 807
dans le développement des L/, il n^y a pas de ternies séculaires purs de rang un.
D'où, en effet, pourraient provenir ces termes? ISous avons vu plus haut que, pour obtenir les termes séculaires purs de L^, il faut prendre le développement de L^- suivant les puissances de t et les sinus et les cosinus des multiples des (v et ne conserver dans ce développement que les termes indépendants de t et des tv, ou, si l'on aime mieux, les termes cherchés ne sont pas autre chose que la valeur moyenne de L,-.
Or, plus haut, au n" 175, nous avons démontré que la valeur moyenne de W/ — L/ est divisible par jj.-. Nous avons donc, pour les termes séculaires purs de L/,
W,+ ;a2DL„ où DLj est développable suivant les puissances de a. et des
