X^ COS
sin
Rappelons d'ailleurs que
cl oX -^ ^ d Ô'r]
i^2 DL,- = - val. moy. ( V 5L 1^ + V 8^ ,
" \ .^ clwi jê^ ■ dwi
Or W, est une constante, ce n'est donc pas un terme séculaire proprement dit; quant à [jl-DL/, il nous donnera des termes de la forme
c^,- COS ,
sin
OÙ l'exposant a sera au moins égal à deux, puisque |Ji-DL/ est divisible par [j.-.
Or nous avons vu c[ue les termes qui proviennent de (8) sont au moins de rang a. Jls sont donc au moins de rang deux. Donc les L/ n'ont pas de terme séculaire pur de rang plus petit que deux.
Nous n'aurons donc pas de temne en u.-/, mais nous aurons des
termes en
IJ1.2 sinv'^,
OÙ V sera nul et où, par conséquent, v' sera divisible par jx.
3o8 CHAPITRE XI.
Soit, en développant suivant les puissances de tj.,
v' = aj [j. -t- aj i-i^ + . . . , nous aurons
[JI.2 sinv'^ = [J.- sin(aiP^ -+- a^i-J.- / +...).
Si nous développons suivant les puissances de [j., le premier terme du développement sera
ai [ji^ t.
Nous aurons donc des termes en y.^t.
Après la découverte de Poisson, on crut longtemps c|ue le théorème était général et que, après l'avoir démontré d'abord pour la première approximation, puis pour la seconde, on ne tarderait pas à le démontrer également pour les approximations suivantes. De grands efforts furent faits dans ce sens et, naturellement, ils furent infructuexix.
En 18^6, M. Spiru-Haretu montra l'existence de termes en a ' /^ et ce résultat causa un grand étonnement, bien que, dès cette époque, cjuelques personnes en aient soupçonné la raison. Il n'a plus aujourd'hui rien qui puisse nous surprendre.
186. Revenons au Chapitre VIII. Au n" 141, nous avons trou\é la formule
et nous avons dit :
1" Que la seconde intégrale du second membre ne peut donner de termes de rang zéro;
2" Que les termes de rang zéro provenant de la troisième inté-
grale étaient
r' dR ^
3" Que la première intégrale ne pourrait donner d'autres
termes de rang zéro cpie ceux provenant des termes de rang un
séculaires purs de
r dFi j
THÉORÈME DE POISSON. Sog
Or, d'après ce qui précède, ces termes n'existent pas. La première intégrale ne donnera donc pas de terme de rang zéro. Donc les termes de rang zéro de \i ne pourront être que
dt.
c'est-à-dire que l'on obtiendra les termes de rang zéro de \i à l'aide
de l'équation
jointe d'ailleurs aux équations
, di^i dK dr\i dY\
qui nous donnent les termes de rang zéro des \i et des 'r\i.
Comme R ne dépend pas des A^-, mais seulement des L/ (qui, si l'on se borne aux termes de rang zéro, comme aux Chapitres VIII et IX, doivent être regardés comme des constantes), ainsi que des \i et des -t\i qui ont été complètement déterminés à l'aide des équations (lo).
Les seconds membres des équations (g) sont donc des fonctions entièrement connues, de sorte que ces équations (9) pourront s'intégrer complètement par une simple quadrature.
On obtiendra d'ailleurs ces termes de rang zéro de À,, qui ne peuvent être que séculaires purs, en parlant de la formvde
termes séculaires purs de X,=: \\ -f- n'/^ -)- TTr^-t- gi-\- val. moy. oX/,
et en faisant jj. = o dans gi et û)./. Alors oÀ,, qui contient [j. en facteur, s'annule et il reste
\\-\- n'it-\-vji'A- gi.
Soit, d'autre part,
n'i = n,M- 71 '1 ' ;jH- 71 '/' [J.2 -i-
Les termes
étant de rang a — 1 , nous ne conserverons que le premier d'entre eux :
3lO CHAPITRE XI. — THÉOKÈME DE POISSON.
et il nous restera, pour les termes de rang zéro de À^,
'k^i^Tii+mi^ n^i^'' \j.t + gi.
Or gi est développé suivant les puissances des
- E/, CCS (ï'^^., E/,. sin tp^..
C'est donc une fonction périodique des w' , et si nous nous rappelons la façon dont nous l'avons formée, en n'ajoutant pas de constante arbitraire après l'intégration, nous voyons que la valeur moyenne de cette fonction périodique est nulle. Il en est de même
de la valeur moyenne de — ^ •
Donc, si nous remplaçons dans E. les \i et les Y)/ par leurs développements suivant les puissances des
E/,. ces (ï'/. et 'Ek'smw'i.^ la valeur moyenne de
sera egaJe a
dU
Il s'agit ici des développements étudiés au Chapitre IX, puisque nous ne considérons ici que les termes de rang zéro. Donc ces développements ne contiennent que des termes de rang impair par rapport aux E^f (c/. n°* 14-4 et suiv.), donc les ^/ et les t)/ s'annulent avec les E;^
Le coefficient Tz^-*' estdéveloppable suivant les puissances des E^; pour avoir le premier terme de ce développement, il faut faire
E|. = o, c'est-à-dire
Alors R se réduit à ce que nous avons appelé Rq aux Chapitres VIII et IX; on aura donc, pour Ej^. ^ o,
Ainsi, dans le développement de n- suivant les puissances de [j. et des E^, le coefficient de pi est-rj-^*
187. Symétrie. — Reprenons les développements du Chapitre X qui procèdent suivant les sinus et les cosinus des multiples des arguments w' et w". Nous pouvons exprimer ces sinus ou ces cosinus à l'aide d'exponentielles imaginaii^es et écrire ces développements sous la forme suivante :
I L/, = 2 ^ ''''^■' ^''^- = "'/'■ -^ 2 ^ ^''^' (i) \ 'çA-^ i-q/,= ^Cei^,
où
et où les coefficients A, B, C, G' dépendent des constantes W etE.
Pour satisfaire aux équations du mouvement, il faut poser
iv')= n'jt^wj, iv'j -^ — ^/. t -^ w'j \
d'où
o = vt -h h, OÙ
^ == 2 ^'^ "^' ~ 2 ^' ^^'j ' ^' " 2l ''^ "^J ^^Pj'^'-i-
Aux équations (i) nous adjoindrons les intégrales des aires que
nous écrirons
U = const., V = const.,
en conservant aux lettres U et V la même signification que dans les Chapitres IX et X. Dans le cas où l'on est ohligé d'avoir
iii CHAPiTnn: xii.
recours à l'artifice du n" 178, c'est-à-dire de rapporter le système
à des axes mobiles tournant autour de l'axe des x^, les équations
deviennent
, , dL d(F -+- 7.1J.U)
^'''^ 'dt ^ ^7X '
[équation (20) du n" 178].
jNous avons trouvé alors, au n° 179, C|ue U et V au lieu d'être des constantes sont proportionnels au cosinus et au sinus de a.u.t -|- //, de sorte que Ton peut écrire
K et h sont des constantes réelles et K. dépend des constantes W etE.
En effet,
s'exprimant aisément à l'aide des L/f, des ^/(Ct des-/]/,, est une fonction des W, des E, des w' et des iv" ; comme d'ailleurs c'est une constante, elle ne pourra dépendre des w' et des «'", mais seulement des W et des E.
Observons maintenant que les équations du mouvement ne cbangent pas quand on fait tourner tout le système d'un angle s autour de l'axe des X3. Cette propriété est vraie des équations ordinaires du problème des trois corps; elle est vraie également des équations (2) [équation (20) du n" 178].
On doit donc pouvoir donner, aux constantes d'intégration
des accroissements tels cpie tout le système tourne d'un angle î autour de l'axe des ^3, c'est-à-dire que
(3) L/c, ^^A', ^, + £>]/■, \h— i-r^k se changent en
(4) U-, Xa+£, {\k-^iruc)e-i-, {\k— i-r\k)<i''=--
Et en effet si nous faisons la transformation qui consiste à remplacer les quantités (3) par les quantités (4) (s étant un angle constant quelconque), les équations du mouvement ne changeront pas; donc on devra retomber sur une nouvelle solution particulière
SY.MÉTRIIÎ DES DÉVELOPPEMliNTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 3l3
cle ces équations, coi'respondant à de nouvelles valeurs des constantes d'intégration.
Si l'angle s est infiniment petit, les accroissements des constantes d'intégration seront des infiniment petits
Il en résultera pour
A, B, G, G', K, n'j, y) des accroissements
ôA, oB, oG, oC', oK, 6/iy, oyy,
pour ce' un accroissement oiv"- et pour cp un accroissement
OO =^ t ryi -\- 0//,
OÙ
D'un autre côté, D^, À;;, ç/(+ r/]^) i/i — ^'^lA devront subir des déplacements
de sorte que l'on aura
o = V SA e''? -^ t'y A ov^e'Ç -}- îV A S/ze'9,
£ = t on/.-+- 07TT/,-l- ^ ôB e'? -^ i' 5] '^ ^'^ '^'^ "^ ^ S ^ o/ie'?, (5) •(
- î£ y G e'? = V oG e'9 -^ ^''^ G ov^e'? + i V G ÔAe'?,
y G'e-'? = Y oG'e-'? - f Y G' ov <e-'9— j V G'
Les deux membres des équations (5) sont développés suivant les puissances de t (qui ne figure d'ailleurs qu'à la puissance o et à la puissance i) et suivant les sinus et les cosinus des multiples des n'jt et des y'^. Ces deux membres sont donc de la forme des fonctions considérées dans le lemme du n" 107. Ce lemme s'applique
3l4 CHAPITKE XII.
donc; c'est-à-dire que nos équations ne peuvent avoir lieu que si les termes semblables se détruisent.
Donc les termes en ?, ou en ^e'?, qui ne figurent pas dans le premier membre, doivent s'annuler dans le second.
Donc : i" on aura
on^. ^ o ;
2'' Pour tous les termes dont le coefficient A, B, G ou G n'est
pas nul, on aura
ov = o.
Or les termes les plus importants du développement de ^A^t if\k sont ceux que nous avons trouvés au Chapitre VIII. Ce sont des termes en
Us ne s'annulent pas en général et ils ne peuvent se réduire avec les termes suivants puisqu'ils sont beaucoup plus grands que tous les autres quand [j. et les E sont très petits. Or si cp = (v' , on a
on a donc
oyj=o.
Les lï'i^ et les y'- sont des fonctions des constantes W et E; alors une question se pose : des 3/i équations
peut-on déduire les 3/2 équations
(7) 8W=oE = o?
La réponse est aisée; on a évidemment '
donc, si le déterminant fonctionnel des /i^ et des y' par rapport aux W et aux E n'est pas nul, c'est-à-dire s'il n'y a pas de relation entre les fonctions n'^ et y^, les équations (6) entraîneront les équations (7).
Si toutes les planètes se meuvent dans un même plan, de telle
SYAJÉTRIK DES DKVELOPPKMKN TS. SOLl I IONS PÉHIODIQLES. 3l5
façon qu'il n'j ail pas à se préoccuper des inclinaisons, on a seulement n arguments w" et n arguments (v', et, entre les in coefficients correspondants n' et y', il n'y a aucune relation (nous reviendrons sur ce point au numéro suivant).
Si toutes les planètes ne se meuvent pas dans un même plan de telle façon cjue l'on ait à tenir compte des inclinaisons et cjue l'on ait à employer l'artifice du n" 178, il y aura une relation, puisque l'on aura, d'après le n° 179,
c'est-à-dire que y^/î est une constante indépendante des E et des W Dans ce cas, il conviendra d'envisager la constante
c'est la projection du vecteur des aires sur le plan des x^Xy\ elle
ne change donc pas quand l'on fait tourner tout le système d'un
angle e (ce cjui revient à un changement d'axes de coordonnées où
l'axe des x^ et le plan des X\ X2 sont conservés).
On aura donc
oK = o.
Or entre les /i^, les y'- (en exceptant y.',^J et K, il n'y a aucune relation (je reviendrai sur ce point au numéro suivant). On pourra donc tou^jours raisonner de la même manière et, des équations (6) auxquelles on adjoint oR^ o, on pourra déduire les écjuations ( j)
oW = SE = o.
Comme A, B, G, C ne dépendent que des ^\ et des E, on en conclut
oA = oB = 8G = oC = o,
et nos équations (5) deviennent
; 7 A ohe''^,
(5 bis^
. y Ce-'? = — t y G' oA e-'?.
3l6 CHAPITRE XII.
La première de ces équations nous apprend que, pour tous les termes de L^, on a
De même on a
oh = o,
pour tous les termes périodiques de àa-
D'autre part, la deuxième équation nous montre en outre que
