SA

11 en sera de même pour tous les termes de ç^. et r,^, où les ^'j. et les r\i^ sont liés aux ^^ et aux r,^ par le changement linéaire de variables du n° i51.

Or parmi les termes de \k~\- i'']/(, il y a des terjues en

qui ne s'annulent pas puisque leur coefficient est très voisin de E/, pour u. et E;^ très petits.

Pour ces termes on aura

et par conséquent On a donc

07ÎT,. == — £.

11 vient donc en général

oh

D'où cette conséquence :

Pour tous les termes de L^ et de A^ on a entre les entiers kj el pj la relation

Pj = o.

SYMÉTRIE DES DÉVELOPI'IÎMENTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 3l7

Pour tous les termes de ^/t et de r,/i, on a

Pj

Ces résultats sont analogues à ceux que nous avons obtenus aux n"^ 116 et 162. Remarquons que nous aurions pu raisonner ici comme aux Chapitres VI et Vil et inversement qu'au Chapitre VII nous aurions pu raisonner comme nous le faisons ici.

188. yVu numéro précédent nous avons annoncé, sans le démontrer, cju'il n'y avait pas de relation entre les n' et les y' si toutes les planètes se meuvent dans un même plan et que, dans le cas contraire, il n'y a pas de relations entre les n' ^ les y' et R. Nous en avons conclu les équations

oW = oE = G.

Il serait aisé de vérifier cette assertion en se bornant aux premiers termes des développements, mais on peut arriver au résultat par une voie plus simple.

Reprenons en effet les variables ^'^. et y]^ qui sont liées aux \]^ et aux 7]/!f par les relations linéaires du n° 151; on pourra les développer sous la même forme et écrire

en mettant en évidence le terme tout connu D^ ; de même dans le développement de La je puis mettre en évidence le terme tout connu et écrire

Quand je ferai tourner tout le système d'un angle s, on voit que H'/: + 7]^- ne change pas, et il en est de même de L^ ; on a donc

SD'j -h V 3D e'9 H- i V D ocp e'? = o, oA^-H % oAe'?H- i 7 Aooe'?=o.

Les termes tout connus doivent s'annuler, d'où

(8) oDâ = o, (îA;î=q.

3i8 CHAPinu-: xii.

Les D^ et les A^ sont des fonctions des W et des E. Les équations (8) entraînent-elles les équations (7)? Il suffît pour cela, comme nous l'avons dit, C[u'il n'y ait aucune relation entre les D^' et les Aq. Or cela est aisé à vérifier.

Il suffit de faire la vérification pour [jl = o. Or, pour \>.^^o, on a

et par conséquent

Pour u. = o, les ;a, les rik, les ç^ et les -^^ se réduisent à leurs temnes de rang zé/'o, c'est-à-dire à leurs valeurs telles qu'elles ont été calculées dans le Chapitre IX.

Il nous suffira de faire la vérification pour les petites valeurs des excentricités et des inclinaisons, c'est-à-dire pour les petites valeurs des E/t. Il est clair en effet que, s'il y avait des relations entre les A" et les D", ces relations subsisteraient quand on réduirait les développements à leurs termes de degré le moins élevé.

Or, pour les petites valeurs des E/f, nous pouvons réduire les ^a et les riA- aux premiers termes de leurs développements suivant les puissances des E^, c'est-à-dire à leurs valeurs telles qu'elles ont été calculées dans le Chapitre VIII. On a alors

et par conséquent

11 n'y a donc aucune relation entre les Aq= Wa et les Dy= E|.

Donc les équations (8) entraînent les équations (7) et par conséquent

oA = oB = oG = oG'= o.

On peut poursuivre l'analyse comme au numéro précédent.

189. On peut en déduire des conséquences sur la façon dont les n'^ et les y' dépendent du coefficient a qui figure dans les équations (20) du n" 178 [équation (2)]; appelons (2 bis) ce que deviennent les équations (2) quand on y remplace a par a-f- 8a en

SYMÉTRTIÎ DKS DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIONS PERIODIQUES. 019

donnant à a un accroissement §a. Alors à une solution

L/.-, hc, h--^^'rik, U—ifïk, '^k'^'n'/r des équations (2) correspondra une solution

des équations (2 bis).

D'autre part on pourrait concevoir que, pour passer d'une solution particulière des équations (2) à la solution correspondante des équations (2 bis)., il fût nécessaire de donner aux constantes d'intégration de petits accroissements.

Les coefficients A, ..., v, ... subiront également des accroissements, d'une part parce qu'ils dépendent de ces constantes et d'autre part parce qu'ils dépendent de a. Nous sommes donc conduits aux formules suivantes, analogues aux équations (5), où toutefois nous avons mis en évidence comme au numéro précédent les termes tout connus ôA" et SD" :

G = oA°.-i- % ôA €'■■? -+- t 'V A ov ^e''9 + i ^ A SA e'?,

t\x'h'x = t In'i^ -+- OTO/,. -h 2, '^^ ^'''^ ~^ ^Z^^ '^^ ^^'* -:- i \ B o/i e'9,

(9) / — it [x 8a V G e'=? = '^ ^G e'? -h f V G ôv fe'? + i V G SAe'?,

it [X §a V G'e-'? = V oC'e -'9— ^ V G' ov te-i'^— ï V G' ^he-'--?,

o = oD/°.-H V oD e'? H- i V D ov /e'9 -H t V D S^e'?.

Égalons encore ici les termes sem.blables; nous trouverons d'abord

oAy.= o, oDy. = o,

d'où

ÔW = oE = o.

Nous voyons ensuite que ov et ùJi sont nuls dans les développements de

L/.-, >^.v, ^k + n'k et que

Mais le point le plus important au point de vue qui nous occupe.

Ô-20 ClIAlMTRlv Ml.

c'est que l'on a, en égalant les termes en / dans la seconde équation

[i. oa = on/,..

et en égalant les lermes en ?e'? dans la troisième et la quatrième,

— [j. oa = ov,

et cela pour tous les termes de q^ et de 7)^ dont le coefficient n'est pas nul. Or, parmi ces termes, il J a comme nous l'avons vu des termes en

E/,e'H, OÙ

On a donc

5y;, = a oa.

Ainsi tous les ô«^ et les oy^j sont égaux entre eux; les dilférences n'/. — n':, y^. — y'-, n'f. — y'-, sont donc indépendantes de a. Comme nous avons vu d'autre part que yl,^ est égal à ajj., nous pouvons conclure que n^ — c/.u. et y^. — aij. sont indépendants de a.

Dans les développements de L^ et de X^, on a

d'où

ce qui montre que v est indépendante de a.

Si donc on regarde les constantes to et m' comme indépendantes de a, l'angle cp sera indépendant de a, et il en sera de même de \v\ — au.;. Il en sera donc de même de La et de \k— "^[J-l.

Quand donc a se changera en a + oa, les quantités L/; et X^ se changeront en La et Xa+ 2a [jlL

Dans les développements de ça et j^-a, on a

et par conséquent

ce qui prouve que v — ajj. est indépendant de a, et par conséquent que cp + a[j.Z est indépendante de a.

Donc

(^/.■-l- ii]/,)ei'=^V-^= "V G e^'Ç+aSJ-')

est indépendant de a, et il en est de même de

Gela veut dire que quand on changera a en a + 5a, les expressions ^k-h i'f'ifi et Ik — ir^/ç se changeront en

Donc pour passer d'une solution des équations (2) à la solution correspondante des équations (2 bis), il suffit de changer a en a + Sa, sans rien changer aux constantes d'intégration W, E, m, to'.

On pourrait d'ailleurs se borner à constater qu'en changeant dans nos développements

w" en w" -I- Sa |jl ^, w' en w' — oajji^,

en conservant les mêmes constantes W et E, on change Ly^, \k-, Ik+i'^ik-, Ik— i'i\k en La-, Xa+ ûa <^t

c'est-à-dire que l'on passe d'une solution des équations (2) à une solution des équations (2 bis). Cela résulte immédiatement des relations

sans que l'on ait besoin de recourir à l'analyse qui précède.

Tout cela nous montre que le passage de la solution générale

des équations (2), c'est-à-dire des équations (20) du n° 178, à

celle de l'équation du mouvement des trois corps rapportés à des

axes fixes, se fait d'une façon immédiate; les coefficients des déve-

loppements (A, B, C, C) ne dépendent pas de a; seuls les moyens mouvements dépendent de a et ils en dépendent linéairement. Il suffit donc de donner à chacun de ces moyens mouvements la valeur qui correspond à 7.= o.

Dans ces conditions l'un d'eux s'annule, c'est yi,^^. Si d'ailleurs nous choisissons le plan invariable pour plan des5?,a;2) la quantité que nous avons appelée Eo„ s'annule ; de sorte que les termes qui dépendent de l'argument w'.-,^ disparaissent d'euxmêmes.

190. Conjonctions symétriques. — Supposons qu'à l'époque ^ := o tous les astres se trouvent dans un même plan que j'appellerai P et que toutes leurs vitesses soient dirigées perpendiculairement à ce plan.

Nous dirons alors que les astres sont en conjonction symétrique. Dans ce cas, il arrivera que si Ton compare les positions d'un même astre à l'instant ^ et à l'instant — t ces deux positions sont symétriques l'une de l'autre par rapport au plan P. C'est là une conséquence immédiate de la symétrie de nos équations.

Nous pouvons supposer que Ton ait défini les constantes m et m' de telle façon que les arguments w' et w" s'annulent au moment de la conjonction symétrique, c'est-à-dire pour t=^o. Quand nous changerons t en — /!, c'est-à-dire quand nous changerons les w' et les w" en — w' et — w" , la position de chaque astre sera remplacée par sa symétrique par rapport au plan P. Si nous choisissons le plan P pour plan des x^x^., cela veut dire que L;^, Àa, Ça-, ''^iA- se changeront en La, — A^, \k et — '^a. Donc dans nos dé{>elop peinents procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples des w' et des (v", les L^ et les Ha ne contiendront cjue des cosinus, tandis que les àa et les y,a /^c contiendront que des sinus.

On pourrait croire qu'en nous imposant la condition de la conjonction symétrique, nous avons restreint la généralité, mais en réalité, nous ne l'avons pas fait d'une façon essentielle. Si en effet il y a /z + I corps dont le centre de gravité commun est supposé fixe, c'est-à-dire n planètes, il nous reste, au moment de la conjonction symétrique, des arbitraires au nombre de 3/i, à savoir les 2/z coordonnées des n planètes dans le plan P, pris pour plan

SVMÉTUIE DlîS DÉVEL0PPEMI:NTS. SOLUTIOXS PKIllODIQUKS. SaS

des XiXs, et leurs ?i vitesses dont la direction nous est imposée, mais dont la grandeur reste arbitraire. Nous pouvons alors profiter de cette indétermination pour choisir arbitrairement les 3/i constantes W et E.

Or nos inconnues ne dépendent que de ces 3/^ constantes et des 3/1 arguments w' ei w" ] nos développements qui contiennent les uns seulement des sinus, les autres seulement des cosinus nous suffisent donc pour nous donner la solution la plus générale. En donnant aux constantes tu et m' la valeur zéro, on aura la solution particulière qui correspond au cas de la conjonction symétrique; en leur donnant des valeurs quelconques on aura la solution générale .

191. D'autre part, si nous remplaçons le système par un autre symétrique du premier par rapport au plan des Xi X2, les L et les A ne changeront pas, non plus que les variables excentriques tandis que les variables obliques changeront de signe.

D'ailleurs, en vertu de la symétrie des équations, si les positions initiales des deux systèmes ainsi comparés sont symétriques l'une de l'autre par rapport au plan des XiXo, il en sera de même de leurs positions à un instant quelconque.

Soient donc

W/,, E/,, rn/,, vy'f.,

les valeurs des constantes d'intégration qui conviennent au premier de ces deux systèmes; on doit pouvoir trouver d'autres valeurs de ces constantes qui conviennent au second système, c'est-à-dire telles qu'en les substituant auxvàWûrs primitives de ces constantes on change le signe de toutes les variables obliques sans altérer les autres variables.

Soit alors, pour le premier système,

un terme quelconque de l'un de nos développements, la lettre o ayant la même signification qu'au n° 187.

Soit A'e'^?+'^^ le terme correspondant pour le second système. Les deux développements devront être identiques au signe près. Si donc on a affaire à L^, 1^ ou à une variable excentrique, on

324 CllAPURU XII.

aura (en égalant terme à terme les développements correspondants)

Ae'?= A'e'^?-!-/''.

Si l'on a afFaire à une variable oblique, on aura au contraire

Ae'9 = — A'e''(?+/'',

ce que l'on peut réaliser de deux manières :

1° En faisant

2" En faisant

Pour fixer les idées à ce sujet, nous supposerons qu'il y ail conjonction symétrique à l'instant ^ = o, c'est-à-dire que les constantes TTT et w' soient nulles. Ainsi que nous venons de le voir, cela ne restreint pas la généralité d'une manière essentielle. On

aura alors

avec A = A' pour les L, les X et les variables excentriques et A = — A' pour les variables obliques.

Rappelons d'abord que, dans les conventions faites dans les Chaj)itres précédents, les indices impairs ont été affectés aux variables excentriques ^ et r, ainsi qu'aux E et aux w' correspondants, tandis que les indices pairs ont été affectés aux variables obliques ^ et rj ainsi qu'aux E et aux w' correspondants.

Que deviennent donc les constantes W et E quand l'on passe du premier système au second symétrique du premier par rapport au plan des a?, a:"2?

Je dis que les W ne changent pas, non plus que les E d'indice impair, tandis que les E d'indice pair changent de signe.

D'abord pour les W. Nous avons vu que W^- n'est autre chose que la valeur moyenne de

^ ^ .^ d(\'i ^ dwi

prise par rapport à t et aux w (valeur moyenne qui s'obtient, je le rappelle, en exprimant tout en fonctions de i et des (p et conservant seulement les termes indépendants de t et des (v). Quand l'on veut

SYMÉTRIE DES DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIONS PÉRIODrQL'ES. SaS

ensuite tout exprimer en fonctions des nouveaux arguments iv' et (T''', il faut, comme nous l'avons expliqué au Chapitre X, faire

T = O, Wi= W'-^ gi

puis remplacer LJ- , gi, ^^ , -/i" par leurs valeurs en fonctions des iv'. On voit que les termes dépendant de t disparaîtront quand on fera T = o; que les termes indépendants de -, mais dépendant des (T', nous donneront des termes dépendant des ce", tandis que les termes indépendants de t et des iv nous donneront des termes indépendants des iv".

La valeur moyenne par rapport à -: et aux (V, ne différera donc pas de la valeur moyenne par rapport aux (v" . D'autre part

dk dX d(\ d'f]

dwi dw\ dwi dw'\

de sorte cpie finalement W/ n'est autre chose que la valeur moyenne par rapport aux \v' de

Remarquons en passant que W, étant une constante, cette expression (lo hi&) ne peut contenir de terme indépendant des kv" et dépendant des tv'. Or si nous nous reportons à la comparaison des développements du Chapitre XI, nous voyons tout de suite que les termes séculaires purs proviennent du développement des termes qui dépendent des w' sans dépendre des «". L'expression (lo bis\ ou si l'on aime mieux l'expression (lo), ne peut contenir de termes séculaires purs.

C'est là une généralisation du théorème de Poisson.

Quoi qu'il en soit, quand l'on passe du premier système au second L et \ ne changent pas, H et 'r\ ne changent pas non plus quand l'indice est impair (variables excentriques) ; \ et y] changent de signe tous deux quand l'indice est pair. En résumé, l'expression (lo his^ ne change pas. Donc W/ ne change pas.

Passons aux Ea. Soit Ayt le coefficient de coscc^ dans l'un de nos développements; comme tous nos développements doivent procéder suivant les puissances des EycostVy, EysintVy, nous devons

320 CHAPITRK XII.

conclure que le rapport

est développable suivant les puissances des E:- ; nous avons donc des équations de la forme

A/,= E/,'^/,(Ef,'El, ..., E2J (/: = i, 2, ..., 2«),

crû les '^h sont des séries ordonnées suivant les puissances des E^. De ces équations, on pourra, par le théorème sur le retour des suites, déjà appliqué aux n"' 66 et 181, tirer les Ey en séries ordonnées suivant les puissances des Ay^. Il résulte des formules précédentes que quand on change le signe de E;;^, celui de Kk change. Il en résulte que le développement de Ea suivant les puissances de A doit être divisible par A/v et que le quotient

E/, Ai.'

ne devant pas changer quand on change le signe de l'un quelconque des Ay, procédera suivant les puissances des Ay et que l'on aura

Ea-= A/,^/,(Af, A|, ..., A|„) (A-=:i, 2, ..., 271),

les <]; procédant suivant les puissances des A^.

Or nous venons de voir que, quand on passe du premier système au second (qni est symétrique du premier par rapport au plan des XiX^), le coefficient A;i^ ne change pas si l'indice k est impair, et change de signe si cet indice est pair. Il en est donc de même de la constante E^. c. q. f. d.

Nous avons vu d'autre part que tous les coefficients A du développement des L, des \ et des variables excentriques ne changent pas quand on passe du premier système au second. Tous ces coefficients sont donc de degré pair par rapport aux constantes E/f d'indice pair; dans chacun de leurs termes, la somme des exposants des constantes E^ dHndice pair est donc paire.

Mais ces développements procédant suivant les puissances des Eacosw^ et des E^ sintp^, l'exposant de E^ est de même parité que le coefficient du w'j correspondant (c/. n" 69).

SYMÉTRIE DES DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIONS PERIODIQUES. 3iy

Donc la somme <Ies coefficients des arguments «'^ cV indice pair est paire.

Dans les développements des variables obliques, au conlraire, chaque coefficient change de signe quand on passe du premier système au second. Donc, inversement, la somme des exposants des constantes E^ d' indice pair est impaire, ainsi cjue la somme des coefficients des arguments ^v'j^ d'' indice pair .

192. Coordonnées héliocentriques. — Les coordonnées héliocentriques rectangulaires des planètes, leurs rayons vecteurs, les cosinus et les sinus de leurs longitudes et de leurs latitudes, leurs distances mutuelles sont des fonctions uniformes des éléments canoniques L, ),, ç, v). Comme L/f, )^;f — <v'^, ç^, 'r\k sont des fonctions périodiques des arguments (v', (x", il en sera de même des coordonnées héliocentriques, des distances mutuelles, etc., de sorte qiie ces cjuantités seront développables suivant les sinus et les cosinus des multiples des ce' et des <v". De plus elles sont développables suivant les puissances des E^fCoscr),., E/c sincc)^., puisque les éléments canoniques le sont. Ainsi les développements des coordonnées héliocentriques, des distances mutuelles, etc. seront de la forme

z-^nc^ïv™: i'v..')-i:

Les coefficients constants A dépendant seulement des W et de [;.,

et I I (E'J') désignant le produit de 2 ;i facteurs de la forme EJ'. En

raisonnant comme au n" 69, on verrait d'ailleurs que

qj = Pi (mod->) qi'^\PjV

Quand nous ferons tourner tout le système d'un angle s autour de l'axe des ^Ts, c'est-à-dire d'après le n° 187, quand nous changerons w- et W: en w":-\-z et w'. — s, les distances mutuelles des n -h I corps ne changent pas; il en sera de même des coordonnées héliocentriques

OU

relatives à l'axe des x-].

Les coordonnées relatives aux axes des x^ et des x-2 subiront au contraire un changement; il est clair en effet que

ce 1 — [ Jj oc ^ « Ou'^ î 1 1// Q ^ ■ ■ •

se changeront en

tandis que

Xx — ix<i^ Xj, — ix-g,, se changeront en

{x'x — ix'.y)e-^^, (x[ — ix'~)e-'-, ....

(Xi 1X2) e^^^, {X;^ — -1X^)6-'^, ....

Il en résulte que

dans le développement des distances mutuelles et des coordonnées

et que

dans le développement des coordonnées

A cause de la symétrie par rapport au plan des x, x^ {cf. n" 190), les développeuients de

^lî ^3î ^4î "^G' •••? X i^ X^j X '^, j .^Gî • • •

ne contiennent que des cosinus, et il en est de même de ceux des rajons vecteurs et des distances mutuelles. Au contraire, les développements de

ne contiennent que des sinus.

A cause de la symétrie par rapport au plan des X\.Xi (cf. n" 191),

SVMÉTRUi DES DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 829

les développements de

3C ■ , X .) m "^ i, ) ^ 'il •'*? "^'Ij i/-^» *^'frï "^aj •••

jouissent de cette propriété que les deux sommes

sont paires quand la sommation est étendue à toutes les valeurs paires de V indice j .

Il en est de même pour les distances mutuelles et les rayons vecteurs.

Au contraire, dans les développements de

ces deux sommes sont impaires.

193. Nombre des arguments. — Supposons qu'il j ait n + i corps, soit n planètes ; le nombre des arguments est de 3 /i, à savoir 2 /z arguments w' et n arguments tv". Si l'on rapportait le système à des axes mobiles de façon à retomber sur les équations (20) du n° 178, tous ces arguments seraient distincts; car il n'y aurait entre les moyens mouvements n\ et — y^- aucune relation linéaire à coefficients entiers.

Mais il n'en est plus de même si nous prenons des axes fixes (c'est-à-dire si nous faisons a = o dans les éc[uations (20) du n" 178). Dans ce cas, en effet, l'un des moyens mouvements y^^ est nul, de sorte que l'un de nos arguments w'.j^ se réduit à une constante. Nous n'avons plus alors que S/z — i arguments distincts.

Observons que, si nous prenons le plan invariable pour plan des :r, ^^2 5 on a

Ej„ = G.

Pour nous en rendre compte supposons de nouveau a différent de zéro et reprenons les équations démontrées plus haut (c/. 179) :

U = K sin(a;j.^ + ^0; V = K cos(ûcij.i -i- A) ;

nous avons vu que ajxZ + /i n'est autre chose que w\^ ; il en résulte que K contient en facteur Eo,?; si donc je fais E2«:=o, les deux quantités U et V seront constamment nulles, c'est-à-dire que le

330 CHAPITKK XII.

vecteur des aires sera constamment normal au plan des XiXo] ainsi la condition Eo„= o équivaut à celle que le plan des ic, .To et le plan invariable coïncident.

Pour passer du cas où a n'est pas nul, à celui où a est nul, il suffit de conserver les mêmes développements mais en attribuant aux moyens mouvements d'autres valeurs [cf. n" 189 in Jine). La condition pour que les deux plans coïncident restera donc la même, c'est-à-dire E2«= o.

Si l'on fait E2«= o, tous les termes qui dépendent de l'argument w'.,^ disparaissent; dans ceux qui resteront, nous aurons donc

pour certaines de nos coordonnées, et

pour d'autres coordonnées et pour les distances mutuelles et cela en donnant à V indice j de pj toutes les valeurs, sauf j ^ 2n. Les distances mutuelles auront donc un terme général de la forme

A cos [^ kj w"j H- 2 Pj w'j^ ,

ou ce qui revient au même

A cos ^ kj(w"j-+- f'^2n^l)+y^Pj(^'j — ^'^2,1-1 ) ,

où l'indice de kj peut prendre les valeurs

et celui de pj les valeurs

Donc les distances mutuelles ne dépendent que des o — i arguments

SYMKTRIE DES DÉVELOPPliMIîNTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 33 1

Cela a été démontré en choisissant le plan invariable pour plan des Xi-T-y', mais, les distances mutuelles étant indépendantes du choix des axes, cela reste vrai quel que soit le plan des ^,370 choisi.

En particulier les dislances mutuelles clans le cas du problème des trois corps dépendent de cjuatre arguments.

Si le mouvement est plan, nous n'avons que n arguments «r" et n arguments w' \ tous ces arguments sont distincts, de sorte que les coordonnées dépendent de in arguments. Les développements des distances mutuelles satisfont à la condition

Les distances mutuelles ne dépendent donc que de in — i arguments (3 dans le cas des trois corps).

Supposons maintenant que l'une des masses soit infiniment petite. Dans ce cas nous aurons n corps (/î — i planètes) dont les coordonnées dépendront seulement de 3/?. — 4 arguments

^'^'■i, '*'si •••. ^'''in~-i, "'271-1, (X'i, (ï'^, ..., iv',„^,.

Tout se passera en effet pour eux comme si la masse infiniment petite n'existait pas, puisque son action est trop petite pour troubler leurs mouvements. Quant à la masse infiniment petite, ses coordonnées dépendront en outre des trois arguments nouveaux

Quant aux distances mutuelles des n gros corps, elles dépendront de on — 5 arguments seulement; celles du petit corps aux gros corps dépendront de 3/i — 2 arguments, c'est-à-dire toujours de trois arguments nouveaux.

Supposons maintenant que nous ayons trois corps seulement dont l'un infiniment petit. Cela revient à supposer dans le cas précédent n = 2 ; on n'a plus alors que deux gros corps; mais les coordonnées des deux corps, dont le mouvement est alors képlérien, ne dépendent plus de 3 n — 4 == 3 . 2 — 4 = 2 arguments, mais

33i CHAPITRlï \n.

d'un argument seulement; cela tient à ce que le périhélie étant fixe, l'argument w!,„, = (Vg se réduit à une constante. Les coordonnées du petit corps dépendent alors de

ou (puisque Wg est une constante) de quatre arguments distincts seulement.

La distance mutuelle des deux gros corps dépend alors d'un seul argument distinct iv", et la distance du petit corps aux deux gros dépend, comme ses coordonnées, de quatre arguments distincts.

Je voudrais faire voir que iv'.^ représente bien la longitude du périhélie de l'orbite de la grosse planète et cjue tr',^ représente la longitude du nœud; et surtout que E3 s'annule avec l'excentricité de cette orbite, et E,, avec son inclinaison.

Si nous égalons E.,, à zéro, le plan des Xiû;.2 se confond avec le plan invariable qui n'est autre chose dans le cas actuel que le plan de l'orbite de la grosse planète.

Dans ces conditions, tous les termes dépendant de tp^ disparaissent de tous les développements. Supposons maintenant de nouveau que a ne soit pas nul, c'est-à-dire que notre système soit rapporté à des axes tournants. Dans ce cas les coordonnées de la grosse planète dépendent de deux arguments distincts <t\', et iv'.^ dont les moyens mouvements sont respectivement

dwl dw'.,

dt ~ ' 2"^ ■'•'<'■' dt ~ ~" ''■'"'

celles de la petite planète dépendent des cinq arguments w\ , ^v\ ,

/ Il I

Quand l'excentricité est nulle, les coordonnées de la grosse planète sont proportionnelles à costv!,, sintv!,, elles ne dépendent donc plus de «'3, ce qui veut dire c|ue £3 = 0. Si £3=0, tous les termes dépendant de w'.^ doivent disparaître de tous les développements.

Donc, si V excentricité de V orbite de la grosse planète est nulle, les coordonnées de la petite planète et ses distances avix

deux autres corps pourront se développer suivant les sinus et les cosinus de

kl (v'I H- A-2 n^'i -+-pi w[ -+-p2 w'^

(ps et pf, étant nuls) et Ton aura

kl -+- k^ — pi — py= o pour les distances mutuelles, et pour X:^

kl^ k2 — pi—p-2= I,

pour Xi et pour Xo.

Si nous supposons de plus £0=0, tous les termes dépendant de iv'., disparaîtront. Comme dans la troisième coordonnée J?;), tons les termes sont d'ordre impair par rapport aux E d'indice impair (cf. n° 191), c'est-à-dire par rapport à Eo, tous ces termes s'annuleront et x-i sera constamment nul. La petite planète restera constamment dans le plan de l'orbite de la grosse planète. JNous retombons sur \e problème restreint.

Dans ce cas, les distances de la petite planète aux deux autres corps procèdent suivant les cosinus de

où

Pi = kl -+- /C2.

Elles dépendent donc de deux arguments seulement

Rappelons que les moyens mouvements —r- sont finis, tandis

que les moyens mouvements -~ sont très petits de l'ordre de [i.

Dans le problème restreint, on voit immédiatement que les moyens

mouvements

d{ w\ -f- w[ ) d( ix'\ ~h n'\ ) dt ' dt

sont tous les deux finis. C'est là l'une des raisons de la simplicité relative du problème restreint; c'est pour cela que ce problème jouit des propriétés simples démontrées au Chapitre VII.

334 CHAPITRK XII.

194. Solutions périodiques. — Supposons que l'on fasse El = E2 = . . .= E2,t= o,

on aura une solution particulière qui ne dépendra que des arguments w" et pas des arguments (v'.

Dans le cas du problème des trois corps, les distances mutuelles dépendent alors des cosinus de

Comme tous les p sont nuls on aura

/. = o, /,-, = — Al,

de sorte que nos distances mutuelles dépendent de l'argument unique

Ce sont donc des fonctions périodiques du temps. Nous retombons ainsi sur les solutions périodiques de la première sorte étudiées au Chapitre III du Tome I de mon Livre sur les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. Ce sont des solutions rigoureuses.

19o. Choix des constantes. — Dans le Cliapilre X, nous avons adopté comme constantes fondamentales les valeurs initiales L^% X", ^", Yi" ; j'ai expliqué au Chapitre VI comment un choix difterent est possible et comment on peut par exemple prendre au lieu des valeurs initiales les valeurs moyennes. Il semble qu'ici, le choix le plus convenable serait le suivant.

On prendrait encore les valeurs initiales ^j* et y;" des ^i et des r,/, on prendrait les valeurs initiales \^- des X, et on les choisirait égales à zéro. Mais au lieu des LJ* on prendrait les W^, c'està-dire les valeurs moyennes des

^^ dwi ^1^ dwi

Voici comment devrait alors être dirigée l'application de la méthode de Lagrange et les approximations successives du Cha-

pitre V. En première approximation, on prendrait

Nous poserons

h = Wi + ôAj, b = ^? + ob,

En /iieme approximation, on prendrait

dt.

en remplaçant dans —— les inconnues par leurs valeurs de [n — i)'^""^-

approximation; Lj n'est pas entièrement déterminé, il ne l'est qu'à une constante près; pour achever de déterminer L/ il faut se donner la valeur mojenne de L/, nous prendrons

(.1) Val.moy.L,= W,~val.moy.(2sL^+2^^^ë Nous avons, en effet,

df\ d 01] dXi d b\i d)^/,- d SX/- / • > /

diVi dwi dwi dwi dwi dwj < ^ >'

Yal. moy. W^-^ — = o, dwi

Val. mov. çV, —, = o.

•^ '^ dwi

Dans le second membre de (ii), nous pourrons remplacer les inconnues par leurs valeurs de (/z — ij'eme approximation. Si, en effet, l'erreur commise sur §L par exemple est de l'ordre de y-"~^, l'erreur commise sur le produit

^, dok

oh —j —

diVi

sera de l'ordre de ^", puisque ù\ et -, — ^ sont de l'ordre de |j..

L'équation (ii) permet donc d'achever le calcul de L/. Je n'ajouterai rien au sujet du choix des constantes Ey^ ; je dirai seulement que, si nous choisissons au lieu des E/tdes constantes E^.

;î36 chapitre XII.

définies par les équations

e;,= E/, •].;,. (Ef, El. ...,Ei„\

où 'h/i serait une fonction cléveloppable suivant les puissances des E^ et dépendant en outre des W d'une manière quelconque, ces nouvelles constantes E' jouiraient de la propriété la plus importante des constantes E, c'est-à-dire que les inconnues seraient développables suivant les puissances des

E/^. cos (ï'/,, E/.sinwy;..

196. Calcul direct des séries. — Dans tout ce qui précède, nous nous sommes surtout efforcé d'établir le plus rapidement possible la forme des développements ; aussi les formules précédentes ne sont-elles pas toujours les plus favorables aux calculs numériques. Notre principal but dans le Volume suivant sera donc de les transformer pour les adapter aux applications numériques.

En attendant je vais indiquer succinctement un moyen d'obtenir directement les séries des Chapitres VII et X. Ti-aitons d'abord le problème restreint et reprenons les équations (lo) du n° 126 que nous écrirons ici

dLi dF d\i dF

Nous avons vu au Chapitre VII que l'on peut satisfaire à ces équations à l'aide de développements procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de n arguments

en y faisant

Les équations (12) peuvent alors être remplacées par les suivantes :

2, dLi^ __ dF^ ^ dwic d\i '

^'^^ ^ " , dki dF

'^'' dwk dU

Posons

nos équations pourront s'écrire

(14) et

Vdiji clv

dh

dlf

rfFi

Considérons maintenant la valeur moyenne des différentes quantités considérées. Si U est une fonction périodique Cjuelconque des w, développable en série trigonométricj[ue, sa valeur moyenne que nous désignerons j)ar [U] sera le terme de cette série trigonométrique c|ui sera indépendant des w.

Les L/ sont des fonctions périodiques des ^v] on aura donc

Les ).{• — iVi sont des fonctions périodiques des w, on aura donc

IdiV^j

d\,dw I-

Si donc nous égalons les valeurs moyennes des deux membres dans (i4) et dans (i5), il viendra

(16) et

7i/-H Olli —

f/Fi

dV, dLi

L'équation (16) devra être satisfaite d'elle-même, et elle le sera en effet, puiscjue nous savons d'avance c[ue le développement est possible. Quant à l'équation (17), elle déterminera 5/?/.

Voici alors comment devront être dirigées les approximations successives. Supposons que nous possédions des valeurs de (/i — iy«me approximation

on,-, L/, X;-,

dont l'erreur soit de l'ordre de ij.""' ; substituons-les dans le second membre de (14)5 l'erreur commise sur

dV, dl.i

dU

dw/^

onu

sera de l'ordre de [A""* ; d'autre part S/r^ et ~- sont de l'ordre de [j.,

puisque, pour jx ^ o, on a

n). = nu,

L;= const

L'erreur commise sur

' dki

. dU

on/- — divu

sera donc de l'ordre de |j.".

Donc les équations (i4) nous fourniront pour les L/ des valeurs de /i'^""^ approximation dont l'erreur sera de l'ordre de p.".

Prenons ensuite l'équation (i^) et substituons dans les seconds membres, à la place des X,', leurs valeurs de {n — i^ème approximation et, à la place des L,, leurs valeurs de /i'^™° approximation. Gomme Fo ne dépend que des L/, l'erreur commise sur

dY, dLi

sera de l'ordre de pi" ; l'erreur commise sur ¥^ sera de l'ordre de [Ji''~' et par conséquent l'erreur commise sur

sera de l'ordre de p.". L'équation (17) nous fournira donc de nouvelles valeurs de oiii dont l'erreur sera de l'ordre de p.".

Dans le second membre de (i5), substituons à la place des Znt et des hi leurs valeurs de /^"""'' approximation et à la place des \i leurs valeurs de [ii — i^^me approximation.

j-^ sera de l'ordre de [jl",

L'erreur

sur

dû d¥,

dLi

on,, d¥,

'"^ dLi dki

dwj^

. dki

onu- —

car ZiXh est de l'ordre de p..

SYMÉTRIE DES DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIOXS PÉRIODIQUES. SSg

L'équation (i5) nous donnera donc pour \i de nouvelles valeurs dont l'erreur sera de l'ordre de u".

Et aitisi de suite.

197. Passons au cas général du problème des /i+ i corps. INou^ avons vu au Chapitre X que nos inconnues peuvent s'exprimer en fonctions périodiques des 3/^ arguments

IV i = n-it -i- m,-,

-^'i= — iit-\-w'i.

Soit encore

Je pourrai alors écrire les équations sous la forme suivante :

-«=» dw /.

^ dwl

^Fi — (-t-y— '

J^ dw'i,

=■ — y ''^nk — -77

J^ dw'l,

rfFi

Égalons comme plus haut les valeurs moyennes des deux membres de (21), il viendra

r^Foi rrfF,-]

D'autre part le double du coefficient de sinjip^. dans le développement d'une fonction périodique u quelconque sera [sin^'/^U] et il est clair que, si U est périodique, on aura

Si donc nous égalons les coefficients de sin(Vi. dans les deux

membres de (19) il viendra

[fJÇ.

sin ,ï.;. -4

On substituera dans les seconds membres de (18) et (28) les

34o CHAPITRE XII. — SYMÉTRIE DES DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

valeurs de [n — lyème approximation où l'erreur est de l'ordre de [Jl"~* ; l'erreur commise sur L/ sera alors de l'ordre de jj,",

puisque 3/?^, rL — ^^ — '- sont de l'ordre de u. (car W/ — L^est de

l'ordre de [jl).

L'équation (aS) nous donnera y^ et comme le coefficient

sin Kv , ,-

sur lequel l'erreur commise est d'ailleurs de l'ordre de [j.""' ne s'annule pas avec jj., tandis que le second membre contient jj. en facteur, l'erreur commise sur y^ sera de l'ordre de ]xP-.

Dans le second membre de (22) substituons à la place des Lj leurs valeurs de (/i — lyèmc approximation, et celles de /i'^"^*^ approximation, à la place des autres inconnues, l'erreur commise sur trii sera de l'ordre de |j.".

Dans les seconds membres de (19) et (20), substituons à la place des on et des y' leurs valeurs de if^"^^ approximation et à la place des inconnues celles de (/i — j yeme^ l'erreur commise sur \i et -rxi sera de l'ordre de ]x'\

Enfin, dans le second membre de (21), substituons à la place des 5/1, y', L leurs valeurs de /z'**™" approximation et à la place des autres inconnues celles de (/i — j^eme^ l'erreur commise sur À/ sera de l'ordre de p.".

Telle est la façon de diriger les approximations successives.

198. Théorème sur la classe. — Au n° 104, nous avons classé à divers points de vue les difFérents termes qui s'introduisent dans l'application de la méthode de Lagrange et dont la forme générale

est

[ji^AOllo^'" cos(vM- h).

Supposons que les moyens mouvements étant pi^esque commensurables, les intégrations puissent introduire ce que nous avons appelé un petit dwiseur. Soit m' l'exposant de ce petit diviseur au dénominateur.

Nous disons alors que le terme considéré est de classe

Je me propose de démontrer qu'«7 n'y a pas de terme de classe négative, c'est-à-dire que le nombre

est toujours positif ou nul; et que, dans le développement des oL/, oç/, 07]j, il est toujours au moins égal à -•

Pour cela je reprends les équations (9) du n° 106 :

Je suppose que le théorème ait été établi pour les valeurs de

34a CHAPITRE XIII.

{n — iy«™e approximation et je dis qu'il sera encore vrai pour les valeurs de /l'^me approximation des oL/, olj, S^,-, ùth^ valeurs que l'on obtient en substituant aux inconnues dans les seconds membres des équations (i) leurs valeurs de {n — i)''-'™'' approximation.

D'après le n° 100, les dérivées partielles de Fi qui figurent dans les seconds membres des équations (i) seront de la forme

où B est, à un facteur numérique près, l'une des dérivées partielles d'ordre supérieur de ¥^ , dérivée dans laquelle il convient de substituer aux inconnues L^-, Xj, ^j, r,j leurs valeurs de première approximation

Quant à OÏL', c'est un monôme entier par rapport à 8L/, SX,-, 0^,-, 07],-,

où Ion doit substituer, à la place de ces quantités, leurs valeurs de (n — i^eme approximation.

Je dis qu'après cette substitution, T^BDIl' ne contiendra non

plus que des termes où

En effet, par hypothèse, tous les termes des valeurs de (n — i)"-'"'^

approximation de oL/, SX/, S^^-, ùr^i sont tous de classe positive ou

nulle. 11 en est de même de B; car pour tous les termes de B, qui

sont obtenus sans intégration et ne contiennent pas [j. en facteur,

on a

ce =: m = m' = o.

Le produit de deux tei'mes de classe positive ou nulle est évidemment aussi de classe positive ou nulle. Donc il en sera de même de tous les termes de

Envisageons les trois premières équations (i); elles nous

apprennent que 3Lj, S^^-, Sy;,- sont de la forme

L'intégration pourra introduire un facteur t, ou un petit diviseur au dénominateur; mais elle ne pourra pas introduire l'un et l'autre ; elle n'introduira en effet le facteur t. que s'il s'agit d'un terme séculaire pur; elle n'introduira le petit diviseur Vq, que s'il s'agit d'un terme contenant en facteur cos(vo^+A). Donc, ou bien in-^m' ne changera pas, ou bien m+in' augmentera d'une unité. Après l'intégration, on multiplie par [j., de sorte c|ue a augmente d'une unité. On aura donc après cette double opération

Le théorème est donc vrai en ce qui concerne les valeurs de /i"^'"'approximation de oL, o^, o"/]. La classe de tous les termes de oL,

oç, 07] est au moins égale à -•

Passons à la dernière équation (i) cj[ui nous donne oX/; dans le second membre figurent trois intégrales. La première de ces inté-

grales est de la forme

B d\V dt.

Tous les termes de 2V,BDrt' satisfont à la condition

La double intégration peut augmenter m -{-m' de deux unités. On multiplie ensuite par ij., ce qui augmente a d'une unité. On a

donc finalement

Tous les termes de cette intégrale sont donc de classe positive ou nulle. En ce qui concerne la seconde intégrale

df.

nous remarquons que l'on a encore

clLi ^^

où B est, à un facteur numérique près, une dérivée partielle de Fq où les Lj ont été remplacées par leurs valeurs de première approximation L^?, et où oïl' est un monôme du second degré au moins par rapport aux SL/. lesquelles doivent être remplacées par leurs valeurs de (/î — j^ème approximation. Or ces valeurs ne contiennent par hypothèse que des termes satisfaisant à la condition

Le produit de deux de ces termes sera donc au moins de classe i , et il en sera de même a fortiori du produit de plus de deux termes ; il en sera donc ainsi de tous les termes de OÏL'; cjuant à B,

c'est une simple constante. Donc tous les termes de ^BDIL' sont au moins de classe i , c'est-à-dire tels c[ue

Après l'intégration, m -j- m' pourra augmenter d'une unité, mais

on aura encore

Passons à la troisième intégrale; elle est de la forme

ix rV BDlL'f/^

c'est-à-dire de même forme que les seconds membres des trois premières équations (i); tous ses termes satisfont donc à la condition

Donc tous les termes de o\i sont de classe positive ou nulle.