Comment formera-t-on l'équation qui nous donnera tous

PRINCIPli) DE LA MÉTHODE DE DIXAUNAY. 345

les termes de classe nulle du développement des oA^ et tous les termes de classe - du développement des oL,-, oç,-, ori/? Soit Vo le petit diviseur envisagé; on aura donc

les Tij seront les moyens mouvements et les kj seront des entiers choisis de telle sorte que Vo soit très petit.

Je dis d'abord que tous les termes de classe - du développement des oL, S^, Sy) seront de la forme

(2) A|Ji«^'« cos(Pvo^ H- A),

p étant un entier, et qu'il en est de même de tous les termes de classe o du développement des oX.

En effet, supposons que cela soit vrai en [il — i)"^"'" approximation, je dis que cela sera encore vrai en jV""^'' approximation. Pour cela nous nous servirons des trois premières équations (i) qvii peuvent s'écrire, ainsi que nous l'avons vu au numéro précédent,

(3) 8L, ci, o-q = i^ I'

BdW dt.

Il faut dans les seconds membres remplacer les inconnues par leurs valeurs de (/^ — lyeme approximation. Considérons un terme

quelconque de ^^'^1'^'; q^ie faut-il pour qu'il nous donne un terme de classe - de ôL, o; ou o-/]? i° Il faut d'abord qu'il soit de classe zéro; 2" Il faut ensuite que sa classe diminue de - par l'intégration pour augmenter ensuite de i quand on multiplie par [x.

Comme tous les termes de B sont de classe zéro, il faut que le terme envisagé de Dit' soit de classe zéro; or, comme les termes de classe zéro sont [en [n — ^i)'^™'' approximation] tous de la forme (2), il est clair que ce terme envisagé de D1L' devra être de cette forme.

Soit donc B, le terme envisagé de B, Dll', le terme envisagé de Ort', et

[JL f BidK\dt

le terme correspondant de oL, 0^ ou ùr^.

D'après ce que nous venons de voir, DTl\ est de la forme (2), c'est-à-dire que l'on a

OlL'i = Aix^t'"^ cos(Pvo« -4- h) (P entier).

Soit

Bj Oit i = G [JL« «'« cos ( V t -t- h' ),

si V n'est pas nul, l'intégration introduira le diviseur v; pour que la classe diminue de -? il faut que v soit un multiple de Vq, c'està-dire que l'on ait

V = YVo (y entier);

si V est nul, l'intégration introduira un nouveau facteur t et la classe diminuera de -•

Si donc nous voulons que la classe diminue de - par l'intégration, il faut que nous ayons

y étant un entier positif, négatif ou nul. Alors B, sera de la fomne

(4) Bi = K cos(ovo ^ -I- /t"),

k et h" sont des constantes et 0 est un entier égal à ^ — y- Nous n'aurons d'ailleurs dans B, ni facteur jji, ni facteur t; en effet B est une des dérivées de Fi où l'on remplace les L, H, 'i\ par des constantes, les )./ par /lit-^A^-. Il ne peut donc ainsi s'introduire ni facteur ^, ni facteur u.. Nous pouvons écrire

où H dépend des L, des ç et des Yi, et où les pj sont des entiers. Soit D¥i une dérivée partielle d'ordre quelconque de Fi, multipliée par un facteur numérique. Il est clair que le développement de DFi sera de même forme que celui de F, et, si un terme de F, contient en facteur l'une des lignes trigonométriques de l'angle

^/?yAy, le terme correspondant de DF, contiendra également

en facteur l'une des lignes trigonométriques du même angle

/ ^ pp^j- On aura donc

où H' est (de même que H) une fonction des L, des ç et des rj.

Pour avoir B, il faut remplacer dans DF, les inconnues L/, ç/, Yj,-, \i par L^^, ç°, 7]", nit-i-')'l; on trouve ainsi

.^ " sin ^ ^

OÙ Hy est ce que devient H' pour L/= L**, Hi= H", '/■;/= -^^^ (H^, esl donc une constante); de plus on a

Les seuls termes de B que nous ayons à considérer (parce qu'ils sont les seuls C[ui puissent nous donner dans SL, oç, or^ des termes

de classe - ) sont ceux qui sont de la forme B, dans l'équation (4),

c'est-à-dire ceux où v = ovq, ô étant entier. Nous devrons donc avoir

d'où

S étant un entier.

Ainsi nos entiers pj doivent être des équimultiples des entiers kj qui correspondent au petit diviseur v^.

Donc on n'a à envisager dans F, que les termes où ligure un

argument 'V/'yV ^"^ ^°^'' ii^ultiple de l'argument ^^kj'kj qui

correspond au petit diviseur.

Je désignerai cet argument par une lettre spéciale en posant

Si donc nous envisageons la fonction F,, ceux de ses termes qui contiennent un facteur Irigonométrique dont l'argument n'est pas

348 CIlAPITRIi XIII.

multiple de G devront être rejetés, car ils ne peuvent jouer aucun rôle dans le calcul des termes de classe - de oL, oH, or\.

On ne devra conserver que les termes indépendants des X, c'està-dire ceux qin ne contiennent aucun facteur trigonométricjue (c'est l'ensemble de ces termes que nous avons appelé R aux Chapitres VIII et IX) et en outre ceux qui contiennent un facteur trig-onométricpie dont l'argument est multiple de G.

Nous désignerons par W l'ensemble des termes conservés.

D'autre part le terme B, DïL'^ nous donnera dans le second membre des écjuations (3) un terme

[J. / BiOIl'i dt,

dont l'argument sera ôVo^-f- A" et dans cet argument le coefficient de t sera ovq et par conséc[uent multiple de Vq.

Le théorème énoncé est donc vrai en /^"^™e approximation pour

<<>T 'Vf- J

Passons à oX, C|ui nous est donné par la dernière équation (i). Dans le second membre de cette équation, je substitue les valeurs de (/? — -])"^'™« approximation; j'aurai ainsi les valeurs de n^""^'^ aj)j)roxiination de oX et je me propose de montrer que les termes de classe zéro de cette valeur dépendent encore d'un argument multiple de Vo?.

D'après le numéro précédent les deux dernières intégrales du second membre de cette dernière équation (i) ne peuvent nous

donner que des termes de classe - • Il nous suffira donc de considérer la première intégrale et d'écrire

qui est encore de la forme

Ici encore, pour obtenir un terme de classe zéro de SI/, il faut partir d'un tei^me de classe ^e/-o de BDH'; il faut ensuite que la

PRINCIPE DU L.\. MÉTHODE DE DELAUNAY. o^g

classe soit diminuée de i par la double intégration pour augmenter ensuite de i par la multiplication par pi.

Or, pour que la classe diminue de i par la double intégration, il faut que le terme envisagé ait un argument multiple de v^t.

Donc les termes de classe zéro de §Aj en /i*'^™'^ approximation ont encore un argument multiple de Vo^. c. o. f. p.