L.= L?, \t^\\, v),= ri
On aura évidemment
[dy^'\ dWo
ydli/o dli
Nous venons de voir que, dans le calcul des termes de classe -
de oL, S^, 07), nous pouvons dans les seconds membres des équations (3) faire oL = o^ = ot] = o.
Nos équations deviennent alors
^^' 'dt ~ '^'- d\i' dt~ ^U/-/)Jo' ^< "'""U^Jo'
Posons maintenant
Co représente une constante quelconque, le premier signe ^ se
rapporte à tous les indices i^\& second à tous les indices «et A-, en distinguant C,7f et C^j. On a alors
et par conséquent
^^^ nr^dUi'
Comme Oq ne dépend que des L, et que ^o ne dépend que des À (puisqu'on y a fait L,= L^", li= l^^, r|^=:7i"), l'équation ('-) et la première équation (6) prennent la forme canonique
(8^ ^L,- ^ dj'^o-^ixWo) d\i ^ d{^,^ixW,)
' dt dki ' dt dhi
201. Les équations (6) et (^) nous donnent tous les termes de classe - des L, ç, ri et tous les termes de classe zéro des SX, et
elles n'en donnent pas d'autres. Cela tient à ce que nous avons pris soin de supprimer dans nos équations tout ce qui aurait été susceptible de donner des termes de classe plus élevée.
Si nous n'avions pas pris ce soin nous aurions pu arriver également à d'autres systèmes d'écjuations analogues, par exemple, au suivant
En intégrant les éc[uations (9) nous trouverions encore tousles,
termes de classe - de L, ç, r^, tous les termes de classe zéro de oX;
mais nous en trouverions encore d\iutres.
Pour passer des équations (9) aux équations (6) et (7) que faut-il faire? Il faut remj)lacer Fq par <ï>o ; en outre, dans deux des équations (9) il faut remplacer W par ^""o et dan^ les deux autres d%' dW ~dl' d^
dL
dt ""
d{Fo^lxW) d\
d\ dt
d(F,^ IJ.W) dr,
dl dt "
d{¥^-^lj.W) dL
df\
~dt ^
d{Fo-+- ixW) d^c
Fo = *o-+-*;
en remplaçant F,, par $0, nous supprimons donc les termes qui dépendent de <î>, c'est-à-dire la seconde intégrale du second membre de la dernière équation (i); intégrale qui, nous l'avons vu, ne peut nous donner que des termes de classe supérieure à
zéro.
352 CllAPlTKK \I1I.
dW dW /dW\ / dW
De même remplacer W par Wq. ou —.jt} — — par ( —7- , ( — ^
dans les équations (9), cela revient à faire oL = 0^ = ov) = o dans les termes provenant des dérivées de W. Or nous avons vu que les termes provenant de ces dérivées et dépendant de oL, oç, oyi, ne
peuvent nous conduire qu'à des termes de classe supérieure à--
