Remarquons, de plus, que nous aurons les identités
dxj dcL/i d:Lk '
qui sont des conséquences immédiates de la définition des crochets de Lagrange.
Pour démontrer la première de ces identités, nous n'avons qu'à écrire
d '^ dy d ■^ dy
r n d "v^ dy d ■^ dy
d x^ dv d v^ dv
Si nous difFérentions la première de ces relations par rapport à ay, la deuxième par rapport à a^, la troisième par rapport à a^i^ et que nous ajoutions, nous constaterons immédiatement que les différents termes du second membre se détruisent deux à deux. Le premier membre doit être égal à zéro, ce qui démontre la première identité (23).
.16. Reprenons l'équation (21) et écrivons-la
d ■^ dy d'^Q.
dt ^^ d'j-k dt dctjc en introduisant une fonction ù définie par l'éqviation
dt ^^ dt ^ dx
Cette fonction Q étant définie par sa dérivée partielle par rapport à t n'est définie qu'à une fonction arbitraire près des constantes a.
Notre équation nous donne, par intégration,
■^ dy do,
^^ d:Lk d%i; '
A/c étant une fonction des constantes a indépendante du temps.
D'autre part, nous avons
^d dt dt '
et comme
■^ do. , do. -
dQ.= y -, — «a/, H j- dt,
^ d%k dt
dy , dy ,
il viendra
(24) Va7ûfj' = c^t2-4-V AA^a/,— Fo?/,
/es Af; étant indépendants du temps.
De là nous déduisons immédiatement
r ,^ a 1 — -— — ^^'^ • d'j-h dti;
Comme A/r et A^ sont des fonctions des a seulement ne dépendant pas de i, il en sera de même de leurs dérivées partielles, et, par conséquent, du crochet [a/,, a^;^]. Nous retrouvons donc le théorème du n" 14.
17. Nous pouvons choisir comme constantes d'intégration les valeurs initiales x\., y\ de Xi et yi pour i = o. Dans ce cas, l'équation (24) prend une forme remarquablement simple.
Faisons i=o dans cette équation (24). Nous voyons que dt sera nul, que xt et yi se réduisent à x^ et y*^ ] d'autre part, ù se réduira à Oq ] les A/f, qui sont des constantes indépendantes du temps, ne changeront pas. Il viendra donc
V 3-0 dyo = d% -hV A/, doLk, ou, en retranchant de (24),
(25) ^ardy = d(a — Qo)-+-^'«^ dyO — F dt.
18. Dans le cas particulier des équations de Hamilton, on a (avec les notations du n" 7)
F = Th-U,
U est indépendant desjK et T est homogène du second degré par rapport aux jk 5 on a donc
■1 Ad-^ dy 1 ^mà-^ dy D'autre part, on a
di^^^ -^^dt'^Âd-' lu -^-^ dy ^'"'di'
V^ V^ dv v^ dx v^ ci- .
et, par conséquent,
do. d^xy ^ d¥ dt~ dt ^ 2à"^ dy
et, enfin.
do. d^xy , ^ ^
19. Dans le cas particulier du problème des trois corps, l'énergie potentielle U est homogène de degré — i par rapport aux x, et T, cjui reste homogène de degré 2 par rapport aux y^ ne dépend pas des X.
Le théorème des fonctions homogènes donne alors
du v^ dF
dx
^•^ dy ^-^ dy' d'où
Dans ce cas, il est aisé de former la fonction Q] on trouve, en
effet,
du ^ dF
dt ~ ^ dx'
dSLxy v* d^ ^ dF
dt .^ dy ^^ dx
d'où
dt ^W^ dy ^u dx
Comme F est une constante en vertu de l'équation des forces
vives, cette équation s'intègre immédiatement et l'on trouve 12 = 3F ? — ^^ory -h consl.
On peut d'ailleurs remplacer la constante par une fonction arbiraire des constantes d'intégration.
Soit, maintenant,
on trouve
d'où
ou
on, enfin,
dy d d'x
dl d /^ dy\ d-^xy
dt dt \ ^^ doL J d'x dt
dJ d-2(Q-i-I.a:j) dt doL dt
M d^ dt d'x
En vertu de l'équation des forces vives, F est une constante; c'est donc une fonction des in constantes d'intégration a; et il en
est de même de sa dérivée partielle -t- par rapport à une de ces constantes.
Donc -r- 6st une constante.
U équation précédente nous apprend donc que J est une fonction linéaire du temps.
Ce résultat se rattache intimement à la théorie des invariants et, en particulier, de l'invariant relatif que j'ai étudié au n'' 256 du Tome III de mon Ouvrage sur les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste.
Je me bornerai à renvoyer le lecteur aux Chapitres XXII, XXIII et XXIV de cet Ouvrage et aussi aux pages 169 et suivantes du Tome P'.
On verra également, dans ces Chapitres, comment la théorie des crochets de Lagrange se rattache à celle des invariants intégraux.
20. Notations. — Considérons trois corps A, B, G qui s'attirent conformément à la loi de Newton. J'adopterai les notations du n" 7, c'est-à-dire que je désignerai par
les trois coordonnées du corps A, par
Xif, X^, Xq
celles du corps B, par
