Etudions d'aljord le terme F,,, nous avons

/nim-,\ [^ msimi-hm-)

( I 3 ) Fo = T, -

AG y \ ' BD

La première parenthèse ne dépend que de x\ , x'.,^ ^'-ii y\ i y'21 y'-i '■> 1,1 seconde ne dépend que de x\, x'.^, x'^, y\, y'^, y[.. Si, en première approximation, nous négligions le terme très petit aF, el que F se réduisit à F„, nous aurions

f = f; + fv

F|, el FI désignant la première et la seconde parenthèse du second nicinhre de (10), de sorte que

^f; rfF, ^

dx'i dy)

dx'i dy'i et nos équations canoniques deviendraient

ufi)

On pourrait alors considérer séparément le mouvement de la première planète fictive et celui de la seconde; car. dans les équations [iÇ>) figurent seulement les coordonnées et la vitesse de la première planète et dans les équations (16 bis) seulement celles de la seconde planète.

dx'i ^f; .

dt ~ dy'i '

dy'i d¥; dt dx'i

dx'i ^F'ô dt " dy'i '

dy'i o?f;

dt " dy'i

Si nous examinons d'abord les équations (i6), nous voyons que

Le mouvement de la première planète fictive sera donc le même que celui d'une masse mobile m\ attirée par une masse fixe

Ce sera donc un mouvement elliptique conforme aux lois de Kepler.

Si nous passons aux équations (16 bis)^ nous avons

^^=-^^,^^"^^^'^^^'^ BD

Le mouvement de la seconde planète fictive est donc le même que celui d'une masse mobile

m, -f- mi-4- mi

attirée par une masse fixe

fn,,(mi-h tn-i)

/nj-l- ni„-\- ni-!.

C'est donc encore un mouvement képlérien.

Comme les termes négligés jjlF, sont très petits par rapport aux termes conservés Fq, l'erreur commise n'est pas grande. Les orbites différeront donc peu des ellipses képlériennes; et les per^turbations subies par ces orbites elliptiques seront très petites.

38. Etudions maintenant la fonction perturbatrice \^.¥^. Je puis écrire

VBD A'B7 ^"'''''*VÂ^~AB/'^'"*'"'VBD BG

Le premier terme du second membre a reçu ^le nom Ae partie principale de la fonction perturbatrice; l'ensemble des deux derniers termes s'appelle la partie complémentaire de la fonction perturbatrice.

r.i: l'IlOIlLKME DES TROIS CORPS. 49

La partie principale peut s'écrire

cl il esL intéressanl de voir comment on j)Oiirra passer de l'expression de cette partie principale à celle de la fonction perturbatrice complète u.Fi.

Supposons d'abord (pic

AC = \/ar\^ -t- ^2" -h x'/

soil plus petit cpie

Dans ce cas, l'expression

peut se développer sui\ant les puissances croissantes de x\, x'.,. x'.^. Nous avons, en elFet,

(A'B'j2 = (BD)2-^(AGj2— 'iACBDcosY, et, par conséquent,

(«7) -^, -[BD-AC6.'■Tj"^[BD-ACe-'y^^

où V est l'angle de la direction BD ou OB' a\ec la direction A(! ou ÔA'.

Chacun des deux facteurs du second membre de (i-) est déve-

loppable suivant les puissances de ^^ toutes les fois que cette quantité est plus petite que'i. Il en est donc de même (\y\ premier membre et je puis écrire

A'B' ^ "BD"+i'

où l\i est une fonction de l'an<;le y.

Il serait d'ailleurs aisé de voir que le terme général de celle

série P/j T^p—^ peut être mis sous la forme du ([uolienl dt> deuv polynômes entiers en x', , x'.,, x'.^, x'^, x'^, x[.^.

Je me bornerai à renvoyer, pour plus de détails, aux n"' 22, 23, 24 de mon Ouvrage sur le Polentiel newtonien (Paris, Naud, 1 899) et à la page 5o de mon Ouvrage sur les Figures d'équilibre d'une masse fluide (Paris, Naud, igoS).

Je reviendrai d'ailleurs sur cette question dans un Chapitre ultérieur quand je traiterai en détail du développement de la fonction perturbatrice.

Cela posé, le premier terme de notre série, qui correspond à

n = o,ne sera pas autre chose c(ue ^^-, de sorte que la partie principale de la fonction perturbatrice aura pour valeur

où n peut prendre toutes les valeurs entières positives: i, u, .... Maintenant, la fonction perturbatrice complète pourra s'écrire

^F, = m,m,(^^ - m) -^ '"^'"^(ïïÏÏ - ÏÏg)

et nous aurons

BA2 = (xl - ar; y- +{a:',- olx', y-h{x',- olx', )\

BC^=(xl-px[y^{x',-'^x',r- + {x',-^x',y, où

m^ — mi ^

/)ii -+- m-, /??!+ in-i

car on voit immédiatement que les projections du vecteur DA sur les trois axes sont y.x\, ajc',, a^r^, et que celles du vecteur DC sont p^?', , ^.r!,, jBa?',,

On voit que les expressions de BA et de BC ne diffèrent de celles de A'B' que par la substitution de a^c', , . . ., ou de '^x\^ . . ., à x'

Nous aurons donc

BA ~ 2d'^"^ "BD"+i' BG ~2d^ "BD«+i'

où n prend les valeurs o, i , 2, .... Nous pourrons donc écrire

LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 5l

11 ' • i^ AGo v.^. ^ç,«. au premier terme de lu sene F^ -p-r-

Mais TTj- est égal au premier terme de la série P^ -p-r- et. d'autre

part,

w,a«4- m-^"'= (/ni+ ni:) (a^«— 3a«).

On a donc

Mais, pour n ^ o, on a

a3"— 3a" = a — B = 1 et p AG„ |