T2-+- U2 /«;\BD

On voit (pie la troisième partie de la fonction perturbatrice est notablement jilus petite que la deuxième et tout à fait négligeable devant la première.

Nous pouvons donc poser

avec

<I>o=T2-i- U2; wi'I', = Ti-T-Uo+Us.

Pour le calcul de x'^^ x\^ x\ nous avons les équations canoniques

clx, cl? d^o d^i

-y- = -7-7= —rT-+-i^^i-r-T> dt dfi dy'i dj'i

dy'i '^F ^*o f/*i

dt dx'i dx'i dx'i

J'observe que <I>| ne dépend pas de y\', y'-^, J''^ variables qui ne figurent que dans Ta; quant à x',^, x[^, x'^^ ces variables ne figurent ni dans T,, ni dans U|, mais seulement dans U3 ; nos écjuations

LE PROBLEME DES TROIS CORPS. 5y

deviennent donc

^ ' ' dt dy'i ' dt dx'i dx)

ol comme U3 est négligeable devant *I>o

dfi ^ d^ç, dt dx'i

Le mouvement relatif du Soleil par rapport au centre de gravité du système Terre-Lune est donc le même que si la fonction F se réduisait à <î>o, c'est-à-dire que si les masses de la Terre et de la Lune étaient concentrées en leur centre de gravité commun. C^est donc un mouvement képlérien (bien entendu, si l'on ne considère que les actions mutuelles du Soleil, de la Terre et de la Lune, et que l'on néglige les effets de l'attraction des planètes).

Pour le calcul de x\^ x'.^, x'^, nous nous servirons des équations canoniques, en y faisant / = 1 , 2,3; mais comme x\, x\^ x\ ; y\^ y\, y^ ne figurent pas dans $0 ces équations se réduiront à

dx,- dA>i dyi d<i>i

dt ' dy'i dt dxi

La fonction <5, dépend, comme aux n"^ 33 et 4-0, non seulement des inconnues x\. x'.^, x'.^ ; y\, i%, y'^, mais encore du temps t: car elle dépend de.r', , .ri, x'^ qui peuvent être regardées comme des fonctions connues du temps, définies par les équations (20).

La fonction m,(I>, se compose elle-même de deux parties T,-l-U, et U3; la seconde est, nous l'avons vu, beaucoup plus petite que la première et pourra jouer le rôle de fonction perturbatrice. Mais la petitesse de cette fonction perturbatrice n'est pas due ici aux mêmes circonstances que dans le cas des perturbations des planètes.

La masse perturbatrice ?n; est celle du Soleil qui, loiu d'être très petite, est au contraire très grande. Mais le rapport que Ton

doit envisager est

»n /Acy

AG qui est très petit, parce que ^^ est petit.

La petitesse de ^ entraîne encore une autre conséquence, c'est

c[u'on aura avantage à développer la fonction perturbatrice sous la forme (18) comme au n° 38.

Une autre remarque : aux n'" 30 et iO, nous avons dit que quand la masse m^ est infiniment petite, on peut rapporter les corps A et B à C, parce que le point D se confond avec le point C. Ici la masse m y est assez petite pour ne pas influer sur le mouvement du Soleil par rapport au point D, ainsi qu'il arrivait aux n"^ 33 et 40, mais la masse ln^ n'est pas assez petite par rapport à m^ pour que les points C et D puissent être regardés comme confondus,

43. Cas de la transformation du n" 2G. — Tout ce que nous venons de dire suppose fpie l'on a ad()|)té le changement de variables du n" 30 qui est celui (pie nous atlop'lerons d'ordinaire. Qu arriverait-il si l'on adoptait un autre changement de variables, par exemple celui du n" 26 ?

x\u n° 2G, nous avons posé

Nous avons ainsi défini un changement de variables cpii n'altère ni la forme canonique des équations, ni la forme des intégrales des aires.

Mais, contrairement à ce qui se passe pour la transformation du n° 30, l'expression de l'énergie cinétique en fonction des y' n'a pas la même forme que son expression en fonction desy-

Nous avons en efiet, en tenant compte de la condition y. := o,

.ri ^ yi

m- OTi mt, rn-i

ce qui peut s'écrire

yr 1 J'i- 1 2jK,j»'i

en posant

y fit , —

//Zi-H m-i lU'^ -f- m-i

Nous aurons donc

LK PllOIlLK.Mt: DES TUOIS CORI'S, SQ

(lù

Nous aurons donc

/;«i m- 1)1 '^ ut- in\ /H',

F = T, + To H- T