A G BC AU
et cette fonction F" peut être considérée comme formée de quatre parties :
i" T, ^-v-^ '^l^i ^^l'f ^ définir l'ellipse képlérienne dont le
point A s'écarte très peu dans son mouvement relatif par rapport au point C ;
2° To — ~1T^ ^l^^^ ^^^^ ^ définir lellipse képlérienne dont le
point B s'écarte très peu dans son mouvement relatif par rapport ;iu point C;
.)" \n~ ' ^ ^^^ la portion principale de la Jonction periiir-
batrice qui a pour expression
«Il nir,
4" Et enfin T3 qui représente la partie complémentaire de la fonction perturbatrice.
41. Méthode usuelle. — Les astronomes se servent encore d'une autre transformation.
Posons
Les deux planètes A et B seront ainsi rapportées l'une et l'autre au Soleil C.
Nous poserons d'ailleurs
dr',
66 CHAPITRF, II.
Il est aisé de voir alors que nos équalions deviennent
\-dr-dy:' dt^- dx'i (^-•' '^)
dt dy'i dt dx\
où l'on a
On voit ([lie les équations (21) ne sont pas canoniques puisque dans certaines d'entre elles fi<^ure la fonction F' et dans les autres une autre fonction F".
Les fonctions F' et 1^ ' se composent de quatre parties :
1° La partie
1 / ., ,., ,0 nu?n- mi
inii
(|ui définit l'ellipse képlérienne dont A s'écarte peu dans son mouvement relatif par rapport à C; 2° La partie
•ini'^
qui définit l'ellipse képlérienne dont le point B s'écarte peu dans son mouvement relatif par rapport à C;
3" La partie principale de la fonction perturbatrice
4° La partie complémentaire de la fonction perturbatrice qui est dans F' et
'«l'«4 . , , , . Z i nn nn -L
dans F".
AfS (^1 ^4 "*" ^2^5 "^ ^3^6 )'
LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 6l
Les équations (21) s'obtiennent très aisément et je me bornerai à renvoyer au Chapitre III du I'' Volume de la Mécanique céleste de Tisserand.
Ce changement de variables présente de graves inconvénients. Non seulement il altère la forme canonique des équations, mais il ne conserve pas la forme des intégrales des aires.
Aussi n'en ferai-jc aucun usage. C'est pour cette raison que je me borne à renvoyer le lecteur à l'Ouvrage de Tisserand.
45. Le problème des deux corps. — Coiisidcrons deux corps A et G, le premier mobile de masse m^ le second lixe de masse M, et éludions le mouvement du premier sous l'intluence de l'attraction newtonienne exercée sur lui par le corps fixe.
Nous prendrons le point G pour orij;ine et nous désignerons [)ar •2"i, x-i') •^■.■) les coordonnées du corj)s \ et parj/-,, JK2, jKa les composantes de sa quantité de iu(iu\ement.
Le mouvement de ce corps dépend des équations canoniques
dl clfi^ dt ~ dxi
où
l AC
40. Supposons maintenant deux corps A et G de masses /??, et /;iv, mobiles tous les deux et s'attiranl mutuellement, d'après la loi de New ton.
Nous représenterons, comme au Cliapilie 11, les coordonnées du point A par x\, x-., x^, celles du point G par x-,, x^, x,j et les composantes des quantités de mouvement de ces deux corps par la lettre jK allectée des mêmes indices.
Nous appliquerons le changement de variables du n'^ 29 ; nous poserons donc
, 7«| ni-
iHi-T-in-i
/n- = nii -h m-,
de telle façon que .r'. , x^^ x\^ soient les coordonnées du centre de gravité D des deux corps A et C, et que x\^ x'.,, x'.^ soient les projections du vecteur CA sur les trois axes.
Nous savons que l'on peut, sans restreindre la généralité, supposer le centre de gravité fixe, supposer, par conséquent :
de sorte que le nombre des degrés de liberté est réduit à 3.
Dans ces conditions, les équations du mouvement restent canoniques et s'écrivent
dx'i {.bis) -^
ou
(■2 bis)
dy'i clY dt dx)
A lit 1
in\ m-
Si nous comparons les équations (i bis) et (2 bis) aux équations (i) et (2), nous verrons que le mouvement relatif du corps A par rapport au corps C est le même que celui d'une niasse mobile
, m 1 nl^
/iii-h/n-j
attirée par une masse fixe
; — —nii + m-.
Nous verrons bientôt qu'une masse mobile attirée par une masse fixe décrit une ellipse dont la masse fixe occupe un des foyers. La trajectoire du point A, dans son mouvement relatif par rapport au point C, sera donc aussi une ellipse, ayant pour foyer C.
Comme les segments AD, DC et AG sont dans un rapport constant et que le point D est supposé fixe, nous voyons que les points A et C, dans leur mouvement absolu, décrivent deux ellipses homothétiques ayant pour foyer commun le point D.
