Emploi de la Méthode de Jacobi. — Nous sommes donc

64 CHAPITRE m.

ramenés à étudier le mouvement d'un corps mobile attiré par nii point ilxe. Ce problème peut être résolu de bien des manières ; mais, en vue des applications qui vont suivre, il est nécessaire cpie nous le résolvions par une méthode particulière : par la méthodr de Jacobi, exposée au n" 10.

Comme nous avons

l'équation de Jacobi s'écrit

77ril\d.ri) ^\dx.J '^\dxj J ^^i^a-l-^xl ~ ''^"^ '

Que devient cette é<[ualion quand on adopte de nouvelles coordonnées, soit rectangulaires, soit quelconcpies. C'est ce (pie nous a|)j)rend l'analyse du n" 1 1 .

On obtiendra l'équation (3) transformée en faisant le changement de \ariabl('s de Hamillon (bi n" 8 cl en remplaçant p- par

-T— dans la nouvelle expression de F.

d(ji '

Si l'on ad()|)le d'abord de nouvelles coordonnées rectangulaires x\j :r'.,, x'j, <»n au la (si l'origine reste au j)oinl C)

AG =x\^-hx'^'^x',^,

dx' et la dérivée de T, j)ar rapport à —jj-y sera

dx} r, — fil

dt On aura

de sorte que la nouvelle équation de Jacobi sera encore im\\^dx\) ' \dx'J \dxj J ^x'{' ^x'^^ -^x'./ "

const.

La forme de réc[uation de Jacobi ne change donc pas quand un change de coordonnées rectangulaires ou, en d'autres termes, la

fonction s satisfait aune équation aux dérivées partielles dont la forme est indépendante du choix des axes, pourvu que l'origine reste au point C.

Passons maintenant aux coordonnées polaires en posant

T] = r sin 'C, cuso, 070 = /' sinÇ sincp, x^ = r cos !^.

Si l'on se rappelle l'expression Je la vitesse en coordonnées polaires, on voit que l'on a

de sorte que les dérivées de T par rapport à

dr d'C. do sont respectivement

dt ' dt ' dt

T^ dr „ ^dL ^ , • „ „ do

dt dt ^ dt

et que l'on a

am L r' /-^sin^^J

■X m L 1'^ r' sin^Ç J r

L'équation transformée de Jacobi s'écrit donc

L'écjuation (4) est d'ailleurs indépendante du choix des axes.

48. Il s'agit de trouver une intégrale de l'équation (4) dépendant de trois constantes arbitraires.

Cherchons donc à y satisfaire en posant

et en désignant par ^— la constante du second membre.

66 CHAPITRE m.

Dans cette expression, S, désigne une fonction de /• seulement et G représente une constante.

Nous aurons alors

et l'équation (4) deviendra

V/S,\2 G-n mM /»3M2

Oll

d^ ~~di

1 liin^U G 2 nfU^-

u ou

49. 'La solution que nous venons de trouver ne nous suflil ])as encore, puisqu'elle ne contient que deux constantes arbitraires L et G. Mais il est aisé de la généraliser; nous avons vu, en ellel, que 1 1 forme de l'équation (4) est indépendante du choix des axes; ovZ, représente l'axe du Necleur AC avec l'axe des ^3. Nous aurons donc une nouvelle solution eu prenant

s=Si-i-Gr,

Ici lettre ^ désignant celte fois l'angle du vecteur AC avec une tlroite A quelconque passant par l'origine. Cette droite A, en effet, aurait pu être choisie pour axe des .273 sans que la forme de l'équalion (4) en eut été changée.

La nouvelle solution contient cette fois 4 constantes arbitraires, puisqu'il faut 2 constantes pour définir la direction d'une droite passant par lorigine.

Une de ces constantes est superflue, nous assujettirons donc la

droite A à rester dans le plan des x,, x^ et nous appellerons 0

l'angle de cette droite A avec l'axe des :r,. Nous avons alors trois

constantes

SO. Nous n'avons qu'à appliquer la règle du n" 10 ; nous pose-

rons

dfi

dxi-y^^ dL-'^ dG = ^^ W)=-^'

et alors /, o-, © seront des constantes ou des fonctions linéaires du temps; L, G, 9 seront des constantes. On aura

cU ^d^ dg ^ d^ d( — e) d'\>

dt dL' dt dG' dl - d^'

où à désigne le second membre de l'équation (4) ; on a donc

Nous aurons donc

dl rn^Mi dg dQ

dt--[j~' dT-""^ Ik^''-

Donc / est une fonction linéaire du temps, g et 6 sont des constantes. Nous poserons, d'ailleurs,

dl

51. Quelle est la signification de toutes ces formules ? Le radical

ini'M G 2 mi M 2

devant toujours être réel, le rayon vecteur r ne pourra varier qu'entre certaines limites. Son maximum s'appellera la dis lance aphélie et son minimum la distance périhélie ; la moyenne arithmétique sera la distance moyenne et sera désignée par a, tandis que les distances aphélie et périhélie seront respectivement désignées par

On obtiendra ce maximum et ce minimum pour lesquels le radical cesse d'être réel, en égalant ce radical à zéro, ce qui donne

mVM2/-2 2/«2ML2/-+G2L2= o.

La somme des racines devant être égale à art, on a

^g CHAPITRE III.

croù

L— 7)h/M \la.

Le produit des racines doit être a? {\ — e'-) ; on a donc

G2 = /«2 >Ia(i — e2)^ G = m v/M /«(i — e2) ;

il vient d'ailleurs

dl /»^ M^ y/M 'dt~ ' ^ L3 " ^^

Jusqu'ici nous n'avons pas choisi la limite inférieure de l'intégrale (5), de sorte que la fonction S, n'est déterminée qu'à une constante près; nous choisirons pour limite inférieure la distance périhélie a (i — c), de sorte (pic nous aurons

(C) S, = f S', dr,

en désignant par S', notre radical.