Passons à réqiialion
Le terme G^ ne dépendant pas de L, on aura
1 = ^1^ dh
et nous pourrons calculer le second membre en partant de l'intégrale (5) cl en différenllanl sous le signe / .
On trouve ainsi
r m'^W- (Ir
les limites d'intégration étant les mêmes que celles de l'intégrale (6).
Nous avons à calculer une intégrale dépendant d'un radical du second degré; l'intégialion peut se faire en ramenanl aux fonctions circulaires ; pour cela il convient de poser
r = a {i — e cosu).
De celle façon, comme cosm \ariera entre — i cl H- i, /■ variera comme il C()n\ienl entre la distance périhélie a (i — e) et la dislance aphélie a {i -+- c). La dislance périhélie sera atteinte quand u sera un mulliple de 27: et la distance aphélie quand u sera un multiple de tt.
L'angle auxiliaire u, ainsi introduit, a reçu le nom (ïanomalie excentrique.
Nous aurons
Le second membre est un polynôme de second degré en cos//, qui s'annule pour les distances aphélie et périhélie, c'est-à-dire quand u est multiple de tt.
Ce polynôme est donc proportionnel à sin^w.
Pour avoir le coefficient, je ferai cos?^ = -t-c/^, en donnant ainsi à u une valeur imaginaire. Dans ces conditions^ nous aurons sen-
siblement
/' = — aecosu, fi\\\-ii= — cos-it,
Sf /■- — r-^— /-^ = — m'* INP -— - cos u = — m'- M ae^ cos- u.
On a donc, pour toutes valeurs de /•,
S'j- r^- = m2 ^i ae^ ^[^2 a = 1,2 ^2 gin^ u, d'où
J U es'inu J a^e s\nu
Or
/' = «(! — e cosu), dr = ae sin u du.
Il reste donc
f (i — e cosu) du.
La limite inférieure d'intégration doit être, comme pour l'intégrale (6), celle qui correspond à la distance périhélie, c'est-à-dire Il = o. On a donc
(7) l = u — e è'inu.
C'est Véquation de Kepler.
Cette équation nous apprend d'abord comment varie le rayon vecteur en fonction du temps. Nous avons, en effet, une relation entre /• et u et nous savons que / est une fonction linéaire du temps.
Elle nous montre ensuite que les distances aphélie et périhélie peuvent être effectivement atteintes. Nous ne le savions pas encore, nous savions seulement qu'elles ne pouvaient être dépassées.
Mais l'équation (7) nous montre que l'anomalie excentrique a peut prendre toutes les valeurs réelles possibles et, en particulier, les valeurs qui correspondent aux distances périhélie et aphéhe. En effet, à chaque valeur réelle de m correspondra une valeur réelle de / et, par conséquent, une valeur réelle de temps, puisque / est une fonction linéaire du temps.
L'angle / a reçu le nom à'anomalie moyenne.
En eflet, il varie proportionnellement au temps, et il devient égal à Fanomalie excentrique toutes les fois que sn\a s'annule, c'est-à-dire à tous les périhélies et à tous les aphélies.
72 CHAPITRE m.
