Passons mainlenanl àréqualioxi

f/S clG ~ ^' ce qui peut s'écrire

Or, l'on a, par difiérentialion, sous le signe /

dS\ r — G dr

-f^-^Js^

Nous allons encore passer aux fonctions cir i aires, mais, comme nous avons mainlenanl pour variable -> nou. poserons

I I -1- e cost' 7- ~ rt(i — e2) '

de sorte que cosr variant de — i à +i, /* varie de a(i — e) à

Le carré de S', est un polvnome du second degré en - et, par

conséquent, en cosc; et, comme il s'annule aux distances périhélie et aphélie, c'est-à-dire quand c est multi])le de it, il sera proportionnel à sin-r.

Pour avoir le facteur de proportionnalité, je ferai cosr = + oo , d'où sensiblement

sin^'p = — cos-i':

e cosf

m'- Me

COSl'

/)!'• M2e5cos2('

On a donc pour toutes les valeurs de r Si^ = TTz sin2p, Si =

i — e sirn' dv — m- M e sin p dv S\ dv

r « (i — Ci) G^

d?)i^ HG

L'intégrale doit avoir même limite inférieure que l'intégrale (6), c'est-à-dire celle qui correspond à la distance périhélie, c'està-dire c^ = o. On a donc

d'où finalement

Pievenons à la ligure et prenons sur le grand cei'cle BD, qui est fixe, un arc BE égal à g. Comme g est une constante, le point E est fixe, ainsi que le vecteur OE, qui joint ce point à r origine.

Alors V représentera l'arc ED, ou l'angle du rayon vecteur fixe

OE, avec le rayon vecteur OD qui va à la planète. Donc /■ et v

seront les coordonnées polaires de la planète dans le plan OBD,

si l'on prend pour pôle le point O et pour axe polaire la droite OE.

Donc l'équation

e cosi"

sera l'équation de l'orbite en coordonnées polaires; or, c'est l'équation d'une ellipse rapportée à son foyer.

V orbite est donc elliptique.

L'angle v a reçu le nom d'anomalie vraie. Il est égal à un multiple de 2- au périhélie et à un multiple impair de t: à l'aphélie.

L'angle

fj -1- r = e -+- ^ + 1'

a reçu le nom de lons^itude dans Vorhite. Au moment du périhélie, on a r = o, la planète est sur le vecteur OE et sa longitude dans l'orbite est B -f- g.

Cet angle B 4- ^, qui est constant, a reçu le nom de longitude du périhélie.

5o. De l'équation (8) nous déduisons

ercosp = a(i — e2) — /• = a{\ — e"-) — a{\ — e cos u),

d'où ^

rcosv = a{cosu — e)

74 CHAPITRK m.

Or, les coordonnées rectangulaires de la planète ont pour valeurs : 1° si 9 est d'abord supposé nul

Xi=rco?,t, Xi— vs'iïi^cosi, a-j = /• sin Ç sin i.

2" Si 9 est quelconque

Xi = r (cos^ cosO — sinÇ sinO cost), (8 bis) \ 5^1 = /-(sin!^ cosO H- cos^sinO),

x^ = r sinîl sini.

Dans

(8 ter)

r cos^ = /• cosi^cos^ — r sini^ sin^,

( /• sin ^ = /■ cosf sin ^ -1- /■ sinp cos^

on remplacera ;'COSP etrsin^" par leurs valeurs et l'on trouvera

Xi = a {cosu — e) (cos^cos'J — sin^ sin 0 cosi)

— asin u \/ 1 — e*(sin^cosO-(-cosi' sinOcos/, X2 = a (cosu — e) (cos^:;'- sinO-f- sin^ cosO cost)

-+-a sin{< y/i — e-( — sin^ sinO-i-cos^cosO cosi), X3 = a (cosu — e) sin.^sin i

-t-a sina y/i — e* cos^ sin i.