Posons maintenant
\i = /i p, cos to/, T,/ = v/2 0/ sin lOf.
Le changement de variables sera encore canonique en vertu du n° 6 ; donc
^pf/co-^;^^'-.
sera une différentielle exacte et il en sera de même de
^ydx-\.d\-^\dr,
ou de
^xdy-\d\.-'^r,dl,
08. Dans la plupart des applications, l'excentricité e et l'inclinaison i seront de très petites quantités;
pi = L— G = m \/M v^a (i — /i — e')
est de l'ordre du carré de l'excentincilé;
^1 = yj-i p, coswi, Tji = s/-! Pi sin
sont de l'ordre de l'excentricité ; c'est pourquoi nous désignerons souvent ces deux variables sous le nom de variables excentriques :
P2= G — 0 = G(i — cos i)
est de Tordre du carré de Tinclinaison;
^2 = \/-2. p2 COS W2, r,2 = V 'i o-i sin M-i
sont de Tordre de Tiuclinalson ; c'est pourquoi nous désignerons souvent ces deux variables sous le nom de variables obliques. Nous trouvons d'ailleurs
d'où
v/Leco?wi= î|l/ i-^-Vl
et
\/h e sin w, = r,, W i -^- ' , ^ '
^2 = 2 /g sin - i cosa)2, '»l2= 2 /G sin - /sin 0)2-
Les variables que nous venons d'introduire servent à définir la forme, les dimensions et l'orientation de l'orbite elliptique, ainsi que la position de la planète sur cette orbite. Nous devons distinguer :
1" Le système des éléments
cpii ont reçu le nom d'éléme/ils elliptiques et sont plus familiers aux astronomes; 2" Le système
3" Le système
L, pi p2, )., CO], 0J2;
4'' Le système
L, Çl) Ç2> 'M '^(1) ''(2-
Ces trois derniers systèmes ont reçu le nom (Vêlements canoniques à cause des propriétés démontrées aux n°^ S6 et 57.
59. Nous avons, dans ce qui précède, calculé les coordonnées rectangulaires, ou polaires, en fonctions des éléments elliptiques ou canoniques. 11 resterait à calculer les variables yi ou, ce qui revient au même, à déterminer les vitesses en fonctions des mêmes éléments. Pour cela, nous pourrions nous servir des équations
ou, en revenant aux coordonnées polaires du n"47, nous ser\ir des équations
, , dr dS „ dt dS . ■ .^ do dS
(^') "'dt-^dy-' ""'-dt = dî' """-'''''-^-dt = wi
Nous pouvons, d'ailleurs, sans restreindre la généralité, supposer, comme au n° 48, que (^ représente l'angle du rayon vecteur avec cet axe et que, par conséquent, le plan de l'orbite passe par l'axe des x-^, car nous savons que le clioix des axes est arbitraire. On a alors
La première des équations (i i) donne alors
d'où
dr
, m dr
^^ = -sT
et
„ , m'*'M^ di
di = n dt -
Nous retrouvons donc simplement l'équation du n° 33.
60. La troisième équation (i i) nous donne simplement -^ = o,
yS CHAPITRE III.
ce qui signifie que la vitesse est dans le plan de l'orbite. Quant à la seconde, elle donne
dt
If
Or mr -^ c'est la projection de la quantité de mouvement sur une
perpendiculaire au rayon vecteur. Le premier membre n'est donc autre chose que le moment de la quantité de mouvement; de sorte que G représente en grandeur le vecteur des aires.
Comme ce vecteur est nécessairement perpendiculaire au plan de l'orbite, ses trois composantes seront
GsinisinO, — GsiiiicosO, Gcosi = 6.
61. Gîierchons maintenant à calculer les yi. Nous pourrions nous servir des équations
unis il sera préférable de se servir de
dxi dxi /«^M2 dxi
qu'il y aura lieu d'employer quand les x seront exprimes en fonctions de /, ,?■, 8, L, G, 0, ou de
m'^W- dxi
(pi'il y aura lieu d'employer quand les x seront exprimés en fonctions de À, L, 0, (0 ou de )v, L, i, r, .
Bien entendu -rj ou -j^ désignent les dérivées partielles de x par
rapport à / ou à k.
