On peut également se servir des intégrales des aires
^2jK3 — ^sj'i = G siiii sin6, x-iYi — Xi j^s ^: G sin « cosO,
Ges équations ne peuvent suffire pour déterminer les y car elles
LE MOUVEMENT ELLIPTIQUE. j9
ne sonl pas dislinctcs. Mais on y adjoindra réqiialioa des forces vives
(JÎ+JKl-f-J-ÎJ —
63. 11 peut y a\oir inlcrèl à mellre les équalions (y) sous une forme différente; introduisons deux quantités auxiliaires X et Y en posant
X = «(cos u — e) eus/ -i- a sinuy i — e- sin / =: /■ cos(c — /), y = — a(cos« — e ) sin / + a sin a /i — e- cosl = rsin(t^ — /).
Nous voyons que les seconds membres des équations (9) deviendront des fonctions linéaires et homogènes de X et de Y. il reste à trouver le coefficient de X et celui de Y.
Or, rappelons-nous comment nous avons obtenu les équations (9). Nous nous sommes servis des équations (8 bis) et (8 ter) sacliant que ^z= <,' -i- g-^ nous avons remplacé dans les équations (8 bis) r cosZ. cl rsinS^ par leurs valeurs (8 ter). Mais on a également
de sorte que les équations (9) deviendront
3^1= X[ cos(i?' 4- /) cosG — sin (^ -1- /) sin 6 cost] — Y[ sin (ff -r- 0 cosô -+- cos{g- -+- l) sin 6 cosij,
x.î= X[ cos(^-i- /) sin 6 -H sin (,^-H 0 cos6 cosj] -+- Y[ — sin (^ 4- /) sin 6 -{- cos{g 4- l) cos6 cos «],
x^— X sin(^-i- /) sini + Y cos(,5' + l) sin«,
ce qui peut s'écrire également
ri = X cos--cosX -i- sin2-cos(X — 26) — Yrcos2-sinX-f-sin2-sin (X — 26) , '^' ' x-î— X cos- -sin X — sin' -sin (X — -26)
-\- Y Tcos^ i cosX — sin'- ^ cos(X — 2O ) , x-i— Xsinfsin(X— 0 ) -h Y sintcusi^X — 0).
8o CHAPITRE ni.
64. Résumé des formules. — Je crois utile de réunir ici les formules qui lient les x et les y aux éléments canoniques L, \ p, to i, -/). Dans ces formules figureront les deux masses m et M et diverses quantités auxiliaires «, e, /, //, /', v^ /, X, Y,
Nous avons d'abord
pi= L(i— v/i — e'O, ?2= (I- — pi)(î — cosi),
^i = /2pi costoi, Tji — sji^i siiuoj;
^2 = \/2p2 COS(02, '';2 = /^ p2 sillW2-
/ = )> -H to 1 ,
(n) l ^^ u — e sin;/,
/■ cos f = a(cosK — e) /• ?in p = ay/i — e- sin ?;,
X = /■ ci)s(t> — /), Y = /-siii(p — /),
371= X cos2 -cosX -+- sin2 - cos(X -!- 'iwo)
— Y cos^ - sin X + sin- - sin (X -;- ^.lo,) , La '^ J
( 12 bis) ( .. r ,1 . . • 0^ • /-> , \1
^ ^ \a-.,= X cos'-sinÀ — sin^ - sin (À + 20)2)
-f- Y cos- - cosX — sin2 - cos(X -+- 20)3) ,
X3= X sin t sin(X + W2) -H Y sin t cos (X -i- m.,),
fi^i gî\
\Jx\ H- ir| -H x\ — r = ail — e cosu) = >
'^ ^ •^ "* ^ ' i-h e cost»
a:.2^j — 3^3 ^^2 = — (L — pi) sin t sin Wj, Xzyi — Xijs^ — (L — pi) sint COSCO2, ■ ^172— ^2^1 = I^— Pi— ?2;
I , , ,, /?îM mnV-
65. Forme du développement. — 11 s'agit maintenant de se servir de ces formules pour développer les coordonnées .r,, .372, X3 en séries dépendant des éléments canoniques. Quelle sera la forme du développement?
Pour résoudre cette question, je décomposerai le problème en
LE MOt'VE.MENT ELLIPTIOLE. 8l
deux et j'envisagerai d'abord le développement de X et de Y, puis celui des coefficients de X et de Y dans les équations (12 bis).
J'observe d'abord que p, est déveioppable suivant les puissances de e^, les coefficients du développement dépendant d'ailleurs de L. Le premier terme du développement est un terme en e^.
Donc "'' ' sera également déveioppable suivant les puissances de e-,
et il en sera de même de •
De léquation qui lie pi à e- on peut tirer inversement le développement de e- suivant les puissances de pj. Nous avons t^ou^é au n" 08
On pourra donc développer -— = suivant les puissances de p,.
y/api
Or
e e coswi e sin wi
et
Il résulte de là que ecosio, et esinw, sont développables suivant les puissances de ^1 et rj, ; c'est ce qui résulte d'ailleurs des formules du n'' 08. Les coefficients de tous ces développements dépendent de L.
66. Je dis maintenant que u — /, cos(w — /) et sin(?f — l) sont développables suivant les puissances de ecos^ et de esinl. Envisageons, en effet, l'équation de Kepler
(7) l = u — e sin a,
nous pourrons l'écrire
{u — l ) — e sin l cos( u — l ) — e cos/ sin {u — /) = o.
Le premier membre est déveioppable suivant les puissances de (u — /), esin/, ecosL Quelle est la condition pour qu'on puisse en tirer (u — /) développé suivant les puissances de esinl et ecos/? C'est, d'après le théorème des fonctions implicites, dû à Cauchy (ou, comme aurait dit Laplace, d'après le théorème sur le P. - I. 6
retour des suites)^ que la dérivée partielle du premier membre par rapport à rinconniie {// — /) ne s'annule pas quand on j fait ecos/=o, <'sin/ = o. Or, cette condition est remplie; car cette dérivée se réduit à l'unité.
Donc [il — /) est développable suivant les puissances de ecos/ etesin/, et il en est de même de cos(w — /) et sin(// — /; qui sont développables suivant les puissances de ( it — /).
Il en est de même, évidemment, de
e^ cos(u -{- l) = e- cosï/ cos( u — l) — e^ sirii/ ?in( » — 0^
car
e- COS2/ = {e cos/)2 — (e sin/)^; <?' sin>. / = 9.(^ cos/ ) (e sin /)
Cl il en est de même, pour une raison analogue, de e- sin(// -h /). 67. J'observe mainteuant que l'on a
— = cos ( ;/ — / ) H e- cos ( M -H / ) ; e cos /,
a 2 "xe'^
— = sin ( f/ — l\ e- sni iii + l) ; (- e sui /.
Nous venons de voir que (u — /) et e- . (u -{- l) sont
' sMi ' sin '
développables suivant les puissances de ^cos/, es\nl. Il en est de même de
car ces deux fonctions sont développables suivant les puissances
de e^-.
Il en résulte que — et — sont développables suivant les ])uis-
sances de
e cos/, e sin/;
ou encore suivant les puissances de
e cos wi, e sinco], puisque
e cos / = e costoi co« '. — e sin tO] sin X, e sin l = e sin Wi cosX -+- e cosioi sinX ;
LK MOUVKMENT KM-lPTIOlK. 83
OU encore suivant les puissances de
II, '^.i-
puisque ecosto,, r sin(o, sonl (lé\ cloppahlos suivant les puissances de ^( et r, 1 .
Donc flnalenieul X et \ sont développaljles suivant les puissances de ^1 et 71, ; les coelïicients du développement dépendent d'ailleurs de L et de A.
08. Passons maintenant aux coefficients de X et de Y dans les équations (12 bis) qui sont de la forme
„ i cos , , . i cos ,^ ±cos2- . À zh sin- - . (A-|-'2w.>) 2 sin /. SI II
ou
. .cos ,
Slll f . ( À -t- (JJ.) ).
sin ' .
Je dis que ces coefficients sont développables suivant les puissances de
(i3) sin-coso)), sin-sintO).
11 en est évidemment ainsi de sin- - qui est la somme des carrés
de ces deux quantités (i3); de
cos^- = 1 — Slll- - 5 2 2
cos - = I / i — sin- -; 2 V 2
de
sin2 - cos2 0j.>, Slll- - sin 2W.>, 2 " 2
expressions qui sont égales, la première à la dilïerence des cari'és des deux quantités (i3), la seconde à leur double produit; de
sin2 - cos( A -+- 2U).,) = sin- - cos2w.> cosÀ — sin- -sin 2too sin À,
et de sin--sin(À -|- acog) pour une raison anaiogue; de
. . cos i . i cos
sini . w-2=2Cos-sin- . w^; sin 2 2 sin
g^ CHAPITRE m.
de
sintcos(X-H (02) = sinf 00SW2COSX— siiu' sin wa sinX
et de même de sinisin(À -+- wo).
Il résulte de là que les coefficients en question de X et de Y sont développables suivant les puissances des deux quantités (i3).
Or, on a
^2 = •i\/L— pi sin- cosa)2,
T,2 = 2 y/L — pi sin - sin W2.
Donc nos coefficients sont développables suivant les puissances de
a }/L — pi 'i y/L — pi Or
est développable suivant les puissances de ç, etr,,.
Donc, finalement, nos coefficients sont développables suivant les puissances de i,, r,,, ç^? '^12-
69. En résumé, nos coordonnées xi sonL développables suivant les puissances de
^1, '/^ili ^2, 1^(2,
les coefficients du développement dépendant d'ailleurs de L et de )w Inutile d'ajouter que les expressions des xi sont des fonctions
périodiques de \ qui ne changent pas quand on change A en X + 2 it. Les développements des yi sont de même forme ; il suffit pour
s'en convaincre de se rappeler les formules
//î'-M^ dxi ^'^ ~~U~ 'dï'
Les Xi et les yt peuvent donc se développer sous la forme suivante (a) ^^ A cos(/?oX + h)D\\,
où po est un entier, où A et h sont des constantes qui ne
t.K Mol VICMKNT KI.LII' llyl E. »'>
dépendent que de L et où ;"»1I Vst un monôme entier par rajiport aux ^ et aux y,.
Posons ensuite
$/ = /ap,- costo/, r,, = v/?. Pi sin to,. Je dis que le dévcloppenienl (a) prendra la forme
(P) 2 '^??'P1'COS(/>0>> -+-/),W,-f-/),0)2-+- /l),
OÙ B et /? ne dépendent que de L, où les p sont des entiers positifs ou négatifs, les iq des entiers positifs ou nuls, et de telle façon que 9.qi soit de même parité que /?/ et au moins égal à pi en valeur absolue
Je veux montrer que tout développement de la forme (a) peut se mettre sous la forme (^) ; il me suffit de le démontrer pour chacun des termes du développement. Cela est évident immédiatement si le monôme OTL se réduit à l'unité, auquel cas le terme se réduit à Acos(/?oX + h).
Il me suffira donc de démontrer que, si une expression est développable sous la forme (|B), cela sera encore vrai pour cette expression multipliée par ^i ou par r|/ et, par conséquent, de proche en proche, pour cette expression multipliée par un monôme quelconque ,Tl.
Soit donc
H = N Bp^/'p|-COS(/)oX -i- P\ Wi -4-/).2t02-(- h).
Je dis qu'on pourra également développer sous la forme ( |il)
H Ç,- = H \/i Pi cos 10;, H Tii = H \/:>. Pi sin lOj = H y/ipi cos ( w/ — - j > et, plus généralement,
H \/ipi cosioii -i- h' ).
Dn a, en effet, H \/'i Pi cos ( 10,- -+- A' )
= -p 51 '^ Pf ' ?V ^?' r cos ( />o >. -^ /> 1 KJ I -H p-, (O,. — W, -r- A -f- A' )
-f- COs( /?«)> -t-/>iaii — Pi lu-, — w, -I- A — /j' )J.
Celle expression esl bien de la forme (j3); car, si nous supposons /:= I pour fixer les idées, nous voyons que icji et /?2 n'ont pas changé, que iq^ s'est changé en 2^, + i, tandis que />, s'est s'est changé en yOi + i dans l'un des termes et en /?, — i dans l'autre.
Or, si
on aura évidemment
2^1 -+- i ^ /?i -+- i = /?! — I ( inod 2),
■i-q\-^y^\Pï^\\, •i^i-Hi^l/'i — 1 1, ce qui démontre le théorème énoncé.
70. Symétrie. — Si l'on faisait tourner l'orbite elliptique et la planète d'un angle ? autour de l'axe des j^s (comme si la planète et son orbite formaient un seul corps solide),
se changeraient en
1^, Pi) P-2, ^, Wl, ^2
se changeraient en
L, pi, p.2, X -I- £, wi— e, (1)2 — £; et
Xx, X.2, a-3
se changeraient en
^1 cos£ — ^r^sine, a^i sins -t- a^o coss, x^.
Si, dans le développement des .r, on remplace les \ et les r, par leurs valeurs en fonctions des 0 et des co, on obtiendra des séries procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de X, to,, too.
Nous aurons donc
^r, = ^ A COS(/>n)^ -I- /5i 0)1 -)- /?2W2 -4- A),
/vo, p\ et />2 étant des entiers, A. et h des fonctions de L, p, et p2.
Lie MorVK.MKNT KLLIl'Tiy l K 87
.récrirai
( .r, =: 7 A (•ns(/),X -i- />| iO| -i- /y. 0J.2-+- /' 1,
( 1 i) / ^2 = ^ A' cos(/>oÀ -H/j, wj -(- /J.2W2-1- /''j,
^^3 = \ A"c<)s( pi)\ -h pitiii-h piiiii-h h" ).
Si je cliange A, (o,, (Oj m À + î, (-^i — £, «'^2 — s; rar^uiiieut des cosinus auj^inenlera de
el J?i, j:o, oC:i devront se clianyer en
j^i cos£ - j:'2 sins, ri siiiE -i- J72 cose, jtj.
JNous en conclurons :
i" ()ue
/>(, — pi — P2= I
dans le développenienl de Xi et de X2 et que
Po — Pi — P2= o
dans le développement de ^3; 2" Que
71. Considérons encore la ligure formée par la planète et son orbite elliptique et remplaçons cette figure par sa symétrique par rapj)orl an plan des XiX^. Cela revient à changer
L, G, e, /, ff, 6 en
ou
en
L, p,, p,, —X, —a»,, — oj.;
ou, enlin,
en
Il faut donc que x-, change de signe et que x^ et Xj ne changent pas, quand les trois angles X, co,, too changent de signe. Cela revient à dire que dans les développements (i4) on doit avoir
de sorte que ces développements deviennent \\\bis) <.r.2=^A sin(/)o^ -t-/^! t'J] -I- />'2 W2))
f ^3 ~ ^, A" COs(poX -4-/?iCOi-Hy02(02).
72. Considérons toujours la même figure et remplaçons-la par sa symétrique par rapport au plan des x^X2. Cela revient à changer les variables obliques ^^ et yj^ en — ^o et — rj^, ou encore à changer (Oa en (O2 + T.
Dans ces conditions .r, et .r^ ne doivent pas changer et x-^ doit changer de signe.
Donc/?2 est pair dans les développements (i4) ou (i4 ^f^) de X\ et de 372 et impair dans ceux de x^.
Si l'on rapproche ce résultat de celui que nous avons obtenu au n" 70, nous voyons que/>o — p\ ou/>y+y>, sont toujours impairs.
73. Homogénéité. — Quand f, /, /, g^ 9 restant constants, le demi-grand axe a se change en «(i + e), les coordonnées ^,, jyo? .2^3 se changent en j:-, (i + s), 370(1 -f- s), 3?;, (1 + e).
Dans les mêmes conditions — ;=» — ^A=y — ^^ sont multipliés
m^/^\ /»Vm »Vm
par la racine carrée de ce même facteur ou y^i + s.
Donc les coordonnées xi seront homogènes de degré 2 en
m v/M m /m ou en
Voyons ce que nous pouvons conclure au sujet de la forme des
