I.K MOIVKMENT KI.I.IPTIQIR

(IcNcInppements (i/\ bis). Les coefficients A et A"qui figurent clans ces développements seront une somme de termes de la forme suivante :

A ou A"= VbL-., ..p-Z.pt-^,

OÙ 2^1 est un entier de même parité que/>, et au moins égal à |/>i|, et où 2<72 est un entier de même parité que /^o et au moins égal à \p2\1 et ou ^ est une constante numérique. On aura d'ailleurs

j'i = — \^G m- M\. -^-t'-v^ p'h ç)'h sin(/7„X ^/)i wj -h p^LOi),

^3 = — V G" jn 2 M L-i -7.-7s pV- pf ^ sin ( />o X -I- /?, w, -f- /j. toj ),

C et C" étant des constantes numériques égales à B/^o-

J'ai dit que 2^7, devait être un entier de même parité que p^ et au moins égal à /?, ; c'est en effet la condition pour que

p'/'cos(/Jitoi+ A),

OÙ II est indépendant de p, et de w,, soit développable suivant les puissances de

v/sp, cos o), = ^i, /api siuw, = Tii.

74. Orbites osculatrices. — Reporlons-noiis à la figure i et aux hypothèses du ii" 30; envisageons par conséquent le mouvement des deux ])lanètes fictives A' et B'. iNous avons vu aux n"' 37 et 38 que l'on peut poser F=:FoH-[j-F|, (|ue p.F( est beaucoup phis petit que Fo, et que, si l'on remplaçait F par F^, le mouvement de la planète fictive V serait le lue'uie que si elle était attirée par une masse fixe /?i| -\- tu-; placée à l'origine, tandis que le mouvement de la planète ficti^e B' serait le même que si elle était attirée ])ar une masse fixe m, + //«^ H- ///y placée à l'origine. Il résulte de là (jue, e/i piemière ap/iroximation, le mouvement de ces deux [)lanètes fictives se fait conformément aux lois de Kepler.

Supposons qu'à l'instant / les forces <pii agissent (') sur la planète fictive A' viennent brusquement à disparaître pour être remplacées par une force unique due à l'attraction d'une masse fixe wi, H- ni-, placée à l'origine. A partir de l'instant /, la planète V décrirait une orbite elliptique, et c'est ce qu'on appelle Vorbite osculatrice de la planète A'.

Ou, si l'on aime mieux, nous envisageons une nouvelle planète fictive A", qui a même masse que A', c'est-à-dire m\ ; qui, à V instant t, a mêmes coordonnées que A' et même vitesse tant en grandeur qu'en direction; et qui, soumise seulement à l'attraction d'une masse fixe /?i, -|- m-; située à l'origine, se meut conformément aux lois de Kepler. A l'instant t, la planète A" a mêmes coordonnées que A', c'est-à-dire :c', , x'.,, x!, et les composantes de la quan-

(') Peut-être ce langage est-il incorrect, puisque à cette planète qui esl /ictive aucune force ne peut èlre réellement appliquée. Peut-être faudrait-il dire : les forces fictives qui semblent agir...; peu importe d'ailleurs puisque aucune confusion n'est à craindre.

PRINCIPES DK LA MKTIIODK DIC LAGRANGE. i)I

litc (le momenuMit suul les mêmes, r'est-à-dire j^', , y'.,, y\. Mais, à lout autre instant que l'instant /. la planète A" n'a pas les mêmes coordonnées que V, ni la même quantité de mou\ement. L'orbite elliptique de A" est alors Voibite oscAilatrice de A'. Les deux définitions reviennent é\i(lemment au même, caria nouvelle planète V" n'est autre chose que ce que deviendrait A' si les forces qui agissent sur elle venaient à disparaître et à être remplacées par l'attraction de la niasse centrale ///, -h ni-,

A un instant t' diUerent de t, V ne coïncide plus axec A'; nous devons donc imaginer une nou\plle planète fictive \"' (\u\ se meut d'après les lois de Kepler et qui, à l'instant t\ a mêmes coordonnées et même vitesse que V. I/orbite elliptique de A'" sera Vorbite osculatrice dt^ A' à l'instant t' et elle différera de l'orbite elliptique de A", c'est-à dire de l'orbite osculatrice de A' à l'instant /. L' orbite osculatrice est donc variable avec le temps.

Cependant, si F se réduisait à F,,, la planète V se mouvrait conformément aux lois de Kepler; coïncidant un instant avec A", elle coïnciderait constamment avec A'; donc A' et V" ne différeraient pas et l'orbite osculatrice serait invariable.

En réalité, F ne se réduit pas à Fo, mais la dillerence, que nous avons appelée ;jlF|, est très petite. Il en résulte que ['orbite osculatrice varie ^ mais cju'elle varie lentement.

On définirait de la même manière l'orbite osculatrice de B' : ce serait Forbite elliptique d'une nouvelle planète fictive B". (pii aurait même masse que B', c'est-à-dire /?/, , qui, à l'instant /, aurait mêmes coordonnées que B', c'est-à-dire ic',,, r',, .r'^, même vitesse en grandeur et en direction et, par conséquent, mêmes composantes de la quantité de mouvement, c'est-à-dire j^,, ij, r^, qui enfin se mouvrait d'après les lois de Kepler sous l'attraction d'une masse centrale fixe m^ -h m,, + m-;. Nous n'aurions d'ailleurs qu'à répéter ce que nous avons dit des orbites osculatrices de A .

Nous avons vu au Chapitre III que la forme, les dimensions, l'orientation d'une orbite elliptique, et la position d'une planète sur cette orbite, peuvent être définies à l'aide d'un système de six éléments, dits tantôt éléments elliptiques, tantôt éléments canoniques {cf. n" 08). Les six éléments qui définiront ainsi l'orbite elliptique de A" (c'est-à-dire l'orbite osculatrice de A') et la position de A" sur son orbite (c'est-à-dire la position de V sur si>n

orbite osculatrice) s'appelleront les éléments oscillateurs de la planète A.'.

Dans le mouvement képlérien un seul des éléments est variable (e'est la longitude moyenne À si l'on adopte l'un des deux derniers systèmes d'éléments définis au n" 38, et l'anomalie moyenne / si l'on adopte l'un des deux premiers) et cet élément varie d'ailleurs proportionnellement au temps. Les cinq autres éléments sont constants.

En ce qui concerne les éléments osculateurs, tous seront variables ; mais les variations de l'un d'entre eux seront sensiblement mais non exactement proportionnelles au temps; celles des cinq autres seront très lentes. Nous venons de voir, en effet, que l'orbite osculatrice varie, mais qu'elle varie lentement.

On délîîiirail de même les éléments osculateurs de la planète B'.

73. Cas de la Méthode usuelle. — Au n" 44 nous avons défini un (•hangemenl de variables dont les astronomes se sont souvent servis. Bien que nous ne devions pas en faire usage, il peut y avoir intérêt à l'examiner et à définir les orbites osculatrices auxquelles il conduit.

Les deux planètes A etB sont rapportées au Soleil G, c'est-à-dire que l'on introduit deux planètes fictives A' et B' ayant respectivement pour masses /«, et m., en menant OA' égal et parallèle à GA, et OB' égal et parallèle à GB.

Ici encore nous pouvons supposer une nouvelle planète fictive A" qui, à rinstant /, a mêmes coordonnées et même vitesse que A' et qui décritune ellipse sous l'attraction d'une masse centrale /;/, + //? 7; et une autre planète fictive B" qui, à l'instant ;, a mêmes coordonnées et même vitesse que B' et qui décrit une elli|)se sous l'attraction d'une masse centrale /«/,+ m-i (je dis m.,-{- m-, parce que, si l'on négligeait la fonction perturbatrice telle qu'elle a été défi aie au n° 4i, le mouvement de B' serait celui d'une masse mobile attirée par une masse fixe /??j + /??7). L'oi^bite elliptique de A" ou celle de B" seront alors l'orbite osculatrice de A' ou celle de B'. Il n'y a d'ailleurs rien à cbanger à ce que nous avons dit au numéro précédent.