Cas de la transformation du n" 26. — Supposons mainte

PRINCIPES DE LA METHODK DE LAGRANGE. qi

nanl cjuau lieu d ado[)lei' le changemenl de variables du ii" liU, ainsi que nous le ferons toujours sauf avis contraire, nous ayons adopté celui du n" !20. Les planètes fictives A' et B' ont pour

niasses

in\in-, m<^m-,

et l'on obtient leurs positions en menant les vecteurs O.V et OB' égaux et parallèles à CA et à CB. Elles ont pour coordonnées

Mais les variables

ne seront pas proportionnelles aux dérivées des x' \ elles ne représenteront donc pas les composantes des quantités de mouvement des deux planètes fictives; elles représenteront, comme on le sait, les composantes des quantités de mouvement absolu des deux planètes réelles.

Voici dans ce cas comment on doit définir les orbites osculatrices :

Soit une nouvelle planète fictive A" qui a même masse

//Il m-

que A'; qui, à Tinstant t, a pour |COordonnées J?', , x'..,, x'.^ et pour composantes de sa quantité de mouvement y\, y'.,, y'.^; qui enfin se meut conformément aux lois de Kepler sous l'attraction dune masse centrale m^-\- m-,.

On voit qu'à l'instant t la planète A" a mêmes coordonnées que A', mais qu'elle n'a pas même quantité de mouvement ni par conséquent même vitesse.

La planète A" décrit une orbite elliptique qui sera l'orbite osculatrice de A'.

On définirait de même la planète fictive B" et l'orbite osculatrice deB'. Disons seulement que B" se mouvrait sous l'attraction d'une masse centrale m^ -\- m-,.

11. Comparaison des orbites osculatrices. — Le plus souvent, au lieu de parler de l'orbite osculatrice de A' ou de B', on parle de

Torbite osculatrice de A ou de H, c'est-à-dire des phinètes réelles; cette façon de parler peut être adoptée sans inconvénient : quand on parlera de l'orbite osculatrice de A, on devra entendre qu'il s'agit de celle de la planète fi<;tive correspondante A'.

Cependant on doit faire attention à une chose. Nous venons de \ oir qu'il y a plusieurs manières de définir les orbites osculatrices et, par conséquent, les éléments osculateurs. 11 y en a encore d'autres. Au n" 74, au lieu de rapporter A à C et B au centre de gravité de A et de C, nous aurions pu rapporter B à C et A au centre de gravité de B et de C.

De plus, nous aurions pu attribuer d'autres valeurs aux niasses

centrales. En eflet, le partage de F en deux parties Fq et aF,

reste arbitraire dans une assez large mesure; nous aurions |)u

retrancher une fonction quelconque de Fo et l'ajouter à aF,,

pourvu qu'elle soit du même ordre de grandeur que la fonction

perturbatrice. Par exemple, dans Fo nous auiions pu remplacer

le terme

m^i nii -H m-; ) HD par le terme

~BD~'

puisque la dillerence ^ ' est de l'ordre de uF,. Alors la masse

centrale qu'il aurait con\enu de choisir pour définir le mouvement de B" aurait été non plus

nif. ( m, -+■ m-, )

:^ ~- =z nii-h rUf,-!- ni-

mais bien

et il est clair qu'on aurait pu choisir bien d'autres valeurs encore.

Eh bien, ces différentes déhnitions conduisent à des éléments osculateurs qui ne sont nullement identiques. Seulement, les différences sont très faibles; elles sont de Tordre des masses perturbatrices.

Considérons dabord le cas des n'" lA ou 7o. Alors la planète A" a, à l'instant ^, non seulement mêmes coordonnées que A', mais aussi même vitesse. L'orbite osculatrice est donc tangente à l'orbite

l'HlNCIl'ES l)K LA .MKTlIUDi; UK l.A(JU \M;|:. y5

réelle et, ù rinslaiil ^ + s, si s est très petit, l'éearl entre A' et A" est de l'ordre de s-.

Au contraire, dans le cas du n" 76. la planète A" a, à l'instant ^ mêmes coordonnées cjue A', mais elle n'a pas même \itesse. L'oibite osculatrice rencontre donc; Toi-hite réelle, elle la coupe sous un angle très aigu; mais elle ne la touche pas. Donc, à l'instanl < H- £, l'écart entre A' et A" est de l'ordre de s. C'est là un inconvénient incontestable dont il ne faut pas toutefois s'exagérer l'importance, puisque nous venons de \oir que les diflerences sont de l'ordre des masses |)erturbatrices.

78. Changement de variables. — iNous a\ons \ u au Chapitre 111 et en particulier au n" 6i conunent on exprime les coordonnées d'une masse mobile décrivant une orbite elliptique sous l'attraction d'une masse centrale fixe, ainsi que les composantes de sa quantité de mouvement, en fonction des deux masses m et M et des six éléments canoniques

L, A, pi, COi, ^2, tOo.

Nous pouvons appliquer ces formules à la planète fictive A".

Les coordonnées de la masse mobile qui, au n" 64, étaient désignées par j?,, X.2, -F.î sont ici jc\, x'.,, x^\ les composantes de la quantité de mouvement qui étaient désignées par y^^ y^^ ^3 sont ici y\ , y.,^ y'.^ ; la masse mobile et la masse fixe qui étaient désignées par m. et M sont ici m\ et m, -\- m-, ; quant aux six éléments canoniques nous les désignerons par

Li, )h, ?i-

tO.)

Faisons de même pour la planète fictive B". Les coordonnées qui, au n" 6i, étaient désignées par d7,, x-y^ x-i sont ici x\, x'., x\. ; les composantes de la quantité de mouvement sont y\, y'., y'^ ; la masse mobile et la masse fixe sont m', et nit + /n.;-ir m-;; quant aux six éléments canoniques nous les appellerons

L2, ^^2, ?3, W3, Pi, COi.

En résumé, il y a entre

a-\. x',, ar'-j, y\, y\, y'^, /)i\, /Hi-i-/u-, L], À], pi, wi, Pi, (.0.

OU entre

m\, /ni+mi-t-mv) La, X2, ps, W3, p^, w^

les mêmes relations qu'il y avait au n" 64 et en général au Chapitre III entre

m, M, L, X, pi, w,, p2, W2- Or nous avons vu au n" 56 que

y X dy — X dh — ^w dp

est une difierentielle exacte. En appliquant ce résultat soit à la planète A", soit à la planète B", noUs voyons que

(i) / -^ ^^y' — ^' ^Lf — ^ w rfp,

où l'on donne à x' ç.\.y' les indices 1 , 2, 3, à (o et p les indices 1, 2, est une différentielle exacte et qu'il en est de même de

(2) Zi^' ^y' — ^2 dL^ — ^ lù dp,

où l'on donne à x' al y' les indices 4, 5, 6, à w et p les indices 3, 4- En faisant la somme on voit que

(3) y^'f/y— y Xf/L— Vco^p

est une différentielle exacte. Dans l'expression (3), il faut donner aux indices toutes les valeurs possibles, c'est-à-dire 1, 2, 3, 4? 5, 6 pour .2;' et y'; 1 , 2 pour )^ et L; i , 2, 3, 4 pour w et p.

D'où résulte que, si nous pienons pour variables nouvelles lesA, les L, les co, les 0, ce changement de variables est canonique; et que les équations conserveront leur forme canonique

/ ^ rfF dLj d¥

\ dt dLi ' dt d\i '

] di>ii rfF dpi dF

' dt dpi ' dt diMi

l'IUNClPKS DK LA MKTHODK DK LAUKANGK. 97

71). l'osons inainlenaiil

l'ex|>ression

y w^/p — Vr^,/:

• si une diUV'renlielIe exacte.

Si donc nous prenons pour variables les L, les )., les Ç et les r,, ce changement de variables sera encore canoni(jue et nos «'-qualions deviendront

, dh ^ dF (ILj dV

\ dt ~ dL/ dt ~ dki'

' dt d\,' dt ~ dr,i'

80. Méthode usuelle. — Ce que nous venons de dire s'applique, soit que nous adoptions la transformation du n" 30, soit que nous adoptions celle du n" 126. Mais, si nous adoptions la méthode usuelle, les équations ne seraient plus canoniques ainsi que nous I avons vu au n' ïï où nous sommes parvenus aux équations (20 ).

Mais supposons que l'on considère les six premières de ces équations (20), celles où l'indice i est égal à i , 2 ou 3, et (pu; Fou j remplace

^6) Ji. y-o- ys

parleurs valeurs en fonctions du temps. Ces six équations seront alors canoniques, mais la fonction caractéristique F' dépendra non seulement des inconnues

mais encore du temps.

Nous pouvons néanmoins, d'après le n" 12, leur faire subir un changement canonique de variables.

En particulier, l'expression (i) du n" 78 étant une dillerentielle exacte, nous pouvons transformer ces six é(piations en prenant pour variables nouvelles

'^Ij ^M) pl> Wl> p2i "^î-

Elles resteront canoniques. Nous obtiendrons ainsi six équa- P. - I. •:

q8 CHAPITRIi IV.

lions de même forme que les équations (4) du n" 78, mais où F est remplacé par F, et où l'indice i prend seulement la valeur i pour L et \ et les valeurs i et 2 pour p et co. " Opérons de même sur les six dernières équations (20) du n" U.

Remplaçons-j

l)ar leurs valeurs en fonctions du temps. Ces six équations seront canoniques, la fonction caractéristique sera F" et elle dépendra non seulement des inconnues

x-\, 37 ij, a-;, ./i, /s, /c-

mais encore du teuq^s.

L'expression (2) du n" 78 étant une ditlerentielle exacte, ces équations resteront canoniques si l'on prend pour variables nouvelles

Nous obtiendrons ainsi six équations de même forme (jue les équations (4) du n" 78, uiais où F est remplacé par F" et où l'indice i prend seulennmt la valeur 2 pour F et ). et les valeurs H el 4

pour p et (>).

En résumé, nous retrouvons douze équations do uiême forme que les équations (4), avec cette dillerence que, dans six d'entre elles, F doit être reuiplacé par F', el dans les six autres par F".

11 en serait absoluuient de même pour les équations (5).

81. Emploi des éléments elliptiques. — Au n" 08, nous avons défini quatre systèmes d'éléments, à sa\oir le système des éléments elliptiques et trois systèmes d'éléments canoniques. Au n" 78, nous avons adopté comme éléments osculateurs ceux du troisième système, celui des p et des w; au n" 79, nous avons adopté le quatrième système. Si nous avions adopté le deuxième système, il n'y aurait rien à changer à ce qui précède, puisque ce système est également canonique.

Mais les astronomes emploient aussi fréquemment le premier système, celui des éléments elliptiques, qui n'est pas canonique. Quels sont les changements qui en résultent?

Gomme nous avons des relations entre les éléments canoniques

l'RINCII'KS DE LA MKTIIODE DE LAGKA.\(iE. ( ,,

et les élémeuls elli,,Uc,ues, les dérivées par rapport à ^ des élémenis elliptiques s'exprimeront linéairement à l'aide des dérivées par rapport à t des éléments canoniques, les coefficients étant des fonctions connues des éléments elliptiques. En vertu des équations (4) chacune de ces dérivées des éléments canoniques par rapporta / est égale, au signe prrs, à une dérivée partielle de F par rapport à un des éléments canoniques. A leur tour les dérivées partielles de F par rapport aux éléments canoniques s'expriment linéairement à 1 aide des dérivées partielles de F par rapport aux éléments elliptiques, les coefficients étant des fonctions connues des éléments elliptiques.

^ En résumé, les dérivées par rapport à t des éléments elliptiques s exprimeront linéairement à l'aide des dérivées partielles de F par rapport aux éléments elliptiques, les coefficients étant des fonctions connues des éléments elliptiques.

Telle est la forme des équations dilTérentielles auxquelles satisfont les éléments elliptiques; elles sont beaucoup plus compliquées que les équations (4) auxquelles satisfont les éléments canoniques.

On peut, grâce aux crochets de Lagrange définis au n" 1 i, les obtenir sans passer par ce détour.

Soit un système d'équations canoniques

dx^ ^ fl^^ ^ __ dF dt dyi' dt ~~ dxi'

Considérons des accroissements virtuels Ixt et on des variables Xi etjK/, et oF l'accroissement correspondant de F. Si nous multiplions nos équations par ^y, et - Ixt et que nous ajoutions, nous trouverons

2] {dxi oj,— dyi Ixi) = 5F dt.

Supposons que nous exprimions les x et les j^ en fonctions de 2/1 variables nouvelles

il viendra

Si nous remplaçons dxi et Sx, par ces valeurs et dyi, oy^ par les

jQO CHAPITRU IV.

valeurs analogues, el que nous posions

L «/M «/. J = 2- A 5^. ^^«A- do^A do^n ) ' noire équation (6) devient

Via/;, a/, J ( r/a/, la/,— do./, oa/, ) = oF c?/;

la sommation doit être étendue à toutes les combinaisons des indices h et A-, les deux combinaisons h, k et A', li ne devant pas être regardées comme distinctes.

Mais si j'observe que

je puis écrire aussi

V [ a/,, a/. I r/a/, oa/, = oF dt,

OÙ la sommation doit être étendue à tous les arrangements des indices h et k, les deux arrangements A, A' et A, h devant cette fois être regardés comme distincts.

Si nous remplaçons oF par

et que nous identifiions, il viendra

V r 1 d^li '

Appliquons cette formule au cas qui nous occupe; nos variables, au lieu d'être désignées par Xi elji, devront alors être désignées par x'i et y] ; intégrons d'abord les équations en réduisant F à Fo ; elles se re^duiront alors aux équations du mouvement képléfien et elles nous permettront d'exprimer nos inconnues en fonctions des six éléments elliptiques de A" et des six éléments elliptiques de B". Supposons que ces douze éléments elliptiques soient précisément nos variables nouvelles que nous appelons a,, ao, . . ., ao».

La formule (7) nous donne alors les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire ces nouvelles variables. Les coefficients [a/,, a/,] sont des fonctions connues des éléments elliptiques.

PRIINCII'KS DE l..\ MKTIIOnn: I)K LACn.VNGK. lOI

Mais ces coefficients ne sont autre chose (par rapport aux écpiations canoniques du niouxement kcplcrien) que les crochets de Lagrange du n" l 4. En elî'et, parmi nos éléments elliptiques, il y en a deux qui varient proportionnellement au temps : ce sont les deux anomalies moyennes. Soient

ces deux élémenls; c'est-à-dire les anomalies moyennes des deux planètes fictiNes. A.lors e^ et £2 seront des constantes pour le mouvement képlérien.

Les autres élémenls sont des constantes pour le mouvement képlérien.

Considérons alors un des crochets [a^, a/,]; si A et k ne sont pas égaux à I ou à 2, il rentre immédiatement dans la définition du crochet de Lagrange, puisque y./, et a/; sont des constantes.

Soit maintenant, par exemple [y./,, a^], h n'étant égal ni à 1, ni à 2. On a alors

dxi d.r,- dfi dvi

d-x^ fl?£i doLi dzi

et, par conséquent,

[a/M «il = [a/M £1],

et comme £| est une constante nous relomhons sur la définition du crochet de Lagrange.

Reste le cas du crochet [a,, a^]; ce crochet est nul et il en est de même, en général, de [a/,, a/f] si y./, et a^ sont deux éléments n'appartenant pas à la même planète fictive. Et, en effet,

, "^ / dx', dv'i dx'i dy'i

Or, si /^ I, 2, 3, les dérivées par rapport à a^ sont nulles; si, au contraire, ^ = 4, 5, 6, ée sont les dérivées par rapport à a, qui sont nulles. Tous les termes du second membre s'annulent donc.

Tous nos coefficients sont donc des crochets de Lagrange, et il résulte du n" li que ce sont des fonctions des constantes du mouvement képlérien, c'est à-dire des élémenls a autres que les anomalies moyennes et des deux constantes s.

lOZ CHAPITRE IV.

Je ne m'arrêterai pas à démontrer qu'ils ne dépendent pas des constantes e, ce qui serait facile.

Les équations (^) étant beaucoup j)lus compliquées que les équations (4), je n'en ferai aucun usage. Je termine donc là cette digression en me contentant de renvoyer à l'Ouvrage de Tisserand, Tome 1 et, en particulier, au Chapitre X et à la |)age i8^, où l'on trouvera les équations en question sous leur forme définitive.

8l2. Calcul de Ko. — Revenons au.v éléments canoniques et à la transformation du n"30. JNous avons formé les équations (4) et (5) des n""* 78 et 79. Jl reste à exprimer F en fonction des éléments osculaleurs.

Commençons par F^ ; nous avons trouvé au a" 1^7

Fo=T, + T,-^^g —

D'autre part, nous avons trouvé au n" Cri la formule suivante :

(8) 7jn^^^-^y^'^^^^-----^ny

Applicpions cette formule à la planète fictive A"; il faudra y changer j^i, y-i, y-i en y\i y'-n y^ ', 'il et M en ni\ el /«, + m-, ; /• en AC, L en L,, de sorte que le premier terme du premier membre de la formule (8) se réduii'a à T, et que la formule deviendra

/riim-! m\m\inl Mi ' AG"' "" 7Î7\ ~~ lL|'

où nous avons posé

Ml = in\ ni'\ mij.

Appliquons de même la formule (8) à B"; il faudra y changer jKi , y -Il yz en j'j , y'.^ , y'^ ; m et M en m'.^ et m , H- m , + //Zt ; r en BD, L en Lo, de sorte que le premier terme de (8) se réduira à T^ et que la formule deviendra

mi ( m I — 7/17 ) in'.^ m | ( m i + m-, )2 M