BD ~ 2L| 2L

PRINCIPES l)K LA MÉTHODE DE LAUUANGE. lo3

OÙ nous avons posé

M2 = /»'., /ni ( /«i -i- /»7 )2.

En additionnant, il \ ient

■iLj 9A4 -iL] ^14

Le même calcul s'aj)|)liqncrait si l'un a\ait adopté les transformations du n" 26 ou du n° 44. Les valeurs des masses seules ditl'éreraient.

Avec la Iransf'ormaliou du n" !2<), il aurait fallu faire

M = nii-h ni- pour ,V", iit\ -t- lit-,

ini-,

nii

mv-t- ni-,

m = > Al = — pour B .

ni'^^-\- ni-i {ni:,-\- m-) (nii- m-)

On aurait obtenu ainsi

ni\in\in= ni\ ni-,{nii^r- ni-,) i

Fo = '

■2 Lf mi-+- m7 iLI

Avec la méthode usuelle du n" 44, il aurait fallu faire

m = nii, M = nii -f- ni^ pour A", /« = m-,, M = />tv -f- "i7 pour B",

et l'on aurait eu

m l( nii-i- m- y- m l ( m i -+- m- )"-

Fo = -

Ce que nous devons surtout retenir c'est que F ne dépend que des L.

8î^. Calcul de .al^ i- — Développons maintenant la fonction perturbatrice [jlF,. Dans le cas de la transformation du n" 30, cette fonction ne dépend (jue des coordonnées x' ; ces coordonnées, en vertu du n" 69, sont développables suivant les puissances des ç et des r,. En est-il de même de la fonction [aF, elle-même? Pour que cette fonction jxF, soit développable suivant les puissances des ; et des Yi, il suffît qu'elle soit holomorphe par rapport aux x', quand les ^ et les yj sont supposés nuls.

lo4 CHAPITRE IV.

Soit, en effet,

Soit x'/^ ce que devient x'^ quand on annule les ç et les y\ et posons

Alors ^^" représentera le premier terme du dévelo|)])ement de t^suivant les puissances des ^ et desri, et 0.2:^ représentera l'ensemble de tous les autres termes.

La fonction ©(.r^) = ©(.rî" + o.r^) étant holomorplie pour a:'- = x'/* sera développable suivant les puissances des 0^',, et comme ceux-ci sont développables suivant les puissances des Ç et des r\, il en sera de même de cp(.r'^) = [jlF,. c. q. k. d.

ne peut cesser d'être holomorphe que poui-

BD = 0, AB = o ou BC = o,

c'est-à-dire pour

pour

< ^'5 ^'fi 'n^

ou pour

D'autre part, quand on annule les q et les t], il vient

a7j = Kl Lj C0SX2, 3"2 = K[ Lf sin À] , ^r^ = o, a?'^ = K2I4 dsXo, .r'j = KjLI sinXo, ar'g = o,

OÙ

Kl = ; > K-2 =

Kj et K-. étant les valeurs du facteur ^.. correspondant aux ■ ■ m- m '

deux planètes A" et B"j.

Or ces valeurs des x' ne satisferont aux conditions de non-holo-

KzLl

/Hi -^ m-;

ni\

PHINCIPES DE LA MKTIIODE DE I.AGRANGE. lo5

morpliisme que si ou

^1 — ^2' II)

\\i \J, niy -+- ni-j

conditions <|tfi, dans les applications, sont très loin d'être satisfaites.

l^a conclusion, c'est que la fonction perturbatrice est développable suivant les puissances des ^ et desiri ; les coefficients dépendent d'ailleurs des L et des "k, mais il est clair qu'ils doivent être des fonctions périodiques des longitudes moyennes A et, par conséquent, développables en séries trigonométriques procédant suivant les cosinus et les sinus des multiples de ).. Nous pouvons donc écrire

|jlF, ="V a cos(Ai Ài-t- A-,À,-i- /? );)H.

où A', et Ao sont des entiers, où A et h dépendent seulement des 1^, où enfin JIL est un monôme entier par rapport aux ^ et aux t,.

Ce développement, comme on le verrait en raisonnant comme au n° 69, peut toujours se mettre sous la forme

dans celte formule, A et A dépendent seulement des L, les /. et les p sont des entiers positifs ou négatifs, les 2^/ sont des entiers positifs et de telle façon que 2qi soit de même parité que /?, et

que

■igià\p,\-

Remarquons en passant que les p étant de l'ordre du carré des excentricités et des inclinaisons, le terme en question sera de l'ordre

par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Nous nous contenterons pour le moment de ces brèves indica-

lo6 CHAPITRE IV.

lions, mais nous reviendrons plus loin en détail sur le développement de la fonction perturbatrice.

84. Cas de la méthode usuelle. — Ce que nous avons dit de la fonction perturbatrice s'apjjlicpierait séparément à la partie principale et à la partie complémentaire de cette fonction, puisque l'une et l'autre s'expriment par des fonctions holomorphes des x' . Et cela resterait vrai, que Ion adopte la transformation du n" 30, ou la méthode usuelle du n" iï.

Mais, dans ce dernier cas, la partie com[)lémentaire de la fonction perturbatrice prend une forme particulièrement sinq^le; il en est de même, d'ailleurs, dans le cas particulier examiné au n" iO.

Cette partie complémentaire est, en effet,

nix nii, , I , If ' ' \

pour l'une des planètes, et

l^osons

/?Zi nii^ Il II ' I \

W JU A *^ L 1 «^ 2 S ~^ ',i 6 *

Le développement de <l se déduira, d'une manière particulièrement facile, de celui des x' .

Observons maintenant que dans le cas du mouvement d'un [)oint attiré par une masse fixe centrale M, on a les écjuations dilleren-

tielles

d^x, Mxi dr- ~ 7"5~ ou

^\xi d'^Xi

~l^=-"'"d}J' ou enfin

Si nous voulons appliquer ce résultat à la planète A", il faut remplacer j;,, x^i ^3 par x\, x'.,, x'.j, /• par AC, ). et L par A, et L,, m et M par /??, et /», + /;«;, d'où

AC? ~ Ll dJf ^ ' ~ ' ' ■'' ^'

i'RiNr:ii'i;s HE i..\ mktiiodk hk i.\(;nAN(;K. 107

On ohliendrait de mènie

SI nous (»l)ser\itus (|ii en a|i|»li(Hianl la loiiimlc à !>', il laul laire /■ = BC, puisque, dans la inélliode usuelle, la planète B est rapportée au Soleil C.

Si nous observons alors (pie x\, .r!,, .c\ ne d<''pcndenl pas de Ao, ni jc\, vP-, Xf. de }.(, nous aurons

m] ni-,{ /Hi -+- m- f d- •!/ et

ce (pii nous donne les expressions des parties coinplémenlaires cherchées.

80. Cas de la transformation du n" ±iS. — Si l'on adopte la transformation du n" !2(), nous avons \u au n" i3 que la partie complémentaire a pour expression

Il 11

el en employant les formules

ifH.