Homogénéité. — La fonction F est homogène de degré — i

PRINCIPES DE LA MÉTIIOOE UE LAGHA.NGK. 109

par rapport aux grands axes el, par conséqueiil, lioinogène de degré — 2 par rapport aux L et aux p. 11 en résulte que, dans le développement (10), le coefficient A est homogène de degré

- ^ -^ ^' par rapport aux L.

90. Intégrales des aires. — (^ue deviennent les intégrales des aires avec nos nouvelles variables? Nous avons vu, au n" !23, que ces intégrales conservent la même forme quand on passe des variables X el y aux variables x' et r', de telle fac^^on (jue chaque composante du vecteur des aires est la somme de la composante correspondante du vecteur des aires relatif à la première planète fictive A', et de celle du vecteur des aires relatif à la seconde planète fictive B'. D'autre part, le vecteur des aires est le même à l'instant t pour la planète A' et pour la planète A", puisque à cet instant elles ont mêmes coordonnées, même masse et même vitesse.

Elle sera la même également pour B' et pour B".

Or, au n''60, nous avons vu quelles étaient les trois composantes du vecteur des aires pour une planète se mouvant d'après les lois de Kepler; ce sont :

G sini sinG = — '''ni/ '- — h — '

I — Uf sint co

G sint cos6 = — i^oi/l. — pi — — :

On voit que dans les deux premières de ces expressions figurent à la fois les ç, les r, et les p ; mais il serait aisé de passer de là soit à une expression en fonction des p et des to, soit à une expression en fonction des ç et des r, .

Appliquons ces formules aux deux planètes A" et B" qui décrivent des orbites elliptiques. Nous verrons que les trois composantes du vecteur des aires sont

no CHAPITRK IV.

pour A" el

pour B", de sorte que les intégrales des aires s'écriront

— r^oi /Li— pi— ^ — i04\/l-2— p.'i— ^ = const.,

(12) -j __Ï,»/L,Pi L2 t^4/L.2-p:,— Ç = const.,

^ L — \^ p = const.

La dernière des équations (li) peut s'oljtenir facilement de la manière suivante :

Nous avons vu, au n" 87, que dans le développement (^lo) de la fonction perturbatrice p. F, on a

On a donc

>çi<i[i.Fi -^ diJ.Fi

et comme F ne diffère de [jlF, que par le terme Fy qui est indépendant des ). et des (o

^F x-i dV

j^'dî ~2dd^'

ou à cause des équations (4)

ydL v^ dp ^-di-^Zdt^'^

ou enfin

\ L — y p = const.

91. Supposons que l'on prenne pour plan des x, x^ le plan invariable, les équations (12) se simplifient. En effet, les seconds membres des deux premières équations (12) se réduisent à zéro, et alors on peut déduire de ces équations

^i2 ^ii '

PRINCIPES DE l.A MKTHOOK 1)K LAGRANGE. I i i

OU

el

pi ( I-l ?1 — ) = p4 ( L2 — p3 — —

L'équation coo=t04 n'est pas autre eliuse que la propriété énoncée au n" 2o, sous le nom à^ élimination des nœuds.

92. Tout ce que nous avons dit jusqu'ici s'étend sans aucune difficulté au cas où l'on a plus de trois corps. 11 en est ainsi en particulier des résultats du n" 90. Mais ceux du n" 91, de même que ceux du n" !2o, ne seraient plus vrais dans le cas où il y aurait plus de trois corps.

93. Approximations successives. — Comme F= FqH- \j-¥ ^ et que F(, ne dépend que des L, les équations (4) du n" 78 peuvent s'écrire

;^__^r/F, ^l^i ^^ ^Fi

\ dt ~~^lrk' dt ~ '^''Tlï' dt~~^~d7:'

(4 bis) ■ ^ ^

\ dt ~ dL "^ '"" "dL '

et de même les équations (5) du n" 79 peuvent s'écrire

1 dh (5 bis)

d¥, dl'

doi dFi dt " '■" dp '

d\ dFo ^ dF^ dt rfL ' ' dL

dp dt

dF,

J'ai supprimé les indices i pour simplifier l'écriture.

Cela posé, voici comment les équations (4 bis) ou (5 bis) peuvent s'intégrer par approximations successives en profitant de la petitesse du paramètre [jl.

En première approximation, nous supposerons ij. = o, de telle façon que les L, les o, les co, les ^, les r, seront des constantes et les A des fonctions linéaires du temps.

Ensuite, dans les seconds membres des trois premières équations (4 bis) ou (5 bis) ie remplace les fonctions inconnues L, )., p, co, (ou L, A, ^, r, ) parleurs valeurs trouvées en première approximation; ces équations me donnent alors par une simple quadrature de nouvelles saleurs approchées des L, 0 et 10 (ou des L, ^ et t,).

I 12 CHAPITRK IV.

Dans le second membre de la quatrième équation (4 bis) ou (5 6«), je remplace les L, p et oj (ou les L, ç et •^) par les valeurs ainsi trouvées, et les \ par les valeurs de première approximation. J'ai ainsi par quadrature de nouvelles valeurs approchées des )..

Et c'est là la deuxième approximation.

Ensuite, dans les seconds membres des trois premières équations (4 àis) ou (5 bis)^ je remplace les fonctions inconnues par les valeurs trouvées en deuxième approximation et j'obtiens ainsi pour les L, p et to (ou pour les L, ^ et '/]) de nouvelles valeurs approchées que je substitue dans le second membre de la quatrième équation, où je remplace d'adleurs les À par les valeurs de la deuxième équation.

Et c'est là la troisième approximation.

Et ainsi de suite; à la aï"""" approximation, on envisage d'abord les trois premières équations; on remplace les inconnues dans les seconds uiembres par les valeurs de (n — i )"'""' approximation, et l'on calcule par quadrature les valeurs de n"""'' a|)proximalion de toutes les inconnues, sauf des A.

On prend ensuite la quatrième équation ; dans le second membre, on remplace toutes les inconnues par leurs valeurs de z^"""'' approximation, sauf les A que l'on remplace par leur valeur de (/? — iV^^'ne approximation. On obtient enfin par quadrature les valeurs de ^^le.ne approxiuiation des A.

On voit qu'à chacune des approximations on n'a à effectuer que de simples quadratures.

9i. Il s'agit de se rendre compte de l'approximation obtenue. Nous allons chercher à développer nos inconnues suivant les puissances de [JL et de voir combien à chaque approximation nos développements contiendront de termes exacts.

Pour cela, nous nous appuierons sur les lemmes suivants :

I ' Soient deux fonctions développées suivant les puissances de pi, leur produit sera également développable suivant les puissances de jJL, et si 1 on remplace ces fonctions par des développements dont les premiers termes seuls sont exacts, de telle façon que le premier terme erroné soit le terme en la", le développement du produit aura aussi ses premiers termes exacts, de telle façon que le premier terme erroné soit le terme en [jl".

l'UlNClfUS l)i; J.V MÉIHOOK UK L V(.lî \.N(.i;. Ili

2° Ce résultat s'étend inimédialemenl à un polvnonic cuLiuiquelconque. Soit P un polvuouie entier en r, ^v, s; si\r, y, z sont (léveloppables suivant les puissances de [jl, il en est de même de I*; et si l'on remplace x,j\ :■ par des dévelo[)pemeuls approchés où le premier terme erroné soil en a", les premiers termes du dé\eloppement de P seront exacis, de lolle façon rpie le (ueiiiier terme erroné soit le terme en 'x" .

3" Considérons maintenant une fonction quelconque /(x, j)% z). Soient ^05 J'oj ^0 les valeurs de x, y ei z pour -0.= o, c'est-à-dire les premiers termes des dé\eloppements de x, y, z suivant les puissances de a. Je dis que la proposition qui précède sera encore vraie si la fonction /est liolomorphe en jc, y, z pom-

Posons en effet

la fonction / étant liolomorphe sera développable selon les puissances de ox^ 0/, ?jz. On pourra donc écrire

où /^ contient l'ensemble des termes de degré moindre que n en ox, oy, ùz et /, l'ensemble des termes de degré au moins égal à // ; alors /o est un poljnome auquel s'applique le lemme précédent. Supposons maintenant que l'on remplace ox, oy, ùz, soit par leurs développements exacts suivant les puissances de ;jl, soit par des développements dont les premiers termes seuls soient exacts, le premier terme erroné étant eniji". Dans les deux cas,/, /« et/, seront développables suivant les puissances de [jl; de plus, comme ùx, oj-, tz sont divisibles j)ar -a, et que /, ne contient que des termes d'ordre n au moins par rapport à ùx, h% oz, cette fonction/ sera divisible par ul".

Je dis maintenant que dans les deux développements, l'un exact, l'autre rapproché, les termes de degré moindre que n (c'est-à-dire les termes en jj.' où /< ii) seront les mêmes. Cela est vrai pour/, qui est un poljnome auquel le lemme s'applique; cela est vrai pour y. qui est divisible par [^", et qui par conséquent ne contient pas de terme de degré moindre que n en u. Cela est donc vrai de /*. P. - I. ' 8 ■

I i4 CUAl'lTrUC IV.

Ainsi dans le développement approclié de /, le premier tenue erroné est le terme en [j.", ou, comme nous le dirons plus hrièvfment, l'erreur est de l'ordre de u".

95. Il s'agit d'appliquer ces lemmes à la question qui nous occupe. Gela est possible, car Fo et F, sont des fonctions holomorphes de nos inconnues )., L, p, w (ou X, L, ç, 'r\) et il en est de même de leurs dérivées.

Je vois d'abord qu'à chaque approximation nous trouverons pour nos inconnues des expressions développables suivant les puissances de ui. Et en effet, si cela est vrai en (/i — i """'^) approximation, quand nous substituerons dans les seconds membres des équations (4 bis) ces valeur approchées développables suivant les puissances de lA, ces seconds membres seront eux-mêmes après cette substitution développables suivant les puissances de [a, et il en sera de même des nouvelles valeurs approchées des inconnues, qui se déduisent de ces seconds membres par quadrature.

Si, dans nos développements approchés des inconnues, le premier terme erroné est en jji'', et si nous substituons ces développements approchés dans F,, le développement de F, aura ses premiers termes exacts, d'après le lemuie, et le premier terme erroncî sera en u." • pour pi-F,, le premier terme erroné sera en tjL"+', et de même pour la même raison, si F', est une quelcoutpie des dérivées partielles de Fj , l'erreur commise sur |jlF', sera de l'ordre de ij."+' .

Sur F,), ou sur une quelconque des dérivées partielles de Fo< l'erreur commise sera de l'ordre de [jl".

Après la première approximation, l'erreur commise sur les inconnues est de l'ordre de [j..

Passons à la seconde approximation. Substituons ces premières valeurs approchées dans les seconds membres des trois premières ('■quations (4 ^^5) ou (5 bis) qui sont de la forme [J-F, . L'erreuicommise sur ces seconds] membres sera de l'ordre de [x-, et il en sera de même de l'erreur commise sur les nouvelles valeurs approchées des L, p, M (ou L, H, '/]).

Substituons ces nouvelles valeurs approchées dans le second membre de la quatrième équation et remplaçons-yen même temps les \ par leurs valeurs de première approximation. Nous faisons

PRINCIPES DE LA MÉTHODE l»i; LA(.KANGE. Il5

sur les unes une erreur de l'ordre de u.^. sur les autres une erreur de l'ordre de u.. L'erreur commise sur ij.— n- sera donc de l'ordre

de |x-. Quant à l'erreur sur -jr^ elle sera également de l'ordre

de UL^, car -jp ne dépend que des L et l'erreur sur les L est de

Tordre de [j.^. L'erreur sur le second membre de notre quatrième équation et, par conséquent, sur les nouvelles valeurs approchées des X sera donc aussi de l'ordre de jj.-.

On démontrerait de la même manière qu'à la troisième approximation l'erreur sur les seconds membres des trois premières équations est de l'ordre de jjl', l'erreur sur les nouvelles valeurs approchées des L, p, co de l'ordre de ijl''. et enfin que l'erreur sur

^F, dFo , 1 1111

a-TT-j sur -jr~ et, par conséquent, sur le second membre de la

quatrième équation et sur les nouvelles valeurs approchées des A, est aussi de l'ordre de [jl*.

En résumé, après la n^^"^^ approximation, l'erreur cojnmisc sur nos inconnues est de V ordre de jji".

96. Dans la méthode d'approximations du n" 93, nous substituons à la place de nos inconnues, dans les seconds membres de nos équations, des développements obtenus d'une certaine manière. Mais il n'y a là rien d'essentiel. Supposons que dans les seconds membres des trois premières équations (4 bis)^ nous ajons substitué à la place des inconnues d'autres développements pourvu qu<' le premier terme erroné soit de l'ordre de u".

L'analyse du n" 9o nous montre immédiatement que ces équations nous auraient donné pour les L, les p et les co de nouveaux dévelop])ements approchés où le premier terme erroné serait en

Prenons ensuite la quatrième équation (4 bis); dans le second membre, substituons à la place des L, des o et des o) cesnouveau\ développements et à la place des \ les anciens développements où l'erreur est de l'ordre de u.". Ici encore nous verrions immédiatement, par l'analyse du n" 95, que l'équation nous donnerait pour les A de nouveaux développements approchés où le premier terme erroné serait en 1^."+'.

Dans la conduite de nos approximations, nous pouvons, comme

d'ailleurs le bon sens l'indique, laisser de côté les termes erronés de nos développements, en ne conservant que les termes exacts.

^ j^ ,^ien.e approxiination, nous substituons dans nos seconds membres nos développements approchés, et nous obtenons pour ces seconds membres eux-mêmes des développements que nous pouvons arrêter au terme en ja«-', puisque les termes suivants sont

erronés.

Dans le second membre de la quatrième équation, nous avons

.leux termes ^ et [j^^; dans le second terme, il suffira de sub-

stituer à la place des inconnues leurs anciens développements qui sont exacts jusqu'au terme en [jl"-^ inclusivement; l'erreur commise

dans le développement de ^ ^ sera encore de l'ordre de jj.".

Mais, dans le terme ~, il faudra remplacer les L (je dis les L parce que ^" ne dépend que des l) par leurs nouveaux développements, exacts jusqu'au terme en a""' inclusivement, que l'on a obtenus à l'aide des trois premières équations.

97. Il convient de préciser davantage. Considérons, par exemple, les équations (5 bis). Je suppose que nous envisagions la solution |)articulière de ces équations telle que, pour t = u, les inconnues L/, )./, ç,-, -r^i aient pour valeurs initiales

et que nous nous proposions de développer cette solution suivant les puissances de u.

En première approximation nous aurons

où m est une constante qui, conformément aux formules du uio.i-

vement elliptique, est égale à

où nous avons posé, comme au n" 82,

i\li = m'-'- (nti^ m-, y^ = /«i fn\ m= .

M, == w ? {fni-\- m-^^ m- y= m \ ni | ( /» , ;- m -, )"- .

Rn /?."'■""' approximation nous aurons et

(i5) x,=xo^ r'i^,//^,, /

■\/Fo ,. , /"V/F,

rfl.,

Dans les inLégrales qui figurent dans les seconds membres des équations (i4) on remplace les inconnues par les valeurs obtenues en(/?— i)'^"'*^ approximation. On fait de même pour la seconde intégrale du second membre de (i5), tandis que pour la première intégrale, où figure sous le signe / une fonction ne dépendant que

des L, nous y remplacerons les L |)ar leurs \aleurs données par les équations (i4)-