APPLICATION DE LA MÉTHODE DE LAGRANGE

98. Nous a\ons vu, à lu lin du Cliapitru |jrécédeiil, que nos équations peuvent s'intégrer par approximations successives et que ces approximations peuvent se faire par de simples quadratures. Toutes les quadratures que nous serons conduits à faire dans l'ap- [)Hcation de cette méthode seront de la forme

/ Xf" ros(v/ -h h) dl.

où m est un entier positif ou uid, V, v et h des constantes. Nous avons d'abord, pour ui = o,

(l) / COS(v/ -r- II) lit = — -,

cl, d'ailleurs,

Si nous diflerentions cette dernière équation m fois par rapport à V et que nous divisions par t'", il vient

ou en multipliant par \.e'^ et prenant la partie réelle

(/ A^" cos(v^-i- h)dl

Ca) - = ^^ --{-niAi'"-^ !^^ —rn{rn — i)Xi"'~ ' ï— r

/ < , L cos , , I

± m! A . {^ft -{- fi)

sin ^ ^ v"'+i

APPLICATION DE I.A MÉTHOIM: DK LAGRANGK. 11(1

l.e terme général du développenienl esl

où l'on doit prendre

-T- siii, -f- cos, — sin, — co«,

suivant que

/> ss o, 1; -i, 3 (modî;.

On remarquera la présence de v au dénominateur. Les formules précédentes deviennent donc illusoires dans le cas où v ^ o; elles doivent être remplacées par

( 3 t f kdt = A /. / A t"^ dt = — — /'"+'.

99. Appliquons ces piincipes au problème qui nous occupe, c'est-à-dire à l'intégration des équations (5 bis) du n" 93. Nous avons vu au n° 83 que piF, et F peuvent se développer suivant les puissances des ^, des ■r\ et des cosinus et sinus des multiples des \^ il en est de même des dérivées partielles de F par rapport aux L, aux A, aux ^ et aux ri. Les seconds membres des équations (5 bis) seront donc développables sous la forme

( 4 ) \ A eus ( /.i Xi -- A'a X2 -r- A ) Ole ,

où A et h sont des constantes ne dépendant que des L, où les k sont des entiers et DU un monôme entier par rapport aux ^ et aux ri.

La constante h est d'ailleurs égale à o ou à — -? d'après le n" 86. En première approximation nous avons

^i—'-'i^ Zi—\ii fii—'iii hi—UiC- A, ■

Si, appliquant la règle des n"* 93 ou 97, nous substituons ces valeurs dans les seconds membres des trois premières équations (5 bis), ces seconds membres prendront la forme

'V 15 cos(v/ -h h'),

lîtO CHAPITRE V.

OÙ B Cl li sonl des constanles et où