V := kl ni -+- /t
Nous pourrons alors intégrer nos équations à l'aide des formules (i) ou (3) et nous trouverons pour nos inconnues L/, i,et'/)i de nouveaux développements où nous aurons des termes en sin(v/ + h') et des termes en t.
Passons à l'équation (i5) du n" 97:
at.
\ -, 0 . f' dFo r' dPi
Dans -TT^ ) nous devons encore suhslihicr à la place de nos dL,
inconnues leurs valeurs approchées L)', ;", -^i", /i^-^ + X"; nous obtiendrons ainsi pour )., des termes en / [provenant de l'application de la formule (3)] et des termes en sin(vï + h') [provenant de l'application de la formule (i)].
Dans -jY^f il faut, d'après la règle du n" 97, substituer aux 1^/
les nouveaux développeinenls que nous venons de trouver. Soienl
ces nouveaux développements.
Les ùLi sont développables suivant les puissances de [j., et comme on a, d'ailleurs,
et fpic dans -jz-^ les inconnues ont été remplacées parleurs valeurs
approchées indépendantes de pi, on voit aisément que le développement de ùLi se réduit à un seul tei'me, le terme en ij..
Pour L/= L", -~ se réduit à ni. D'ailleurs, pour L/ = L" H- oL/,
la dérivée -tj-^ peut se développer suivant les puissances des oLi
sous la forme
f/Fo d'F„ ,, ^M^o .,
«L, al^i ciLi dL, (11^2
Dans ce dévelo|q)emcnt, nous pouvons négliger les termes du
M'PI.ICATION niv I.A MKTIIODI-; I)K LA(inA.N(;K. 121
second degré ou de degré supérieur, parce qu'ils sont de l'ordre de 0.2, et si nous observons, d'aulre part, que, d'après la forme deF„(^/. n-^SS). on a
r/2F„ d-^ Ko (In,
;/iT777T.': " ""' TTîJ ~ d\:}
nous iiouNons écrire
d'où
d\.i ' dL)
f'^Il^dt = n,t-,'I^ fdUdt.
, /, dL, dW] . f,
J ai pu laire sortir —— - du signe / ; c est, en etlet, une constante;
car les dérivées successives de Fo, quand on y a remplacé les L,par les constantes L°, se réduisent à des constantes.
Nous avons vu que oL, contient des termes en sin(v^+ A') et peut contenir des termes en /. Nous verrons bientôt que ces termes en t ne peuvent se rencontrer que si le rapport des moyens mouvements — est commensurable : c'est là la propriété connue sous II; ^
le nom àin^'ariabilité des girinds ares.
Cela nous donnera dans / ol^-dt et, par conséquent, dans A, des
termes en cos(v/ + //), des termes en t; il pourra y avoir aussi des termes en /- [[)ar a|)plication de la formule (3)] mais seulement si ùLi contient des termes en t, c'est-à-dire si le rapport des moyens mouvements est commensurable.
C'est là la deuxième approximation qui, à cause de la petitesse des masses perturbatrices, est suffisante pour les besoins de la pratique dans le plus grand nombre des applications.
100. Nous voulons néanmoins pousser l'approximation plus loin el voir quelle est la forme générale des termes de nos développements.
Je dis que tous nos termes seront de la forme
(5) A<"' cos(v/ -f- A),
uù /n esl un entier positif ou nul, A et h des constantes et où
les /f étant des entiers positifs ou négatifs.
J'observe d'abord que le produit de deux quantités de la forme (5) est une somme de termes de la forme (5) et j'en conclus qu'un polynôme entier par rapport à plusieurs quantités de la forme (5) est une somme de termes de la forme (5).
Plus généralement, soit y une fonction développable suivant les puissances de x, y, z; si ^, y, z sont développables en séries de termes de la forme (5), la fonction / sera elle-même développable en une série de termes de la forme (5).
Si, en effet, dans le développement de / suivant les puissances de X, y, z, je substitue à la place de x, y, z leurs développements, le résultat de cette substitution sera une série dont chaque terme sera un produit d'expressions de la forme (5).
Le n" 98 nous montre ensuite que, en intégrant par rapport à t une expression de la forme (5), on obtient encore une somme de termes de la forme (5), car il est utile de faire observer que
sin ( V ^ H- A j = co? ( V ^ -H A — - )
Gela posé, envisageons les dérivées partielles de F, et de Fy qui (igurent dans les seconds membres de nos équations. Posons
Les dérivées partielles de F( ou de F„ pourront se dé\elopper suivant les puissances des oL, S^, Sv], 8X, sous la forme
où 0\V est un monôme entier par rapport aux 8L, 8^, ov], 5).. Quant aux coefficients B, ce seront, d'après la formule de Taylor, des dérivées partielles d'ordre supérieur de Fi ou de Fq, où les L, ^, r| et À doi\ent être remplacés par leurs valeurs approchées
1j, , (,, , fj, , II, f -t- A, .
Les dérivées partielles d'ordre quelconque dt; F, et F^ peuvent,
APPLICATION l)K I.V MlhHODli Dli LACRA.NGli. l}.i
comme ces fonctions elles-mcines, se mellre sous la forme (4) »lii a" 99, c'est-à-dire sous la forme
V A cos ( Âi Xi -r- k-i >w -H h ) ÙW .
Si l'on y remplace les inconnues par leurs valeurs approchées, ces expressions se réduiront à une somme de termes de la forme (5), car A et OIl se réduiront à des constantes et A", \^ + A'2 Ao + 1^ 'i
v^ + A' où
V = kl II , + A-2 «o. h' == h^ kl >.0 — k.,\l .
iNos coefficients B sont donc des sommes de termes de la forme (5). Je dis que oL/, o;/, o/]^, oX/, quelcjue loin que Ton pousse l'approximation, ne contiendront que des termes de la forme (5). En effet, je suppose que cela ait été démontré pour la /?"^'°'^ approximation, et je vais montrer que cela est encore vrai à la (/i -+- i)"^""^. Considérons, en effet, d'abord les trois premières équations (5 6/6)
du n" 93. Les seconds membres sont de la forme ^B;)lL'et, dans
le monôme Dit', on doit remplacer les oL, . . . par leurs valeurs de ,^ièn>e : approximation. Par hypothèse, ces valeurs se réduisent à une somme de termes de la forme (5). Donc 0\'J sera aussi une somme de termes de la forme (5) et, comme il en est de même du
coefficient B, il en sera de même de ^Boic'.
Nos seconds membres sont donc des sommes de termes de la forme (5) et, en intégrant par rapport à t, nous voyons que les nouvelles valeurs des ôL/, 5;/, or,/, c'est-à-dire leurs valeurs de (n -+- i)"="'e approximation, sont encore de la même forme.
Prenons enfin la quatrième équation (5 bis) du n" 93. Dans le second membre, il faut substituer à la place des 8L/, oç/, ùr.i les valeurs de (n } i^^""^ approximation et, à la place des 8)^/, les valeurs de /i'^'"^ approximation. Toutes ces valeurs sont des sommes de termes de la forme (5).
On en conclurait, comme plus haut, (jue le second membre est une somme de termes de la forme (5), et, en intégrant, que la nouvelle valeur de oX^, c'est-à-dire sa valeur de (« + i """") approximation, est encore une somme de termes de la forme (5).
101. Petits diviseurs — On voit, en se reportant au n" 98, que, par suite «les intégrations, le coefficient v figure au dénominateur. 11 en i-ésulte que, si v = o, les formules (i) et (2) deviennent illusoires et qu'on doit recourir aux formules (o). Mais
V = Aj «î -+- A 2 >ii'
Donc V ne peut s'annuler que si le rapport — est coiniiien^ii-
rahle ou si
( )r, la [)iol)al)ilité pour que le rapport — soit exactement
commensurable est infiniment petite. Nous pouvons donc toujours supposer que ce rapport est incommensurable et, par conséquent, que V ne peut s'annuler «pie quand les «leux coefficients A" sont nuls à la fois.
Mais si ce rapport ne peut être exactement commensurable, il peut être à peu près commensurable ; dans ce cas, v peut s'annuler, mais peut devenir très petit. Si v de\ient très petit, les termes qui contiennent v ou une puissance de v au dénominateur deviennent très grands.
On dit alors que ces termes sont très grands par suite de la présence «riin /x'/i/ diviseur.
Il peut j a\oir pour chaque valeur de ~ une infinité de petits di\iseurs. Sup])Osons, en efiet, que nous réduisions - en fraction
continue et soit — une des réduites successives; l'expression
iiù les a sont des entiers, est lr«'s petite; à «luicpie rt'duite corresj»<)ii«l donc un petit diviseur; il y en a donc une infinité.
Mais, «lans la pratique, on n'aura jamais à envisager que les premiers termes des développements, c'est-à-dire ceux qui correspondent à des valeurs relativement petites des entiers A-, et k.,. Les premières réduites ])ouri-out «lonc seules entrer en ligne de
compte; et le plus souvent, si le rapport — n'est pas très près d'une
Nalciii- comiuensurable siinjde, c'est-à-dire du rapport «le deux
APPLICATION i)i; i,\ MKTHonio i)i: i.agkangi;. i-ti
iiiUeis pcUts, il arrivera (juc 1 expression
«o/ii — ai «2
ne sera pas extrêmement petite; car les expressions analogues sont il'autant plus petites qu'elles correspondent à des réduites de rang plus élevé. Dans ce cas, nous n'aurons pas à nous inquiéter despetits diviseurs.
Si, au contraire, le rapport — est ti'ès voisin d'une \aieur coniinensurable simple, Texpressiou
'j.-> Il y — y-i "l,
coiTespondant à riuie des premières réduites, sera extrêmement
petite. Mais alors il se présentera la circonstance suivante. Soit §^
la r('(liiile suivante; je dis que les entiers ,3, et po seront extrêmement grands, de sorte qu'on n'aura pas à considérer le petit diviseur
(pii ne ligurera pas dans les termes du développement que l'on conserN e.
Soit, en effet, '- la réduite qui précède — ; la théorie des fraclions e«)ntinues nous apprend qu'on aura
Pi = Yi-4-3tia, ?2= Ya-^-aja,
(i désignant le quotient incomplet correspondant. Si nous posons
on sait (|ue a est la partie entière de x de telle façon (pie x — cf est eomj)ris entre zéro et un. On a alors
aortj — ai n-i
Par hypothèse le dénominateur ao/îi — ^^fl^i est extrêmement petit, donc a; et, par conséquent, a sont extrêmement grands. Il en est donc de même de |j, el de ^o. c. q. v. n.
ia6 CHAlMlRi; V.
Nous n'aurons donc à nous inquiéter ni de la réduite ~ ni a
fortiori des réduites suivantes. Donc, dans la pratique, nous aurons au plus à nous inquiéter d'un seul petit diviseur.
Si, au lieu de trois corps, nous en avions un plus grand nombre, quatre par exemple (c'est-à-dire trois planètes), nous aurions
V = kl Tii -+- k-, iii + /. ;j n-^.
La condition que le rapport — soit incommensurable devrait être
remplacée par la suivante : qu'il n'y ait entre les trois moyens mouvements /?|, n-^ ^l ''3 aucune relation linéaire à coefficients entiers.
102. Forme des développements. — Considérons maintenant nos inconnues comme fonctions des ^aleurs initiales ^" et r,)? des ^,et des Tj/. Je dis (\vl elles seront développabh^s suivant les puissances croissantes des ^j' et des yj".
En effet, cela est vrai en première approximation où l'on a simplement \i= ^^^, y^/=yi", tandis que les L,- et les )./ sont indépendants des \" et des ri". Il suffit donc de montrer que, si cela est vrai en ^i'''""'^ approximation, cela est vrai également en [n -\- i)'^*"*. Considérons d'abord les trois premières équations (5 bis) du n" 93 dont les seconds membres sont de la forme
dxc
Nous avons montré que les coefficients B eux-mêmes sont de la forme
^ A cus(/iiXi+ A-2).2+ /i)OH,
où l'on doit remplacer les L,, ^/, /,,, \i par leurs valeurs approchées L", ^", 7)", Uit + X". Alors Ole, qui est un monôme entier par rapport aux ç,- et aux rj,-, deviendra un monôme entier par rapport aux ^° et aux ri", et, comme les autres facteurs ne dépendent pas des ^" et des r,", nous voyons que les B sont développables suivant les puissances des ^" et des r^.
Quanta Oit', c'est un monôme entier par rapport aux SL, 5^, or,. OA, où ces expressions doivent être remplacées par leurs valeurs
M'PLICATION DK l.A MKTIIODE DK LAGRANGE. l>.-
de /v'«"'« approxiinalion. Or, ces valeurs, par hypothèse, sont dé\eloppables suivant les puissances des i" et des yj". Il en sera don<de même de i)\l' et, par conséquent, de nos seconds membres
Si nous intégrons, nous verrons que les valeurs de (/? + i)'^"*^^ approximation des L, Ç, vi sont développables suivant les puissances des ^^ et des Tj". En raisonnant sur la quatrième équation (5 bis ) comme nous venons de le faire sur les trois premières, on verrait qu'il en est encore de même des valeurs de (n -\- i )"="'<-' approximation des )>.
Nos développements seront donc de la forme
(6) V |j.«AOHo<'"cos(v/-+-A),
où Olto est un monôme entier par rapport aux ^" et aux v^ et oîi A et h sont des constantes ne pouvant dépendre que des L" et des X" . Comme nos expressions sont développées suivant les puissances de [JL, nous avons en facteur une puissance de jji. que j'ai mise en évidence. Posons
les p" et les oj" sont les valeurs initiales des p/ et des co/. En raisonnant comme avi n^GO on verrait que notre développement peut également se mettre sous la forme
(7) ^lx^Ap1'I^p\^^p<i0^ç,o^q. cos(^yt -^^Pii^''. + h^
où A et h dépendent seulement des L" et des A" et où les entiers // et 2g satisfont aux conditions
103. Coordonnées héliocentriques. — Nous avons vu au n" 6i comment les coordonnées x^^ x-i^ X3 d'une masse attirée par un centre fixe peuvent s'exprimer en fonction des éléments canoniques et nous pouvons appliquer les formules de ce n° 64 aux
128 CIIAPIÏRK V.
deux planètes fictives A" et B". Nous verrons ainsi que
sont développables suivant les puissances des ^ et des r,, et que ce sont d'ailleurs des fonctions des L et des )., qui restent holomorplies
pour
Si donc nous faisons
L; = L» + oL/, h = À? + «/ 1 + oh,
ces coordonnées x' seront développables suivant les puissances des i, des yj, des SL, des oÀ. J'ajoute que les coefficients du développement sont de la forme G cos(v^ H- A), G et h étant des constantes qui dépendent seulement des L" et des )>". Ils sont donc de la forme ((3). Gomme les quantités ^, yi, oL, o\ sont ellesmêmes développables sous la forme (6), il en sera de même des coordonnées x' .
En raisonnant comme au n" 69, on \errait alors que les x'^ peuvent également se développer sous la forme (7).
Ainsi nos coordonnées x' peuvent se dé\elopper soit sous la forme (6), soit sous la forme (7), et il en est de même des coordonnées héliocentriques des planètes Xf — x-;, x-x — x^, x^ — Xt,; ^■. — X-, x^ — ^s, Xc — .ro qui sont des fonctions linéaires àe% x' .
104. Classification des termes. — Ainsi, soit dans les développements des éléments, soit dans ceux des coordonnées, le terme général est de la forme
jjia A Oit u /'" cos ( V t -V h).
Gela peut servir de base à une classification des termes; nous distinguerons d'abord les termes périodiques, les termes séculaires purs, et les termes séculaires mixtes.
Les termes périodiques seront ceux qui ne contiendront pas de facteur /'" où le temps t se trouve en dehors des signes sin et cos.
Les termes séculaires purs seront ceux qui contiendront un facteur f^ et ne contiendront pas de facteur Irigonométrique
cos(v / -;- /t ).
APPLICATION IIR LA MKTIIODK DE LAGRANGK. \}X)
Les lermes séculaires inixles sonL ceux qui contiennenl ;'i l;i l'ois un facteur t"'^ et un facteur trigonométrique.
iVous distinguerons ensuite les lermes au point de vue de V ordre, dvi de "ré, du rano- et de la classe.
r^'ordre d'un terme est l'exposant a qui allecte le paramètre jjl. Ce (|ui justifie cette distinction, c'est la petitesse de ce paramètre, de telle façon que les termes sont d'autant plus petits qu'ils sonl d'ordre plus élevé.
Le degré d'un terme est le degré du monôme Dïio] ce (pii justifie cette distinction, c'est la [)etitesse des excentricités et des inclinaisons. Comme les ^" et les r° sont de Tordre des excentricités et des inclinaisons, les termes sont d'autant pies petits qu'ils sont de degré plus élevé.
r^e rang sera
/II
c'esl-à-dire l'exposant a du paraii:ètre y., moins l'exposanl /)i de /. On voit aisément, en effet, (m'un leinie où a — m est petit peut axoir une grande importance bien que a soit grand; si, en efl'et. a el m sont grands tous deux, le lerme d'abord ti'ès petit croitni rapidement avec le temps.
Quanta la classe, elle dépend delà présence des petits diviseurs au dénominateur. Ces petits diviseurs sont introduits, comme on l'a vu, par les intégrations successives.
Soit alors /n' l'exposant du petit diviseur qui figure au dénominateur, ou la somme des exposants des petits diviseurs qui figurent au dénominateur, si l'on a été amené à en eonsidéier plusieurs. Nous avons vu, au n" 101, que cette dernière circonstance se présentera rarement.
Alors la classe d'un terme est, par définition,
lOo. Invariabilité des grands axes. — Reprenons l'équation
' Il '
et supposons qu'on \euille procéder à la seconde appr(»ximatiou. P. - I. 9
l3o CUAPITUE \
dF, Pour cela, il faul subsliluer aux inconnues dans -.^ leurs valeurs
(le première approximation. Or, nous avons F, qui est développable sous la forme
Fi = \^ A DW cos ( /i 1 1 1 4- k-i /.2 -H /' ),
la constante h étant d'ailleurs éeale à zéro ou -• On en conclura
— \ A OW /./ siii ( /«i ).] -^ k-i Xj -H /* ■).
Dans cette expression, il faut substituer, à la place des inconnues L/, ^/, 7]/, )./, les valeurs de première approximation
11 vient ainsi
ou
TU '•Il ., " , 1 U 1 „ /
dki Jê^
où Ao est ce que devient A quand on y remplace L/ par L", et ;)lio ce que devient OÏL quand on y remplace ^/ el r^i par ^j* el y,". Il vient ensuite par intégration
(8) L/= L? -;- -jlV Ao;^H„^"fcus(v<-^/<') — cosA'].
On remarquera que dans la formule (8) figurent des termes périodiques, mais pas de termes séculaires. Un terme séculaire en t ])Ourralt, en efl'et, s'introduire dans le cas où v serait nul. c'est-à-dire dans le cas où la formule (i) deviendrait illusoire cl où il faudrait recourir à la formule (3).
Mais nous avons supposé que le rapport des moyens monvemenis
— est incommensurable. Alors v ne peut s'annuler que si A", et A'.> "2 11-
s'annulent à la fois; mais alors /./est nul et le terme correspondant
disparaît.
Donc, si l'on s'en tient à la deuxième approximation, la pluparl
du temps suffisante dans la pratique, les développements des 1.,
APPLICATION HK r.A MKÏHODE I)K LAGRANGE. l3l
cl, par conséquent, ceux des grands axes proportionnels aux hj ne contiendront pas de termes séculaires. Les grands axes exécuteront donc seulement de petites oscillations autour de leur valeur moyenne. C'est le théorème de Lagrange sur l'invariabilité des grands axes, si important au point de vue de la stabilité du système solaire.
iVous avons vu, au n" 99, que, en deuxième approximation, le développement de )., ne peut contenir de terme en t- que si celui de Li contient des termes en t. Il n'en contiendra donc pas, si le rapport des moyens mouvements est incommensurable. C'est ce que nous avions annoncé au n" 99.
106. Théorème sur le rang. — On pourrait craindre que, dans certains termes, on ait /?? >> a, c'est-à-dire que le rang de ces termes ne soit négatif. Je me propose donc de démontrer les théorèmes suivants :
i" Dans les développements de ç/, rj/, o).,, L/ il n'y a pas de ternies de rang négatij. J'ai dit S A/ et non )v,-, parce que dans X/ nous avons le terme nit qui est de rang négatif.
2"^ H II y a pas de ternie séculaire mixte de rang nul. Le rang de ces termes est toujours au moins égal à un.
3" Dans le développement de L/, il n^y a pas de terme de rang nul.
Ces théorèmes sont vrais à la deuxième approximation; en deuxième approximation, en effet, il n'y a que des termes trigonométriques ou des termes en i; il n'y a donc pas de terme séculaire mixte ; les termes en t étant multipliés par [j. sont de rang zéro; et, en vertu du théorème sur l'invariabilité des grands axes, il n'y a pas de terme en t dans les L/.
Je dis maintenant que si les théorèmes sont vrais en /i""'"^ approximation, ils le sei^ont encore en (/i -h i)""'"^.
Reprenons, en effet, nos équations (5 bis) ou (i4) et (la") du n" 97; et, en particulier, l'équation (i5)
Je vais développer Fq de la façon suivante, suivant les puissances
