IÔ
des
oL,.
Fo
iii oI>i + //o oLaH ( Cil ^L? -t- 'iCia ^I^i oLoH- Ca-) oL^ ) + *,
où $ repirsenLc J ensemble des termes de degré supérieur à deux en 5Li, SLo-
Il est clair (juc l'JJ, /^i, /?j, C/a sont des constantes ne dépendant que des L" ; j'ajouterai mèine que C,.j=C2i = o, à cause de la forme particulière de la fonction Fo qui est la somme d'une fonclion de L',' et d'une fonction de 1.", uiais celte circonstance ne jouera aucun vCAv dans les démonsti'ations (pii \ont suivre. On aura donc
.7E7 = "' -^ L ^"-' '^"' ^ dU, ^ "' ^ '' Z '"\i 7â, '^'^lur
Nos érpiations deviennent alors
^'^F, ,^ ., r'dV, ,^ . /-'./F,
df,
Dans les seconds mendjres de ces équations, il faut remplacer les inconnues par leurs valeurs de z^"""' approximation; je dis qu'on obtiendra ainsi les valeurs de (/? + i )""""' approximation des oL/, oç/. 07],, o),/. Pour les oL/, o;,- et or^, je n'ai rien à ajouter à ce cjui précède puisque je n'ai rien changé aux trois pi'emières équations; mais il est nécessaire de revenir sur les oX,-.
Si nous remplaçons les inconnues par leurs valeurs de /i,"^""= approximation, où l'erreur est de l'ordre de p.", on commettra sur les déri\ées de F, une erreur de Tordre de [j.", et par conséquent
sur ;jL / -tA'U et sur ml / / -,^ r// une erreur de l'ordre de m."+' . ' ,/ dhi ' J J dl/,. '
Il reste à étudier le terme
La dérivée -7^ ne contient que des termes d'ordre deux au moins rtL, '
par rapport aux 3L. Remarquons que les oh sont divisibles par [jl.
APPLICATION 1)1^ LA AIKTIIODK DE LAGRANGK. Ij3
Or, soient x^ y, z Irois fonctions dont les développements, suivant les puissances de a, soient divisibles par [j.. Soient x\ y', z' des développements ap[)rochés de x. y, 5, où le premier terme erroné soit en ;j.", de telle sorte que les différences x — x', y — r', c- — :;' soient de Tordre de ij.". Je dis que les différences xy — -^''y'-, xyz — x'y' z' seront divisibles par a"+', c'est-à-dire que, si dans les produits xy, xyz on remplace x, y, z par leurs développements approchés x', y', z', l'erreur commise est de Tordre de |j."+' .
On a, en effet,
cry — x'y = X ( y — y' ) -^ y\3c — x ). xyz — x' y' z = xy ( ^ — 2' ) -+- xz {y — y' ) ^ y' z ( x — x' )
et, par hypothèse, x — x' e.\, y — y' sont dixisibles par y.", tancb's que X et y' sont divisibles par jx.
Le théorème s'étendrait évidemment a forilori à un |)r<)(liiil d'un nombre quelconque de facteurs.
Si donc dans un monôme entier par rapport aux oL. pourvu que ce monôme soit du second degré au moins, nous substituons aux 5L leurs valeurs de /i''^^""' approximation. Terreur commise sera de l'ordre de ijl"+'.
Or, -ny- ne contient que de's termes du second deyré au moins
par rapport aux oL. Donc Terreur commise sur le terme
dU '"
est de Tordre de tj.""^'. c. q. y. d.
Cela posé, j'observe que le produit de deux termes de rany positif sera une somme de termes de rang positif, que le produit de deux termes de rang positif ou nul sera une somme de termes de rang positif ou nul.
Si donc dans une fonction développable suivant les puissances des ôL, 0;, OTj, oa on substitue à la place des oL, 0;. or,, OA des développements ne contenant que des termes de rang positif nui bien positif ou nul), on obtiendra un développement ne contenant que des termes de rang positif (ou l)ien positif ou nul ).
Si donc on substitue aux oL, oç, orj, OÂ leurs valeurs de /i""'"" approximation, ([ui, par hypothèse, ne contiennent pas de terme
i3/| ciiAPiTiti!; V.
(le rang négatif, on obtiendra pour les dérivées de F, des développements où ne figureront que des ternies de rang positif ou nul.
En intégrant par rapport à t, on peut diminuer le rang d'une unité, parce que l'application de la formule (3) peut introduire un facteur t. En revanche, en multipliant par u, on augmente le rang d'une unité. Il résulte de là que les expressions telles que
ne contiendront non plus (jue des termes de rang positif ou nul.
Je dis de plus qu'elles ne pourront pas contenir de termes séculaires mixtes de rang nid. En effet, les termes de rang nul de l'expression (lo) correspondent à des termes de rang négatif dans l'intégrale
^^^' dt
db\
et comme -^ ne contient que des termes de rang positii ou nul.
l'intégrale ne poui^rait en contenir que par l'effet de l'application de la formule (3); or l'application de cette formule ne peut introduire que des termes séculaires purs.
En résumé, nous pouvons d'abord conclure qu'en (/? -\- i)"^"^'' approximation,
oL,-, oç/, O'/],-
ne contiennent que des termes de rang positif ou nul et pas de de termes séculaires mixtes de rang nul. Je dis maintenant que
8L,- = — U / — r-i df
r dVi
ne pourra contenir de terme de rang nul. D'après le n° 100, on aura
dFt
où D\V est un monôme entier par rapport aux ôL, 3^, Sy), SX et l'on doit j substituer les valeurs de /i'*""® approximation de ces quantités.
APPLICATION I1E I.A MÉTIIODK DE I.AGRANGE. 1 35
( hianl à B, c'est une des dérivées pari ici les de —.y- et l'on doit y substituer aux inconnues leurs valeurs de première approximation
Cette dérivée partielle de-y^. étant aussi une dérivée partielle de F,, sera, comme nous l'avons dit au n° 100, de la forme
2^ -^ ("OS ( / 1 X 1 -;- />-.2 Ào -1- /i) 011 .
Mais ki ne pourra être nul; car les termes où ki serait nul disparaîtraient quand on différentierait par rapport à \i et, par con-
• 1 il Fi • I 1 ' • '
sequent, ne pourraient exister m dans -jy , ni dans ses dérivées.
Si, comme nous Tavons dit, nous substituons aux inconnues leurs valeurs approchées, il arrive, comme au n" 100, que AOfc se réduit à une constante C et />-, 1, -l- A-oloH- h à v^ + h' ', on a donc
B = VCcosc//^ A'\ où
V =: X] y?i H- k-i ll-i^
et, comme A,- n'est pas nui, v ne peut pas être nul.
Cherchons si OR' peut contenir des termes de rang nul. Le monôme OÏL' est le produit d'un certain nombre de facteurs oL, $X, g;, Z'i\\ et l'on obtiendra les termes de rang nul de OÏL' en réduisant chacun des facteurs du produit à ses termes de rang nul.
Si, en effet, nous prenions dans l'un des facteurs un terme de rang positif, comme ce terme devrait être multiplié par d'autres termes provenant des autres facteurs et dont le rang serait positif ou nul, cela donnerait dans le produit un terme de rang positif.
Or, dans chacun des facteurs, les termes de rang nul sont séculaires purs. De plus, le produit de plusieurs termes séculaires purs est évidemment encore un terme séculaire pur. Donc, dans le produit OU', tous les termes de rang nul seront séculaires purs.
Comme tous les termes de B contiennent un facteur trigonométrique cos(v^ + h') où v n'est pas nul, tous les termes de rang nul de Bon' seront périodiques ou séculaires mixtes. Il en sera
]36 CHAI'lTRIi V.
donc encore de même pour les termes de rang nul de ^I^OIl.'
(Ml
Pour intégrer un terme périodique, on séculaire mixte, il faut appliquer la formule (i) ou la formule (2), ce qui ne diminue pas
le rang. Donc dans
il n'y aura que des termes de rang nul ou positif. En multiplianl par a, on augmentera le rang d'une unité.
Donc, dans oL^, il n'y a c{ue des termes dont le rang est au
moins égal à un. c. o. f. r».
Ce résultat peut être regardé comme une généralisation du théorème sur l'invariabilité des grands axes.
Passons maintenant à §)>/ et à la quatrième équation (9); dans le second membre de cette équation, il y a trois termes que nous considérerons successivement. Commençons par le troisième qui est de même forme que les seconds membres des trois premières équations (9). On verrait, comme pour ces trois premières équations, que ce terme ne peut donner ni terme de rang négatif, ni terme séculaire mixte de rang nul.
Passons au second terme
(II
J dUt
D'abord -77- ne contient que des termes du second degré au d\ji ^
jnoins par rapport aux ôL ; les oL ne contiennent cjue des termes lie rang un au moins; un produit d'au moins deux facteurs 8L ne pourra contenir que des termes de rang deux au moins. Par l'intégration, le rang peut diminuer d'une unité, mais il reste au moins égal à I . Donc pas de terme de rang négatif, ni de terme séculaire mixte de rang nul.
Passons au premifu* terme
Nous avons vu que dans -pA tous les termes de rang nul sont
APPLICATION IJE LA MÉTHODE DE LAGRANGIC. loj
périodiques ou séculaires mixtes. Une double intégration ne chani;era pas leur rang puisqu'il faudra appliquer les formules (i) ou (2); ce rang restera donc uid et. ([uand on aura niulti|tli<' |)ar [JL, il deviendra égal à 1 .
Pour les autres termes, leur rang est au moins égal à i. S ils sont périodiques ou séculaires mixtes, la double intégration ne changera pas leur rang et, a[)rès multiplication par \x, ce rang sera au moins égal à 2. S'ils sont séculaires purs, la double intégration diminuera le rang de 2 et la multiplication par u. laugmentera de i , de sorte que finalement ce rang sera au moins égal à o. Ils resteront d'ailleurs séculaires purs.
Ainsi, pas de terme de rang négatif, pas de terme séculaire mixte de rang nul.
.Donc la valeur de (/«+ i)'^""^ approximation de SX,- ne contient ni terme de rang négatif, ni terme de rang séculaire mixte de rang nul. c. Q. F. u.
