TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DEVELOPPEMENTS. I
Faisons maintenant croître t indéfininirnt : le premier terme —
est constant, les autres fendent vers zéro, car on a l au dénominateur et l'on a au numérateur des lignes trigonométricjues qui restent finies. Donc
et si 's>[l) =^ o, ou aura
Ainsi tous les A sont nids, et l'on démontrerait de même <|uc tous les B sont nuls.
Je suppose que
/î, et n-i étant incommensurables entre eux. /., et ki étant des entiers.
Introduisons deux variables indépendantes (v, et Wo et posons
/■( (t'i, (V.2) = ^ A col( A| u'i 4- A-2H'2 i-H \^ B ?in(/i w^ -+- k^iv^),
Quand on fera »v, = /«, t, (V'2 = /tof, ^n verra /", «t-, -+- kf (ï'o se réduire à v^ et /((V), (Vo) à '-p(^). On a donc
/(/lit, n.2t) = z>(().
Si nous supposons comme plus haut que '^{l) est nul pour toutes les valeurs de t, les coefficients A et B seront tous nuls et par conséquent /(«',, Wo) sera identiquement nulle.
On peut également conclure que, si /(<V|, W2) est une fonction quelconque de la forme que nous venons d'envisager, et si /(n, ^, /?,?):= o, /((v,, (Vj) sera identiquement nul; mais ici il est nécessaire de supposer que n^ et /?o sont incommensurables entre eux, sans quoi deux termes distincts de /{ws^w^) pourraient donner dans/(«, /, not) deux termes contenant un même facteur cosvi et qui pourraient se détruire mutuellement.
J'ai supposé jusqu'à présent que le nombre des termes était fini : il serait aisé d'étendre le résultat à une série convergente, pour\u que la convergence soit absolue et uniforme. Mais les séries de la
l4o CHAPITRE VI.
Mécanique céleste possèdent-elles une semblable convergence? Non, en général, elles ne convergent que si les termes sont groupés et ordonnés d'une façon convenable. Il serait donc nécessaire d'entrer dans une discussion approfondie des questions de convergence, questions que je désire laisser de coté dans cet Ouvrage.
Aussi aborderai-je la question par une tout autre face. Je suppose que cp(^^) soit obtenu par une suite d'approximations successives; que le nombre des ternies, fini à cliaque approximation, aille en croissant d'une approximation à la suivante et croisse ainsi indéii-
niment. Soient cp, (f), ^^{t), 'f//(0^ • • • ^^^ valeurs approchées
obtenues successivement pour '-p(^). Je suppose que 'f\{f)^ ?2(0' (23 1 1), ..., '^„{i) soient nulles pour toutes les valeurs de ^, de sorte qu'à chaque approximation, '^{t) satisfasse à la condition d'être identiquement nulle. Alors il est clair que tous les coefticients de C5,(^), de '.5o(^), ..., de 'f«(^), ••• seront nuls et par conséquent aussi ceux de o{t). Le leuime est donc \rai à quelque approximation que je m'arrête.
Voilà dans quelles conditions nous appliquerons notre lemine à nos séries; sien effet le développement de [jlF, contient un nombre infini de termes, il est évident que, dans la pratique, on ne prendra ([u'un nombre fini de ces termes, de sorte que les développements qu'on en déduira n'auront non jjIus qu'un nombre fini de termes. Plus on prendra de termes dans [J-F,, plus on en aura dans les autres développements, et plus seront exactes les valeurs que l'on obtiendra pour les éléments canoniques et les coordonnées. 11 nous suffit que noire Icmine soit applicable à chaque approxiinalion. C'est cette circonstance qui nous permettra d'ap|)liquer nos lemmes aux séries de la Mécanique céleste. En résumé, nous pourrons les ajipliquer parce que nous pourrons toujours supposer jjlF, réduit à un nombre fini de termes.
Soit maintenant
Bt"> sinv/
une suite de termes. Je suppose que l'exposant entier m ne dépasse pas une certaine valeur.
Je dis encore que, si 'f{t) est nul quel que soit t^ tous les termes sont nuls.
TRANSFORMATIONS DIVICUSKS DES DEVELOPPEMENTS. ijl
Soit en ed'el/J la plus grande valeur de l'exposanl m, je dis que lous les termes en tP sont nuls. Car, si
A'//' cosv'f est l'un de ees termes, on voil comme toul à Iheuie que, jxjui'
lim — ^ / o(/) cosv'^// = -
Donc A' est nul si z>( t)= o.
Il n'j a donc pas de terme en fP : et comme maintenant la ])lus grande valeur possible de l'exposant est p — - i, on démontrera de la même manière (ju'il n'y a [)iis de terme en tP~*^ et ainsi de suite.
Supposons
et posons
/■(■:, (t'i, u'o ) = 2,^'"' cot^f/ii (l'i -T- /i2 "'2) -1- ^ Bt'" sin(Â-i «v'i H- /:2 (T'o),
d(^ sorte que
.Sf '.2(/) e.ç; /n// quel que soit t, tous les coefficients seront nuls <?^/(t, a-,, n^) i'e/"« /2?// quels que soient t e^ /e*' w.
Soit maintenant
cf.( ;jL, ^; = \^ A;j.'-</"' eosv^ -\- ^Y^ix^t'" siuv/.
Je suppose que l'exposant )}i ne puisse dépasser a, c'est-à-dire, l^our employer le langage des numéros précédents, qu'il n'y ait pas de terme de rang négatif. Je supposerai d'ailleurs que cp(u., i) contient un nombre infini de termes; mais qu'il n'y en ait qu'un nombre contenant en facteur une même puissance de a; de telle façon (|ue le coefficient de ;jl'^ se compose d'un nond)re fini de .termes.
.Te pose de même
/( [JL, T, n'i, «'.,) = y A ;jL •-'-:'" cos( />-, »■, -H k^w-i) -h > B^T'" sinTÂi (ï'i+ /•2»'2).
l\u CHAPITRE M.
Si z> (p., t) est nul quels que soient ^ et i, le coefficient de pi* devra être nul quel que soit /; dans ce coefficient, l'exposant m est limité puisqu'il ne peut dépasser a; nous pouvons donc appliquer le terme précédent el conclura- que /(a, t, (v, w.,) est nul quels que soient u, t, iv, et<V'o. Je pourrais dire aussi, mais pourvu
que — soit incommensurable, qu'une fonction de la forme précé-
dénie
/(.a, T, (V,, Wi)
est identiquement nulle si
/( ij., /, /i,/, n^t) — o.
108. Transformation des développements. — Nous avons trouvé au n" 102 pour les éléments canoniques des développements de la forme
V [j."^ A /'" cos ( V / -;- Il ) Mo.
où
m Sol, v = /: i /< i - - Ao «2 •
Considérons l'un quelconque des éléments canoniques, par exemple L/, et soit
L,- = ^ [jl'' A /'" cos ( V / -+- A ) Mu,
el soit ensuite
(l 1 ) L; = ^^ ;x* A -'" cos (■ A 1 H'i -f- A-2 U'2 -T- h ) Mo
une fonction de trois variables t, (P|, «Vo. Il est clair que, si l'on l'ail
/.) (P, H- AoB'a se réduira à yl et L* à L/. On aura donc
L;(/, /il/, n^t)^ L,.
On définirait de même ç,-, /jj, oX*.
Je dis oaJ et non )vj, à cause du terme en nit qui figure dans À,; on doit, en effet, prendre non pas
TUANSI'ORMATIO.NS I)IVi:U.Si;S DES DKN KLOI'l'KM KNTS. l4J
iiiai-s bien
On voit, de plus, que
(IL; dL*i dL-
—j h II I -j h /lî -j —
-dï P«^''
se réduit a —r^ jjour
Il est clair que les dérivées de ^*- , y,,-, Â* jouissent de la même propriété.
Soit F' ce que devieiil F, quand on j reuiplace L/, A/, ;,. /./par 1^,-, ÀJ, H*, '/"i*. Si alors dans la dérivée partielle
dF^
'dîf
on remplace LJ, Aj, ;^-, 7,^- par L/, A^-, ;/, t,,, cette dérivée se réduira à
.. <fF'
Si, dans -^Y^ nous remplaçons les variables L^*. ... par leur dé-
dF*
\eloppement (i i), on obtiendra pour -^^ un déAcloppement de
même forme :
(Il bis ) -j— — > aO'A'-:"'cos (Âiu'i-- A-jH-i-l- /'';Orc'y.
Si, dans ce développement (i i bis)^ on remplace t, ir,, t\ ^ pai- /, /i| /, n.^t, c'est comme si l'on remplaçait LJ, . . ., par L/, ... ; et
-sr-- se réduira a -rr-; novis aurons donc dk] dki
Envisageons l'équation
, , dL) d\4 dL} dF*
(12) ^7^ --"1-7— -^-'* 2^1 '"- TïT^ "^ ^■
Le premier membre de cette équation est développable sous la
l44 OIIAPIÏRIÎ VI.
forme
^ ;jl'^At"'COs(/iiH'i+ /12 "'2 -t- /') «^^^o.
dF*
puisqu'il en est ainsi de L*. Je ses dérivées et de -^- Pour
1 = t, (ï'i = /lit, ii'2 = «2^
ee premier membre se rédull à
dt dhj'
il t'sl donc nid, en \erlii de léqualion (5 ) du u" 79.
Donc, en verlu des lemmes du n" JOv, il sera idenliquemenL nul, quels que soient t, n', et tr.j.
On démontrerait de mêuic les ('(pialions
/ di* di} d^} dF*
d- aiï'i c/(P.2 «7)/
, dX^ dX} dl* dF*
d-z a»! awy ciL,
dq} driJ dq} dF*
Si, maintenant, nous posons
- ^ t -T- c, ii'i = /i| / 4- î|, a^o = /ij / -i- î2) <^', s, et £0 étant des constantes quelconques, nous aurons encore
t/l^/ (/\.} (/l,} dlj*
—r- = — 1- /ti - — - -j- n, - —
dt ai (/H] atvo
■<3t l'équation (12) de\iendra
dL} __ '^ ~di ~~ ~dK*'
ou, en supprimant les astériques deveniies inutiles,
dLi dF ~~dJ ~ ~ dli'
Les équations (12 bis) nous donneront de même
d^i dF
dl,-
dF
dF
dt dr^ ,
dt '
~ dL,'
dt
-Ce sont là les équations (;>) du n" 79.
TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. l45
Ainsi donc, si nos développements {^\ \) satisfont aux équations du mouvement, c'est-à-dire aux équations (5) du n" 79, quand on y Jait
ils y satisferont encore quand on y fera
quelles que soient les valeurs des constantes c et t.
Comment avions-nous le droit d'appliquer notre lemme comme nous l'avons fait? Il est vrai que F contient une infinité de termes, mais, dans la pratique, nous n'en prendrons jamais cju'un nombre fini. Plus nous voudrons d'exactitude, plus nous en prendrons, mais nous n'en aurons jamais qu'un nombre fini; nous pouvons donc raisonner comme si F ne contenait qu'un nombre fini de termes; nous obtiendrons alors pour les L*, ..., des développements de la forme (i i) ; seulement, dans ces développements, le coefficient de jjl* ne contiendra qu'un nombi^e fini de termes, ce qui est, comme nous l'avons vu, la condition pour que le troisième lemme du n" 107 soit applicable dans F (vide infra n" 130).
109. D'ailleurs, les équations (12) et (12 bis) peuvent se démontrer sans le secours des lemmes du n" 107. Je dis que l'on pourra trouver pour les inconnues
'-'/■ > ;/ ; hii '^i — "'t
des dé\eloppements de la forme (11) qui satisfassent aux équations (12) et (12 bis) et qui se réduisent à
r 0 yn 0 ■) 0
pour
Nous aurons, en effet, en première approximation, c'est-à-dire en négligeant a et en réduisant F à Fq,
I* TO j* jO * 0 •>. * ,„ ,-iO
J^/ — ^i : ,«• — tii , 1]i — fj,- , Ai — ir/-i- A,- ,
Supposons que nous ayons obtenu pour nos inconnues des valeurs de /i'^""" approximation, où l'erreur soit de l'ordre de <x" : P. - I. 10
a 46 CHAPITRE VI.
comment obtiendrons-nous des valeurs où l'erreur soit de Tordre
de [JL"+' ?
Dans les dérivées de F*, dans l'équation (12), ainsi que dans la première et la dernière équation (12 his), substituons à la place des inconnues leurs valeurs de n'^'"" approximation. Après cette substitution, ces dérivées de F* sont développées sous la forme (11), de sorte que l'équation (12), par exemple, s'écrit
du dL*i dUi "V D ,., / / , / , 7 N
^ ^ d~ da'i dn-2 ^^
et l'on en tire aisément la valeur de L* ; on trouve
A chaque terme du second membre de (i3) correspond dans (i4) un terme que je désigne pour abréger par G et dont \oici la \aleur :
1" A un terme
dans (i3) correspondra dans [^\ \) un terme
m + I 2" Au terme
B cos ( k\ Wi -4- k-i Kv-i -\- h)
correspondra
t, sin (Ati M^i -+- /î.. w.^ -H h) — si n //
C = Co = t> -, -, •
Ai n\ -r- U-iii-i
3" Au t?rme
B - cos ( /l 1 ir , H- /.^ n^-2 -i- /* )
correspondra
sin (/il (T'i -+- Aoci'o-!- /' ) ,, cos (Ai tr, -)- /-Q»'., -f- /? ) — cosA
Al /«i -t- A2 «2 ( /'"l '*! -t- A-2 «2 )2
4" Plus généralement, soit G,,» le terme de ( i4) qui correspond à
Bt"' cos ( A'i u'i -f- k-i H'2 + h ),
TRANSFORMATIONS DIVKRSES DES DÉVELOPPEMENTS. i \-
de sorle que
dG„, dC„, dC,„ „
el que C„i= o pour t = «\-, z= i\^ n= o.
On aura la formule de récurrenee (.5) r P>T^^^sin(/(-,»>i-4-/.,»,+ /o . ;„ ,/c^^^
Si, en effet, nous posons pour abréger
/m if 1 + A-, »'o + A =- tp, Al /i , -^ /. ., „., ^ V et
-r-^'ii -, h «> -^^ — = A.
il Viendra
AG,„= BT'«costp, AG„,i = Bt"'-1cos'ç>
rt, en différentiant celte dernière par rapport à /<,
D'ailleurs
A(B'r'" sin-j) = vBt'" cos-j-h //iB-'«-i sino et, par conséquent,
11 reste à démontrer que l'expression
B-"'sino ^ dG,n-i
s annule pour
En effet, le premier terme s'annule parce qu'il contient - vn facteur; d'autre part, C,„, s'annule par définition et cela quel que soit h ; il en est donc de même de ^^ et du second terme.
La formule (i,-)) est donc démontrée et elle nous permettra de calculer C,„, puisque nous avons plus haut calculé Co. Cette formule peut remplacer la formule (2) du n" 98.
l48 CHAPITRE VI.
Nous pouvons donc calculer LJ en partant de l'équation (12) (on traiterait de même la première et la dernière équation (12 bis). On démontrerait comme au n" 95 que l'erreur commise sur ces nouvelles valeurs de (/? + 1 )'*"*'' approximation des inconnues L* , ç^- , 7,* est de l'ordre de [ji."+' .
Prenons ensuite la seconde équation (12 bis); subslituons-y, dans la dérivée de F*, à la place des L*, qj, rj*, leurs valeurs de (^n -h i)'''"'* approximation que nous venons de trouver et, à la place des X*, leurs valeurs de /i"""'' approximation.
Traitons ensuite l'équation comme nous a\ons fait pour l'équation (i3). Nous verrions, comme au n"9o, que la valeur de \* ainsi obtenue est exacte avix termes près de l'ordre de {ji."+'.
Nous obtiendrons donc par appro.ximations successives des développements de nos inconnues, qui seront de la forme (11), satisferont aux équations (12) et (12 bis) et se réduiront à L", ^", yj", X° pour T = tv, = (ï'2 =0.
Remplaçons-y T par t, n-, et i\o P'»'" 'itt^el n-jt; nous aurons des développements qui satisferont aux équations (5) du n" 79; (juand on y fera t = o (ce qui revient à faire t = «Vi = tVo = o), ces développements se réduiront bien à L)|^ ç", Yj" , 1" ; ils sont donc identiques à ceux que nous avons trouvés au n" 100.
Nous voyons donc que si, dans les développements du n" 100, on substitue A, (T| + /.^.t^^i à b» place de yt, quand le temps est sous le signe cos et t à la ])lace de t quand t est en deliors du signe cos, on obtiendra des développements de la forme (11) qui satisferont aux équations (12) et (12 bis). c. q. f. d.
On aura donc obtenu les résultats du n" 108 sans se ser\ir des lemmes du n" 107. J'ai cru cependant devoir indiquer la première marclie, non seulement parce que ces lemmes me seront encore utiles plus tard, mais surtout parce que l'on voit mieux ainsi comment on peut être conduit par une suite naturelle d'idées au théorème du n" 108.
110. Comparaison des déveioppements. — Nous avons obtenu au n" 102 des développements de la forme
V [JL» A OR 0 ('" cosht-h- II)
