TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. 1 4<J
qui dépendent de 12 constantes d'intégration, à savoir les deux L", les deux X^^, les quatre ç" et les quatre ri".
Nous avons obtenu aux n"^ 108 et 109 d'autres développements de la forme
oij l'on doit faire
c, ti et So étant trois constantes d'intégration.
Ces développements nouveaux contiennent trois constantes arbitraires d'intégration de plus que les précédents. Comme nos équations diil'érentielles forment un système du douzième ordre, trois de ces quinze constantes ne sont pas réellement distinctes des douze autres ; nous verrons plus tard le parti que l'on peut tirer de cette remarque.
Nous pourrions donc sans restreindre la généralité supposer c = o. Il est à remarquer que si l'on adopte le développement (11), les constantes L", ç", /," n'ont plus la même signification que dans le développement primitif.
En effet, pour ^ = o, il n'arri^ e plus que
se réduisent à
Cela n'arriverait que si l'on supposait c = £1 = So = o, parce que l'on retomberait alors sur le développement primitif. Seulement les différences entre L" et la valeur initiale de L/, par exemple, sont de l'ordre de 'x.
En raisonnant comme au n" 69, on verrait que Ton peut passer du développement (i i) à un autre de la forme
où l'on a, d'ailleurs,
icji^Pi (modi), 2 7/ 2! I /?,• 1 ,
On verrait, d'ailleurs, comme au n° 103, que les coordonnées
lÔO CHAPITRE M.
Iiéliocenlriqucs peuveiil également se dévelojDper soil sous la forme (i i) soit sous la forme (i(3).
111. Symétrie. — Supposons rpie nous comparions deux systèmes de trois corps A, B, C et A,, !>,, C, ; dans les deux systèmes les masses seront les mêmes. A l'origine du temps, les deux triangles ABC et A,B,C, sont symétriques par ra|)port au plan des .T^a:3•, les vitesses initiales des points A,, B,, C, sont égales et directement opposées à trois \ecteurs (|ui sont symétriques (par rapport à ce même plan) des trois vecteurs (pii représentent les vitesses initiales des points A, B, C.
Dans ces conditions, il est clair (jue la posilion du triangle ABC ;iu Iem|)s t sera symétrique de celle du triangle A,lî,Ci au temps — t.
l^our passer de la silualion du système ABC au lemps t à celle du système A,B,C| au temps — t, il siiflit de changer
en
(18) ./'i, — .rjj •"■'il '^ii — '^Hi Ç() ''jo ph
Si donc nous changeons
en
les fpianlités (i^) devront se changer dans les quantités (18). Prenons donc le développement (iG) et supposons
c — -1 — io — A^ — — h- — O,
et changeons-y t en — /, co" en — to" et par conséquent t en — t, wi en — Wi.
Changeons en définitive le signe de t et ceux des (T' et des w". Les cjuantités (lo) desront ou ne pas changer, ou bien changer de signe; leurs dé^eloppements contiendront donc, ou bien rien que des cosinus, ou bien rien que des sinus. C'est-à-dire (pie la constante Il devra être toujours égale à o, ou à — ' •
