Mais nous pouvons transformer nos développements de la

\5l CHAPITRE VI.

façon suivante. D'abord dans les développemenls (iG) figurenl deux constantes A et /i qui dépendent non seulement des L|', mais encore des X". Il est clair que nos inconnues sont des fonctions périodiques des X", et qu'il en est de même de Acos/i et AsinA. Car quand on augmente les ).", c'est-à-dire les valeurs initiales des longitudes )v,-, de multiples de 2-, nos inconnues oL^*, 5^*, orjj, S).* ne doivent pas changer. Donc Acos/i et Asin// peuvent se développer suivant les sinus et les cosinus des multiples des A", de sorte que nos développements (16) prendront la forme

(16 bis)

Aq et ho ne dépendant plus cette fois que des L". J'ajouterai que,

d'après le n" Hl, /lu est une constante numérique multiple de -•

11 n'y a aucune raison pour que les A"/= k'^. Mais nous voyons que Ton aura

dans les développements de oL*- et de oAj et

dans ceux de o^*- et ori*. Et, en effet, si l'on change les valeurs initiales X" et 10" en AJ'-l-s, 'k'- — s, on vient de voir que L* ne change pas, que )\J se change en X* -1- $, ^* et rj* en ;* cose + 7,* sin; et — ^Jsine 4-Tj*cos£ (cf. n" 70).

Dans les développements (lO bis), nous avons pris pour constantes arbitraires les valeurs initiales L", X", q^ et y," de nos inconnues. Mais nous pourrions faire un autre choix.

Supposons que, dans les développements (16 bis), on supprime tous les termes qui dépendent de t ou des (v, et qu'on ne conserve que les termes constants. Soit LJ ce qui restera du développement de L* après cette suppression; alors Lj ne sera autre chose que I intégrale

TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. i5j

pour T = o ; ce sera en quelque sorte la \aleur moyenne de L* pour

On définira de même Ij elf/-\ quant à V- ce sera de même ce qui reste du développement de A* après cette suppression, de sorte que

pour T = o.

On voit que L,-, A^', qj, r/- sont des fonctions des anciennes constantes L", \-, i", T^\- et du paramètre a. Elles sont développables suivant les puissances de u. et, pour jj.= o, on a simplement

L? = L?, À! = ).?, c' = iV. r.

Quant aux diirérences L? — L^ ).; — 1], i; — "z^ r,} — y^^; elles sont développables suivant les puissances des H" et des r,", et périodiques par rapport aux À". Gela résulte immédiatement de la forme des développements (i i), (i6) et (i() bis).

Soient donc

(19) Lj=L9-^^ix^\oJJ^cos(^^k'i\^^^p^^oO,^a,^

où I I est mis pour abréger pour le produit

(pO)7.(oO)7.(poy/,(pO)^,.

Ce développement (19) se déduit, comme je Fai dit, du développement (16 bis) en supprimant tous les termes dépendant des (v ou de T. Nous pourrions écrire aussi

(19 bis) L/ = L? + 2 !^''-^«^'^o^°^ (2^'' ■^'' '^ ^'V

en partant des développements (i i)-

Nous aurons d'ailleurs d'autres équations (19 bis) de même forme pour définir A^' , ç^' , r,^'.

De ces équations (19 bis) nous pouvons inversement tirer les L«, X°, Il -n', en fonction des Lj, l}, l}, ni. Alors L«, X«, E». 7)" seraient développables suivant les puissances de [j. et pour a = c> se réduiraient respectivement à L,', V-, ;-, r,'-. De plus les difiérences L« — L;, \- — \'' ^/ — ^'^ ■^'*" — ^/' seraient développables

suivanL les puissances des ;^' et des r^- et périodiques par rapport aux \^- . Nous pourrions donc écrire

I^" = Lj-i-^ix^^XiOW, cos(^^A'il} +^Pi^oj + A,)

où A, et ht dépendent seulement des L^' et où ;ili', est un monôme entier par rapport aux q- et aux r^-; on aurait des développements analogues pour à", ;", Tj)'.

Reprenons donc les développements (i i) et substituons-y à la place des L", À", H", r," leurs valeurs (20). Il est clair que oL*, 0).*, oç*, oTi* seront déveloj>])ables suivant les puissances de [j., de T, des q-, des t,J et périodiques par rapport aux <r et aux XJ ; nous aurons donc

(•il) L* --= Lj +^ix^\,DK,z"' co^ (^f^i^r,-^^A',K -+- A,^

où A, et hi dépendent seulement des J^^! et où OÏL, est un monôme entier par rapport aux ç^' et aux r^^. On aurait d'ailleurs d'autres développements de même forme pour)^*, çj, t)*, avec cette différence que dans le développement de À*, la partie indépendante de jji serait iV,-\- Xj et non pas simplement A^ . Si nous posons

Vi = /i ?/ cos Lol , r^ 1 = \/-j. p j sin to/ ,

le développement (2 1), d'après le raisonnement du n** 69, prendra la forme

1 L; = L; + yi^aA,(pî)7.(pi)7.(pj)73

où nous aurons toujours les mêmes relations entre les entiers

Les développements (21) diffèrent donc des développements (22) en que l'on a pris pour constantes d'intégration non pas les valeurs initiales, mais les valeurs moyennes des inconnues.