Comment aurait-on pu parvenir directement aux dévelop
TnANSFORMATIOXS DIVERSKS DES DEVELOPPEMENTS. I ) )
pcments (ai)'? Il ;iiiiiili siilli de prondre les «'qiialions (la) cl (i>. ^/,s), ainsi que les «'([nations (i3)qui s'en (h'-duisent, et d'eu |)<)ui"suiM'e lintégralioii |»ai- les procédés du u" 109 mais avec une différence. Au lieu de prendre
sin ( /«i u'i "- le (P.> -4- II) — sin // ''0= '» -, — '-, »
Al «1 -i- A"2«2
nous prendrons
, sin ( Al (l'i -I- /lo "'., H- // ) ' '0 = '> 7 : — -, '
Ai«i -.- A 2 «2
et nous conserverons d'ailleurs la relation de récurrence (i j).
Nous satisferons ainsi encore à nos équations; mais nous n'aurons plus Co = o, C,„= u, ni par conséquent
^/ '^1 1 il — --.Il 'il 'lit '•! — ''I )
pour
INous ne satisferons donc plus aux conditions initiales que nous nous étions imposées au n° 109.
En revanche, on voit ([ue les arguments des sin et des cos dans Co, C„,, ... seront les mêmes que dans les seconds membres de nos équations, tandis qu'avec la façon de procéder du n" 109, nous introduisions à chaque intégration des arguments nouveaux, puisque nous introchiisions des termes en s'inh où // pourrait dépendre des to".
D'ailleurs la valeur movenne de Co, et par conséquent celle de C,„ serait nulle.
Ou bien encore revenons-en aux équations canoniques (5) du n" 79; nous en tirerons par exemple
et l'on devra, pour avoir la valeur de /i'*""' approximation de oL/, remplacer les inconnues dans les seconds membres [)ar leurs \aleurs de (n — ly*""- approximation. Les divers termes de la quantité sous le signe / prendront alors la forme
et nous avons nu au n" 98 (|ue l'intégrale indéfinie de cette
l56 CHAPITRE VI.
expression se compose de m + i termes de la forme
cos BtP . (v^-+-/i) (o = I, 2, . ... m). sin
A cette intégrale indéfinie, il convient d'ajouter une constante d'intégration. Jusqu'à présent nous avons choisi cette constante de telle façon que oL, s'annule avec / ; en d'autres termes nous avons toujours intégré entre les limites zéro et t. C'est ainsi que nous sommes arrivés aux développements (i i ).
Si au contraire nous prenons toujours la constante égale à zéro, c'est la valeur moyenne àe oL/ qui sera nulle et nous retomberons sur les développements (21); nous prendrions en première approximation
L/ = L? , li = H'/ + \] , Ij = \] , r^i = Ti) .
Il est clair que pj et wj définis comme nous venons de le faire, ne représentent nullement les valeurs moyennes de p/ et de w/.
115. J'observerai en passant que si l'on avait pris d'autres constantes d'intégration (que j'appellerai aussi pour un instant L^, Â^-, i' et Tjj) liées aux valeurs initiales L", à", ç" et t,^^ par des relations de la forme (19), (19 his) ou (20), tout ce que nous avons dit jusqu'ici subsisterait et nous serions encore retombés sur des développements de la forme (21) ou (22).
On aurait pu, par exemple, faire ce choix de façon que p^' et wj représentent les valeurs moyennes de p/ et de w/, mais cela n'a pas d'intérêt pour ce qui va suivre.
116. Mais les développements (21) et (22) formés au n'' 113 jouissent de propriétés particulières, bien dignes d'attirer l'attention. Nos équations (12) et (12 bis) ne changent pas quand on change iVi en (r^-j- sa (et d'ailleurs nous savons que nos développements satisfont aux équations du mouvement, aussi bien si l'on y fait T = i, iVi^ iiit -\- £/ que si l'on y fait t = Z, »'/= nit).
Quand on change wi en iVi-\-ti dans les développements (21) les développements ne devront pas cesser de satisfaire aux équations (12) et (12 bis); mais que deviendront les valeurs moyennes L^', E,', Yj^', X'? Les trois premières ne changeront pas, la dernière deviendra \\ -\- s,.
TRANSFORMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. l5y
Nos développements ne elianj^erontdonc pas quand on changera y la fois iVi en (v,-h £/ et \' en A,' — s,. Gela veut dire que tVi et A^' n'y figureront que par la combinaison (ïv+X', c'est-à-dire que
Supposons maintenant, comme au début du n" 1112, cpic Ton fasse tourner tout le système d'un angle t autour de l'axe des x^. Alors L<, L^-, p^- ne changeront pas, Xi et X} se changeront en A, -f- s, À'-i-e, toj en coj — s, i/etvi,en ^tCOss-r-Ti/sinc et — ^jsinc-|-Y,,cosî. Les formules devront subsister puisqu'elles sont indépendantes du choix des axes. Nous devons donc conclure que, quand dans nos développements ('22) nous changerons A^' en A^' + z en même temps que w^' en to,' — t, les inconnues
t-^M f^i'i ?(5 ""li
se changeront en
L/, li-hz, ^i cos$ -i- r,,- sin î, — ^,- sin î -i- ■/;,• coss.
Si nous nous reportons à ce qui a été dit aux n"* 70 et 87, nous verrons que cela signifie que
dans les développements des L et des A et
dans ceux des ; et des r^i (nous pouvons d'ailleurs toujours supposer ([ue dans cette égalité le dernier membre est -H 1, car s'il était — i nous n'aurions qu'à changer le signe de l'argument dû cosinus, ce (pii ne change pas la valeur du cosinus).
On aurait pu obtenir les résultats précédents dune autre uiiinière. Au n" 114 nous avons vu comment on peut former les développements (22) directement par approximations successives. On aurait pu alors démontrer nos résultats par récurrence en vérifiant ([ue, s'ils sont vrais dans la (n — 1)'*°"' approximation, ils le sont encore dans la n'^^'^.
117. J'ai dit plus haut que dans la pratique on n'a pas à consi-
l58 CHAPITRE M.
dérer les termes où le petit diviseur
V = /i] ;?| -h /lo «2
<'orrespond à des entiers A", et A^ très j^rands; et c'est grâce à cette circonstance que j'ai pu dire au n" 101 qu'il n'était presque jamais nécessaire d'avoir égard à plusieurs petits diviseurs diflérents.
Je suis maintenant en mesure de justifier couiplètement cette assertion. Cela se verra mieux d'ailleurs sur le dé\eloppement (22). Dans ce développement, en efl'et, on a
Si I A, I et I Ao I sont grands et si v étant un petit diviseur
I /l'i «1 + l^-in-, I
est très petit; comme dans la pratique le rapport — ne sera pas \oisin de i, \^ A" sera ég^alement très grand et il en sera do même
<le|2/>|-
Or le degré du terme envisagé est
Ce degré est donc très grand et c'est ce qui fait que le terme est négligeable.
Revenons maintenant au développement (1 6 ). On devra retomber sur ce développement en partant du déxeloppement (22) et en y remplaçant L^' , \] ^ ;,!, r^] parleurs valeurs (i() ). Or ces valeurs (19J sont développables suivant les puissances entières positives des p" (pii sont des quantités du second degré. Dans les développejuents (19) nous aurons donc des termes de degré zéro et des termes de degré positif.
Nous retomberons ainsi sur le développement (i()) dont chaque terme proviendra d'un des termes de (21); si l'on fait attention à la manière dont il a été obtenu, on \oit qui! sera de degré au moins aussi grand que le terme de (21) doù il provient. Or le
TBANSFOnMATIONS DIVERSES DES DÉVELOPPEMENTS. i5q
Icrme général de (i<))
f^aC; cos (V A»' -4- y /.'X' -f-2 P^'^' ^- /'o
provient d'un ternie de (ai) en ^Atv. 11 est donc au moins de degré ^ A' , bien qu'on n'ait plus ici
118. Si l'on change le triangle ABC en un autre triangle symétrique du premier par rapport au plan des XiX2, on ne cessera pas de satisfaix-e aux équations du mouvement, c'est là une conséquence de la symétrie de la fonction F démontrée au n" 88.
Or cela revient à changer les variables obliques ^2? ''^i-ii v-o ''"i". <^'i 7,2: — ■ V15 — fi'n ou bien encore too et (O4 en 100+" et tO/, + — .
Si donc on change
Ç 2 ' "i 2 5 Si) '1 ô
en
ÏO y,0 £0 .,0
Ç 2 5 'i 2 ' ■» 4 ' 'fi'
OU ce qui revient au même iti^ et to" en 10!,* + - et w^ + tt, les variables obliques Ço, -/la, ^j , r,-, changeront de signe et les autres ne changeront pas.
Si donc les développements des éléments ou des coordonnées sont mis sous la forme (i i), le monôme Ofto sera de degré pair en ç", 7i", i", Ti" dans les développements des L, des )v, des l,, r,,, H;i, r,:j, de a:\, x'.^, x',^, x'../, il sera de degré impair dans ceux de Ço, 7,0, ç.,, -rii, ^;,, .r|.. Si l'on met les développements sous la forme (16), on verrait de même qiie Pi+ p^ serait pair dans le premier cas et impair dans le second. Cela serait vrai d'ailleurs que Ton ait appliqué les procédés du n" 109 ou ceux du n" 113.
119. Homogénéité. — En raisonnant comme aux n"" 73 et 89, on verrait que
