Changements canoniques de variables. — Soient

•^ 1 ) '^ il • • ■ 1 •^ /i »

2 n fonctions des 2 n vainables anciennes x et i'. Nous pourrons faire un changement de variables, en prenant pour variables nouvelles les x' et les jk'-

Je suppose que les relations qui lient les variables nouvelles aux variables anciennes soient telles que l'expression

2 «-' dy' — 2 "^^ ^'^•^' ^ ^^ ^

soit une ditlerentielle exacte; je dis que le changement de variables n'altérera pas la forme canonique des équations (i) qui deviendront

(I his)

dx'i dF ^ dvi dF dt ~ dy'i' dt dx'i

En ellet on a

V '^^y V ^ ^'^' ^^ 2,à^ do.;; ^ do.k d%/,

x^ . dv' V^ ^r dS

4 cnAPiTUE I.

et l'on en déduit l'identité

^^ dt Zà do.,, d^k ^ dt dt Âd' rfa/, d%i^ Ad,' dt

Des équations (i) on peut déduire les équations (4), celles-ci à cause de l'identité (5) donneront

d ^^ .dV à s^ .dv' d¥

(4 bis) j^ 2d'' t^l ~ -cU, L'' kl = dâ,

qui ne diffèrent des équations (4) que par la substitution des variables nouvelles x' et y' aux variables anciennes x et y. Nous avons vu que des équations (4) on peut déduire les équations (i); de même des équations (4 his) on pourra déduire les équations (i bis). Les équations (i bis) sont donc une conséquence des équations (i). * c. q. f. n.