Exemples. — Soit, par exemple

dans ce cas :

^x' dy' — ^x dy = —^y dr — ^x dy = — d {^^xy

sera une différentielle exacte, de sorte que les équations (i), par suite du changement de variables, se transformeront dans les équations ( I bis). C'est d'ailleurs ce qui se vérifie immédiatement.

5. Supposons que les x' soient liés aux x par des relations linéaires, et que les y' soient liés aux y par d'auti-es relations linéaires. Supposons de plus que l'on ait identiquement

(6) ^x'y^^xy.

Il est clair que les différentielles dy' seront liées aux dy par les mêmes relations linéaires que les y' aux j/-. Dans l'identité (6), nous pouvons donc remplacer \es y et les y' par les dy et les dy' . Il en résulte que

x' dy' — y •'^ dy

PRINCIPES DE I.A DYNAMlyUK. 5

est une dilTérentielle exacte et que le changement de variables n'altère pas la forme canonique des équations.

(). Si nous posons

X = \/j.p cosLo, y = \/ 1 p sini» ,

11 \iendra

a- dy — 'ip cos- to doi -+- dp cos w sin w,

donc

, do . ,[ 0 . 1

X dv — ortco = 3 cos 2(0 rtto H i- sin 2 o) — • a - ^in xm

est une différentielle exacte.

Si donc nous posons

Xi = \/ix\ cosj'i , ji = \/ix\ siny, ,

et pour i >> i

^i — ^i } yt — y il

la différence ^^x' dy' — ^S^x dy sera une différentielle exacte et la forme canonique des équations ne sera pas altérée.

7. Équations de Hamilton. — Les équations de la Dynamique peuvent se mettre facilement sous la forme canonique.

Nous considérerons un système matériel formé de - points

matériels; ces points seront soumis à des forces ne dépendant que de leurs coordonnées, et ces forces devront admettre une fonction des forces conformément au principe de la conservation de l'énergie.

Je désignerai les coordonnées du premier point matériel par

x^^ J?2, x-i] celles du second par x.,, a?^, Xo; .. .; celles du i-j

et dernier par x,i 2^ Xn-\-, x,i.

Je désignerai indifféremment la masse du premier par m,, ni, ou ni^\ celle du second par m,, m„ ou /««; ... ; celle du dernier par in,i 2i '^^n-\ ou m,;.

Dans ces conditions, la demi-force vive ou énergie cinétique T aura pour expression

■ dx;

-^-.i-im

Je désignerai jjaz- U l'énergie potentielle qui sera une fonction (les coordonnées, de sorte que l'énergie totale sera

et que les équations du mouvement s'écrironl

Nous poserons

dxi

de sorte que Ji, jKa, Js représenteront les trois composantes de la quantité du mouvement du premier point matériel. On aura alors

et

■i. Jmà m,

^ yj dT

dt nij t/y'i

D'autre part, l'équation (^) pourra s'écrire

dt ~ dxj '

Comme T ne dépend pas des Xyn\ U des j>', on aura

-^ - £f£ t^F dT

dxi dxi^ dyi ~ 'dyi

et par conséquent

dxj d¥ dyt d^

dt ~ dyt ' ~dt ~'~ dxi'

ce sont bien nos équations canoniques.

8. Adoptons maintenant un système de coordonnées curvilio-nes quelconques et, au lieu de définir la position du système par

les /r coordonnées rectangulaires^,, ^o, ..., x„, de ses ^ points matériels, définissons-la par n fonctions quelconques

de ces n coordonnées rectansulaires.

Réciproquement, les a coordonnées rectangulaires x seront des fonctions des ii coordonnées nouvelles q. Nous représenterons

pour abréger les dérivées ^ et ^ par x\ et q,. Alors U, qui ne

dépend que des J7, ne dépendra que des q.

Soit

En difierentiant, on trouve

ou bien encore

Nous voyons que les x' sont des fonctions linéaires des q' , dépendant d'ailleurs des q, puisque les coefficients -^ dépendent des q ^ et pas des q' .

Il en résulte que T= ^2'"^" '^'"^ ^'' poljnome homogène du second degré par rapport aux q[ , dont les coefficients dépendent d'ailleurs des q. Si donc nous posons

nous aurons, en vertu du théorème des fonctions homogènes,

Remarquons d'ailleurs que, si Ton exprime T en fonction des J?', sous la forme T = J^'"'-^'' *^" *'''''' ^^ "'^'''^

dH

Cela posé, donnons aux variables q' des accroissements dq\ les variables q étant regardées comme constantes ; alors les variables x ne subiront aucun accroissement, puisqu'elles ne dépendent que des q. mais les x' subiront des accroissements dx' et la difleren-

tiation de l'équation (9) nous donnera

On aura d'ailleurs

rf».- .. I

ou

(il) ^p dq' =^y dx' .

La comparaison des équations (8) et (10) nous montre qu'il y a entre les dx' elles dq' les mêmes relations linéaires qu'entre les dx et les dq. Dans l'identité (1 i) nous pouvons donc remplacer les dx' et les dq' par les (/x et les dq^ ce qui donne

Vin si

est une ditlerentielle exacte. Si donc nous prenons pour variables nouvelles les q et les/>, la forme canonique des équations ne sera pas altérée et nous aurons

dq£ dF^ dp, d¥

dl dpi dt dcji

Ce sont les équations de Hamilton pour un système quelconque de coordonnées.

9. Systèmes à liaisons. — Il est aisé d'étendre ce résultat à un

système à liaisons. Supposons que nos ^ points matériels soient

soumis à a liaisons, de façon que leurs 11 coordonnées rectangulaires puissent être exprimées en fonction de n — a = |î> variables indépendantes

Soient

Xi= 0/(^1, q^, . . ., f/fj)

les expressions des n coordonnées rectangulaires en fonction de ces ^ variables.

Introduisons a variables auxiliaires

et posons

les <J>i étant des fonctions choisies de façon à se réduire à -^i pour

mais d'ailleurs quelconques.

Si nous adoptons comme variables indépendantes

q\, q-2- ■•■■, (jn,

alors les équations (i5) représenteront précisément nos équations de liaison.

On voit qu'un système à liaisons se comporte comme un système libre à la condition qu'on lui applique certaines forces supplémentaires, dites /o/-ce5 de liaison, et dont il est aisé de comprendre la signification. Supposons, par exemple, que deux points du système soient assujettis à rester à une distance constante a] tout se passera comme si ces deux points s'attiraient quand leur distance est supérieure à a et se repoussaient quand elle est inférieure ; cette attraction (ou cette répulsion) étant extrêmement grande pour une distance égale à « -h £ (ou k a — c) à moins que s ne soit extrêmement petit. Toutes les forces de liaison sont susceptibles d'une interprétation analogue.

Soit alors W l'énergie potentielle due à ces forces de liaison, de telle façon que le travail de ces forces soit représenté par — <r/\\ . Nous pourrons alors traiter notre système comme s'il était libre, mais à la condition d'ajouter cette énergie potentielle W à celle des forces ordinaires que nous avons appelée U; c'est-à-dire de changer F en F -h W. Les équations (12) s'écriront alors

dt "" dpi ' dt ~ dqt

Mais le travail des forces de liaison est nul pour tout déplacement compatible avec les liaisons; la fonction W ne varie donc

pas quand les variables (i3) varient, les variables (i \) restant constamment nulles. On a donc

D'autre part, W dépend seulement des q et pas des p, de sorte

que

dpi

Nous pouvons donc écrire, en donnant seulement à l'indice i les valeurs i , y, . . ., |i,

dqj d¥ dpi dF

dû dpi dt dqi

de sorte que nous retrouvons les équations de Hamilton.

10. Méthode de Jacobi. — Reprenons les équations canoniques (i). A ces équations se rattache intimement une équation aux dérivées partielles, imaginée par Jacobi, et que nous allons construire.

Soit S la fonction inconnue; dans la fonction F(.r,, y/) remplaçons yi par la dérivée partielle , — et égalons cette fonction à une; constante. Nous obtiendrons ainsi l'équation

(.6) F(.r„^|.) = const.

C'est l'équation de Jacobi, et nous allons voir que l'intégration des équations (i) se ramène à celle de l'équation de Jacobi.

Supposons, en elfet, qu'on ait trouvé une solution particulière de l'équation (i6) dépendant de n constantes arbitraires

pi) P-ii • • • ) p/i-

La constante du second membre de (iG) sera une fonction de ces n constantes, de sorte qu'on aura

La fonction S dépend à la fois des variables x et des constantes d'intégration j3 ; si nous faisons varier à la fois ces variables et ces

constantes, nous aurons

Posons

dS dx

dx

dS dxi

Xi '

dS

Entre les 4^ quantités X, jK, ^, y, nous avons les in relations (i 8). Donc 2 n de ces quantités peuvent être regardées comme fonctions des 2 II autres; par exemple, les ,8 et les v comme fonctions des X et des y. Cela nous permet de faire un changement de variables et de prendre comme variables nouvelles les ^ et les y au lieu des x et des y.

On a

«^S = ^ 7 ^:z- -4- ^ Y f-^l^ ; donc

est une différentielle exacte.

Le changement de variables est donc canonique, et les équations (i) deviennent

dt " d%'

d^f dF dt ^ d-^i

ou, à cause de l'identité (17),

/ dyi do ^^9) dt=d^r

dt

Ces équations (19) s'intègrent immédiatement, on trouve d'abord

[3j = const.

Les ^ étant des constantes, la fonction '^(|3,, |3o, . . ., jS,,) sera également une constante et il en sera de même de ses dérivées -.4- • L'intégration de la première équation (19) nous donnera donc

do ,

les r^i étant n nouvelles constantes d'intégration.

li CHMMTRK I.

On a donc ainsi intégre complètement les équations (19) et par conséquent les équations (i).