AB BC

m j /« 3 / 2 \ 'tl ;

\Gl CHAPITRE VU.

Dans le second cas, on aura

F = <ï'o-+-/»i*i, où

rr /?^(/Hi-H/"7J

T) et To conservant la nièinc signification.

Dans un cas comme dans l'autre, on trouve que le iuouvement (le la grosse planète est conforme aux lois de Kepler; et que celui de la petite planète se lait conformément aux équations canoniques (i3) ou (i3 bis) du Cliai)itre II qui s'écrivent

dt dji dt dXi

dans le premier cas, et

, , dx'i d^\ dy'i dA\ .

^ ' dt dfi dt dXi

dans le second cas.

Dans le premier cas on a, à des intiniment petits près d'oidre supérieur,

rt Ton pose

y'i = »• '/ fi = m V /"• ( / = 4 , 5 , 6 ) .

Dans le second cas, on a

m\ = m'., = 111'.^ = /?2i et l'on pose

y,- = m'.y'i = mi y] ( f = i , 2, 3 ).

On arrive ainsi aux équations (i4) du Chapitre II qui s'écrivent

dx'i rf*, ciy^ d^

^^' HT ~ dfi' ~dU ~ d^i'

et où l'on doit faire i=. 4, 5, 6 dans le premier cas, et / ^ 1 , 2, 3 dans le second cas.

On remarquera que <ti dépend non seulement des inconnues x' ou y' (ou x" et j^"), mais encore du temps, puisqu'il dé[)end des

LE PROBLÈME RESTREINT. l63

coordonnées de la grosse planète qui sont des fonctions connues du temps.

l!2!2. Cela ])osé, faisons comme au n" 78 et exprimons les x' et les j-' en fonctions des éléments canoniques

p/, Loc (t = I, 2, 3, 4).

Comme

2 ^' ^y — 2 ^ ^'^^ - y co rfp

est une différentielle exacte, ce changement de variables sera canoni(jue.

Nous retrouverons ainsi les équations (4) du n" 78. Adoj)tons, pour fixer les idées, l'hypothèse du n° 33, de sorte que m^ soit très petit et que

Le mouvement de la grosse planète étant képlerien, les éléments canoniques de cette grosse planète Lo, 03, p-, , oj;;, to-, , Ao demeureront constants à l'exception du dernier Xo <[ui variera proportionnellement au temps.

Quant aux éléments de la petite planète L|, 0,, Oo, C0|, (Oo, À|, ils satisferont également aux équations (4) du \\" 78; seulement, comme <ï>o est indépendant de ces éléments, ces équations se réduiront à

J dji d<Pi dM,- d<Pi

I —y— = — /n, —, — , — r— ^z ni, — — ( j = r , a ) .

( dt ' diMi dt ' d-^i ^ ' '

Ces équations (4) auraient d'ailleurs pu être obtenues en transformant les équations (2). En efîet, l'expression

^x\dy\-\,dU-^,,,d,.

qui est l'expression (i) du n" 78 est une dillerentielle exacte. Nous avons donc fait un changement de variables canoniques et, d'après le n" 12, ce changement n'altère pas la forme canonique de nos é([uations, bien que «I>( dépende explicitement du temps.

l64 CHAriTRK VU.

Les équations (4) sont sous une forme qui pourrait quelquefois sembler gênante puisque les deux membres sont de l'ordre /?J, cl par conséquent infiniment jîctits. Nous poserons donc

De cette façon les L' et les p' seront finis et nos équations deviendront

dt dli dt dL[

^^■' \ dp',- d^ dMi d'l\

( dt^ diOi dt dçt'i

D'ailleurs les équations (5) aui-aient pu être déduites des éqiialions (3). Car

2, X dy' — Xi tYLi — 2, ^'^ '-^P

2 ^' ^^y ~ '- ' "^^'^î ~ Zà '"' ''''' ^ nTi

est une différentielle exacte, de sorte que l'on peut prendre pour variables L, , À), p], w, sans que la forme canonique des équations soit altérée.

On voit d'ailleurs que si l'on considère une planète fictive ayant même trajectoire que la planète A" du n° 1-i mais ayant pour masse, non plus m\ (c'est-à-dire m, |)uisque /h i := ?)i\ à des infiniment petits près d'ordre supérieur), mais i, les coordonnées de cette planète sont x'^^ ^.,, x'.^^ les composantes de sa quantité de mouvement y]-, y".2i y':i et ses éléments canoniques L, , /|, o'^, (o,.