LE PROBLÈME RESTREINT. 1G

les cas des ii''* 32 et 33, les intégrales des forces vives et des aires deviennent illusoires, et cela parce que la fonction <^I>, dépend ex|)licitement du temps.

Ici notre fonction F' ne dépendant pas explicitement du tcmj)s, nos équations (y) admettent l'intégrale

F'= const., qui est connue sous le nom à intégrale de Jacobi.

125. Remarque. — 11 importe de faire une observation au sujet de F|,. Nous avons

il n'y a aucune relation liziéaire à coefficients constants ni a

M' fortiori k coefficients entiers, entre yi^ et /îo? puisque la première

de ces quantité dépend de L', et que la seconde est une constante. 11 n'y en a donc pas non plus entre les deux dérivées partielles

de f;.

On verra bientôt l'importance de cette remarque.

12G. Généralisation. — Soit plus généralement F une fonction de 2/1 variables

Jj], Lj, • . • , i-'/ii Al, Ao, ..., A„,

et envisageons les équations canoniques , , clL, dF dl, dF . .

''"^ -dr=-dTr dt=dL, u = i,-^. •..,«).

Je suppose

où !j. est une constante très petite. Je suppose que F„ dépend seulement des hi et de telle façon qiC il n'y ait aucune relation

linéaire à coefficients entiers entre les déri^-ées partielles -j^-

lG8 CHAPITRE VII.

Quant à F,, c'est une fonction périodique des ).<■, développaLlo suivant les cosinus et les sinus des multiples des À/, les coeflicients du développement dépendant d'ailleurs des L.

Les équations (9) rentrent comme un cas particulier dans les équations (10) en faisant jouer à F|, et F^ le rôle de Fo et F,, à L', et Q'^ celui de L| et Lo 5 '^ ^^1 f'I ^'^i celui de \^ et /j.

En effet F|, ne dépend que de L', et, p', et en vertu du n" 122, il n'j a entre ses dérivées partielles aucune relation linéaire à coefficients entiers.

D'autre part F', est une fonction périodique de A', et m\.

Observons maintenant que toutes les conclusions des Chapitres V et VI s'appliquent aux équations (10). Dans ces Chapitres nous ne nous sommes occupés que du problème des trois corps, mais les résultats peuvent être immédiatement étendus, d'abord au cas d'un nombre quelconque de corps, et ensuite à des proldèmes dynamiques beaucoup plus généraux.

Quelles sont en effet les seules hypothèses qui aient joué un rôle dans nos démonstrations?

1° C'est d'abord que Fq ne dé[)end que des T..

Les équations (10) satisfont à cette hypothèse.

JNous ne nous sommes pas servis de La foi-me particulière de la fonction Fo et par exemple j'ai toujours désigné les dérivées partielles du second ordre de Fq par la notation C/a, sans faire intervenir les simplifications qui résultent de ce fait que Ci2=o {cf. n" 106).

2" C'est ensuite que le rapport — est incommensurable. Dans le

cas où il y a plus de deux variables L, cette condition doit être remplacée par la suivante, (|u'il n'y a entre les Hi (c'est-à-dire entre les valeurs des dérivées partielles de Fq ]^<^hi- L/= L" aucune relation linéaire à coefficients entiers.

Or nous avons supposé plus haut qu'il n'y avait, dans le cas des écpiations (lo), aucune relation linéaire à coefficients entiers entre les dérivées partielles de Fq cpii soit identiquement satisfaite. Nous pouvons donc toujours supposer qu'on ait choisi les L" de telle sorte qu'il n'y ait entre les ni aucune relation de cette forme

3° C'est ensuite que F, est périodique par rapport aux )>,-.

Cette condition est encore remplie pour les équations (10).

Li: l'UOBI.ÈME RESTREINT. 169

4" C'est enfin (|iic 1'', csl (l('\el(t|)|tal)l(^ suivant les puissances des l et des r,.

Dans le cas des équations (lo), la fonction F, ne dépend d'aucune variable analogue aux ; et aux 7,. La condition peut donc être considérée comme remplie; seulement le développement de F, suivant les puissances des ^ et des y, se réduit à un seul terme, le terme de degré zéro.

Toutes nos conditions étant remplies, tous les résultats des Chapitres V et VI s'appliquent aux équations (10).

127. Nous pouvons donc satisfaire aux équations (10) en posant (11) L/ = L ■ + oL„ À/ = Hi t + À? + oÀ,-,

où L" et a" sont des constantes qui représentent les valeurs initiales de L; et \i\ où tii est également une constante égale à la valeur

Je ^'^ pour L/=L"; où enfin oL,- et oÀ, sont développables sous la forme

V ;j.«A/'" cos(v^-+- /().

A et h sont des constantes dépendant seulement des L" et des a)' ; et l'on ai

V = ^ ki iii,

les ki étant des entiers.

J'ajoute que les oL et les oA contiennent u. en facteur et d'autre part s'annulent pour / =1 o.

C'est la formule ((3) du n'^ 102. Seulement le monôme OIlo a disparu, parce que nous n'avons pas de variables analogues aux ; et aux '/"i.

Mais il j a plus : nous pouvons former des développements dépendant de n + i variables

en remplaçant dans le développement de oL^ et de oA, la lettre / par -

quand elle est en dehors du signe cos et yt par ^/./«v, sous le

signe COS. D'autre i)arl dans le premier terme du second membre de la seconde équation (11), nous remplacerons lut par n-,.

Si donc nous avons