LE PROBLEME RESTREINT. I
129. A^oiis allons maintenant transformer notre métluKlc; tious allons nous efforcer de la modifier de façon à nous débarrasser des ternies séculaires.
Pour cela nous allons nous servir du théorème du n° IG. La formule (24) Je ce numéro s'écrit
^ X dy = du — ^ A/, dxi,— dt ,
dont je rappelle la signification.
La fonction Q est définie par l'équation
rfû ^ -^ dy , v' «^F
^ dt ^ dx
Les ayt sont les constantes d'intégration et les Aa sonl des fonctions de ces constantes.
La formule en question s'appliquait aux équations (i) du Cha-
j)ilre I, mais on peut passer de ces équations à nos équations (10)
en changeant
X, y, F en
La formule devient alors
(i3) V L f/>v = f/Q 4- V -^z. f^"-'^^ F dt,
avec
Nous allons substituer à la place des L et des ). leurs développements (12); il est clair qu'après cette substitution
dV
sera encore développable sous la même forme ; c'est-à-dire suivant les puissances de t et suivant les sinus et les cosinus des multiples des (f.
Nous déterminerons ensuite Q par l'équation
dSl du XT' du V^ , ^1'
, ., . dil dii V' dil V* I ^''
Cette équation est de la même forme que réquation (i3) du Chapitre précédent; nous la traiterons de la même manière, et elle nous donnera pour Q une valeur développable suivant les puissances de T et suivant les sinus et les cosinus des multiples des (v. Cette équation (i 5) ne définit j)as entièrement Q, mais nous pouvons dans la formule ( i3) prendre pour il Tune quelconque des solutions de l'équation (i5). Nous choisirons celle qui est développable suivant les puissances de t et les lignes trigonométriques des (r.
Nous savons que nous satisfaisons aux équations (lo) en faisant
Nous aurions ainsi 3/* + i constantes d'intégration, à savoir les L", les ).)• , les Si et c. Ces constantes ne sont pas distinctes et il nous suffit d'en conserver 2/?; nous pouvons donc annuler /? -|- i d'entre elles. Nous ferons
Dans ces conditions
serout des fonctions de -, des to/ et des L". Ainsi que nous Tavons vu, la fonction Q, de même que les L, et les Ai— iVi, est développable suivant les puissances de t et les lignes trigonométriques des w.
L'expression
Iw/X — </■>
sera donc de la forme
(.ù H, W/ et C/ seront des funclions des L", des iv et de t développables suivant les puissances de t et les sinus et les cosinus des multijDles des w.
Si nous faisons
d'où
(h = dt,
dwi = ni dt -r- dii -H t drii, L et A devront satisfaire aux équations (lo) et par conséquent à la
LE PROBLÈME RESTREINT. ifi
relation (i3). Or on lioiivc
où l'on a
puisque, les /?a ne dépendant que des L|-, on a
jNos constantes dintégralion, qui jouent le rôle des a/, de ia lormulc (i3), sont ici les L" et les £/.
Donc, d'après le théorème du n" 16, les W/ elles C", c'est-à-dire les coefficients des dti et des dL'l qui jouent le rôle des <r/a/i, seront des constantes indépendantes du temps et dépendront seulemeni des constantes d'intégration. De plus
sera aussi indépendant du temps en vertu de l'équation des forces vives.
Or les W/ sont développables suivant les puissances de jjl et de t et suivant les cosinus et sinus dc^ imdtiples des iv; ils sont donc de 1:1 forme de la fonction
/(;j., -, »r/,), à laquelle s'appliquait le dernier lemme du n" 107. Or pour
notre fonction
doit se réduire à une conslaiile f^^ indépeudanlc du leuqis. et ne dépendre que des constantes d'intégration s/ et L" ; ou mieux encore elle ne dépendra que des L^, puisque nous avons fail iVk=z iiht, ce ([ui veut dire que nous avons supposé tA= o. On aura donc
fo ne dépendant que des L*'.
Donc, en vertu du lemme du n" 107, nous devons avoir pour toutes les valeurs de t et des \r
C'est-à-dire que W/ ne dépend que des L".
Envisageons maintenant les coefficients G^ et les expressions
(|uand on y fera
T = /, (v,— Hit,
cette expression se réduira à
r iflt^h-
c'est-à-dire à G" et ne dépendra, comme nous l'avons vu, que des L" ; en appliquant le même raisonnement, on verrait que l'on a pour toutes les valeurs de t et des <v
et que G** ne dépend qvie des Ly|.
11 en est de même de F qui est également indépendant du temps. Reprenons donc l'identité
( 1 6 ) y L ^/>> — r/iî = II dz H- y W/ chvi n- y C/ dhl ,
et faisons-y
pour T = (V'/= o on aura et par conséquent
A, Aj ,
puisque nous avons supposé les À|- nuls; 0 se réduira à Oy et G/ se changera en G)' (quantité qui, nous l'avons vu, ne dépend que des L"); on aura d'ailleurs
ch = ihi> = d\
