Reprenons les équations
dx __ rTF ily d¥
•'^ li ^ Ify' ~dt ~ li''
avec ces équations nous pouvons former les équations de Jacobi
(16) F ( :p,, -r— ) = tîtjnsi.
Faisons un changement canonique de variables; soient q ei p hes variables nouvelles, de telle façon c[ue
^ q dp — ^ -i' d,y = <:/V
soit une différentielle exacte et que les équations ( i) deviennent
' , . d(ii dP dpi d¥
(v bis) -il = -—', -j-^ = r- •
al dpi dt dqi
Je désignerai par ¥{^q\i>) ce que devient Yi^x^y) quand on y remplace les x et les y par leurs valeurs en fonctions des q et des p\ je mets un point-virgule entre q el p pour éviter toute confusion et afin que F((/^p) ne semble pas être le résultat de la substitution de ^ à :r et de p ^ y dans la fonction F.
Nous pouvons appliquer aux équations (i bis) la méthode de Jacobi, en remplaçant dans F la variable pi par la dérivée par-
tielle -T- j ce qui donne l'équation
C(MlSt.
Les fonctions S' qui satisfont à l'équation (i6 bis) sont-elles les mêmes que les fonctions S qui satisfont à l'équation (16)? JSon,
en général.
En effet, je puis remplacer l'équation (16) par ¥{xi, yi')= const. c/S —j y dx
PRINCIPES UL \.\ DKNAMlQli;. l3
et l'équation (i6 />i.s) p.ir
F{g,; /j,) = const. d6' — / ^p dp.
L'équation F(^; /> ) = consl. est l)ieii une conséquence de l'équation F(x, y) = const. ; mais on trouve
dS' — dS = ^ pj dq — ^ J' dx ^ d ( y prj — y xy — V
d'où
S'— <>=^^pq — 2].^' - ^■•
Le second membre n'est pas nul en général.
Il j a cependant un cas où les fonctions S' sont les mêmes que les fonctions S; c'est celui des équations de Hamilton et du changement de variables du n" 8.
Nous avons trouvé en efl'et au n" 8
^ y dx = / p dq,
d'où l'on tire
dS'=dS, S'=S.
En d'autres termes, dans le cas des équations de Hamilton, si dans l'équation (i 6) on remplace les x par leurs expressions en
dS fonctions des ^ et les dérivées partielles - par leurs expressions
en fonction des ^ et des dérivées partielles -y-, l'équation transformée s'écrira
= consl.,
ce qui n'est pas autre chose que l'équation [i6 bis) où S' a été remplacée par S.
12. Cas où le temps figure explicitement. — Supposons que la fonction F dépende non seulement des x et des y mais du temps t. et envisageons encore les équations (i); elles n'admettront /dus l'intégrale des forces vives
F = const.
dl ~ dy '
dy dt
dV dv
du dF' dt ~ dv '
dv
dt ~~
d¥' du
l4 CHAPITRE I.
Il est aisé toutefois de ramener l'élude des équations (i) dans le cas où le temps ligure explicitement dans la fonction F à l'étude de ces mêmes équations dans le cas où il n'y figure pas; cas qui est le seul que nous avons envisagé jusqu'ici.
Introduisons deux variables auxiliaires u et v et posons
F'= ¥{Xi,yi\u)-^v,
où F(.r/, )/; u) est la fonction F où t a été remplacé par u. Considérons les équations
Ces équations ont la forme canonique.
La troisième des équations (20) nous donne
du dt""^'
d'où u=z t\ les deux premières ne sont autre chose que les équations (1); car, quand ou fait // = /, il vieul
d¥^d¥ dV d?
Quant à la quatrième, elle définit la variable v^ que l'on pourrait également définir à faide de l'intégrale des forces vives des équations (20)
F(a7,-, j-,; u)-\- V = const.
Supposons maintenant que Ton fasse un changement de variables et que les variables nouvelles x' et y' soient des fonctions des variables anciennes ^ et y et du temps t.
1" Si la différence
j x dy' — ^ -^ dy
est une différentielle exacte.
PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE. l5
L'expression
( y a-' dy' -+- u dv \ — | \ a^- c(;k -r- « d<^- \
sera une différentielle exacte : ce qui veut dire que les équations (20) conserveront leur forme canonique, quand, conservant les deux dernières variables, u et c, on prendra pour variables nouvelles a^'j, r|, u et c, au lieu de xi^ yi^ u et c. Les équations (i) qui ne sont autre chose que les deux premières équations (20) conserveront donc aussi leur forme.
2'^ Si V expression
devient une diljérenlielle exacte quand on y regarde t comme une constante.
Nous aurons, quand t sera regardée comme variable, \^x' dy — 'S^x dy = f/S -i- W dl,
dS étant une différentielle exacte et W une fonction des x, desjK et de ^, ou, si l'on aime mieux, des x\ des >' et de t. Ou bien, en remplaçant t par u,
\x' f/y — Va: dy = dS -t- W du.
Posons alors
nous voyons que
\x' dy'-\- u dv' \ = {^S^xdy ^udv\ = d(S -h u
est une différentielle exacte.
Si donc nous prenons pour variables nouvelles x,', Vj-, u et v' au lieu de Xi, yi, u et c, les équations (20) conserveront la forme canonique.
Mais nous aurons, avec les variables nouvelles,
CHAIMTKK 1.
et
dF'
dx
~ dx' ' dy
dy
Les deux premières équations (20) deviennent donc
dx^ ^(F-W) dy^ ^ d{F — \\)
dt ~ dy ' dt dx
On voit que les équations (1) ont encore la forme canonique, mais que la fonction F est remplacée par F — ^^ .
:5" Si les variables x' et y sont des fonctions des x et des y seulement et pas du temps t et si
^x' dy—^xdy
est une dij/érentielle exacte.
INous i-etoinbons sur le premier cas et les équations (1) conser\'ent la forme canonique avec la même fonction F.
Quel résultat nous donne maintenant la méthode de Jacobi appliquée aux équations (20)? Appliquons la règle. Posons
dS d'à
d^i ~-^" du~^
et éualons F' à une constante, nous trouvons
rfS ; dS
^1 rfb , rfb
ou, en remplaçant u par /,
„/ rfS \ d^
Telle est la forme de l'équation de Jacobi dans le cas qui nous occupe.
13. Crochets de Jacobi. — Revenons au cas où le temps ne figure pas explicitement dans la fonction F.
Soient F, et Fo deux fonctions quelconques des xi et des yi.
PRINCIPES DK LA DVXAMIQUE. I7
Nous désignerons par la notation [F,, F.,] l'expression suivante :
FF F 1 -V f'ill ^-^ll ^\ ^ " 'J ^U^/ dji dyi dxj'
C'est le cfochet de Jacobi.
Nous trouvons immédiatement, en vertu des équations ( i),
dt ~ ^\dxi dt ^ dfi dt I ~~ ^\dxi dyi dyi dxi)^ c'est-à-dire
Cela veut dire que la condition nécessaire et suffisante pour que F, ^ const. soit une intégrale des équations (i), c'est que le crochet [F, , F] soit nul.
Si A, B et C sont trois fonctions quelconques, on vérifie aisément l'identité
Supposons donc que F, = const., F^=const. soient deux intégrales des équations (i); je dis que [F,, Fo] ^ const. sera une troisième intégrale. C'est le théorème de Poisson.
En efi'et, nous avons l'identité
. [[F, FiJ, F,] -^ [[F„ F2], F] -I- [[F,. F], F,] = o.
Le premier et le dernier terme s'annulent, parce que F, et F^ étant des intégrales [F, F, ] = — [F, , F] et [Fo, F] doivent s'annuler. Le second terme sera donc nul et l'on aura
ce qui exprime que [F,, F2] est une intégrale.
Pour plus de détails, je renverrai à mon Ouvrage sur les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. On verra, en particulier, aux n°^ 06, 69, 70 et 71 (t. I, p. 166, et 192 à 198) quels sont les rapports entre les crochets de Jacobi et ceux de Lagrange que nous allons bientôt définir, et l'on trouvera à la page 169 (t. I) une nouvelle démonstration du théorème de Poisson. P. — I. 2
l8 CHAPITRE 1.
Dans le Tome 111 on verra les rapports des crochets de Jacobi avec les invariants intégraux et, en particulier, au n" 255, page 43, on trouvera une généralisation du théorème de Poisson.
Je n'insisterai pas ici sur toutes ces considérations.
14. Crochets de Lagrange. ^ Supposons que les équations (i) ayant été intégrées, les x^ et les yi se trouvent exprimés en fonction du temps t et des 2/1 constantes d'intégration a^.
Je désignerai par la notation [a^, ol^] l'expression suivante :
Ge sont les crochets de Lagrange qu'il faut se garder de confondre avec ceux de Jacobi.
Nous avons vu au n" "1 que les équations (i) entraînent les suivantes :
d y^ (Ir d '^ dy dY
^^ ^ dt 2à'' lt^,,~ lî^u Id" ~di ~ d^i,'
ce que je puis écrire
(tt ,amâ dj./, doL/, \ Jad dt
J'aurai de même
dt ^à doLii dot. Il \ M^
dv \
Je différentie (21; par rapport à a/, et ( 22) par rapport à a/t et je retranche. Les seconds membres se détruisent et il reste
d I d ■^ dy d -^ dy
dt\d7.li,amà' da/, d-j-k .^^ dxt.li
d 's^ I d.T dy dx dy \ d\ i/,. a]
ou
dt ^d \ d%ii d-j-i; dik d%h ) dt
ce qui signifie que (a^, a^) est une constante indépendante du temps et pouvant dépendre seulement des constantes d'intégration a.
PRINCIPES DE LA DY.NAMIOIK. ig
