I.K PROBLIiME RESTREINT. l8l

Ensuite (v' — v)'" peut se développer suivant les puissances de u, de telle sorte ([ue

les Hp étant des constantes dépendant des v^*^ et par conséquent des L". 11 en l'ésulte

cos(v'/ -t- A )= "V [x^ll^t'" cos(v/ -\- h~ ^ j et par conséquent

l L,= Vc -f- y [jl«+!îAH;î^"' cos Ut + li-\- ^V (-11)

\ X j. = ,î,^ -1- V [jia „'* / ^ V jj^a+p A' Hp <'« cos (

Il "^~

Zes deux développements (21) e^ (22) doivent être identiques.

Cherchons d'abord les termes séculaires purs. Ce sont ceux pour lesquels v = 0, /» >> o ; or v ne peut être nul que si

Al =: /i2 = . . . = A'rt = O,

puisque nous supposons qu'il n'y a pas entre les ni de relation linéaire à coefficients entiers.

Mais alors on a aussi

et le développement de cos(v'^ -f- //) se réduira à un seul terme qui sera constant et qui ne contiendra pas t en facteur.

Ainsi dans les développements (21) ou (22) des L,-, il n^y a pas de terme séculaire pur.

Dans les développements des X/, les termes en cos(v'7 + li') ne peuvent non plus en donner. Tous les termes séculaires purs jmiviennent du développement de n'^t^ ce sont les termes

[x^ nf^ t.

Donc dans les développements (21) ou (22) des A/, // n^y a pas d'autre terme séculaire pur que des termes en t.

l82 CHAPITRE VII.

Comparons maintenant dans les développements (21) et (22) l'ensemble des termes

(23) V |jt«A«'«cos(viî-i- /î)

( 24 ) ^ [x^+P AHp /'« cos ( V t -^ h-\-

qui correspondent à une même valeur du coefficient v. Ces deux ensembles de termes doivent être identiques.

J'écrirai alors l'ensemble des termes (23) sous la forme

(23 bis) V B,nt'" cosv« + V <:,„^'« siiiv/,

B,„ = 2 I^* A. cos A, C,„ = — 2 [A^AsinA,

ces dernières sommations étant étendues à tous ceux des termes (23) qui correspondent à des valeurs données du coefficient v et de l'entier jh.

De même j'écrirai l'ensemble des termes (24) sous la forme

(24 bis) V D,„«'«cosv/ + V E,nt"' sinv/,

D„, = V [JL«+? AHp cos (h -f- -p )»

m TT

ces dernières sommations étant étendues à tous ceux des termes (24) qui correspondent à des valeurs données du coefficient v et de l'entier m.

Les deux développements devant être identiques, on aura

"in^^ tJ ,11 , \j ifi = lii //i •

Or les développements (24) ou (24 bls^ proviennent du développement des termes en cosv'i et sinv'f suivant les puissances de v' — V et par conséquent de ]x.

LE PROBLÈME RESTREINT. l8î

Ces termes sont

Do cosv'/ -h Eq si»'''^ = Bo cosv' t -+- Gq sinv'f.

Ainsi Venseinble des termes périodiques ou séculaires mixtes du développement (21), qui contienncnten facteur cosv< ou sinv^, c'est-à-dire renseml)lc des termes (23), peut être sommé facilement; il a pour somme

Bq cosv' / -h Cq sinv7.

Nous voyons de plus que :

Si dans le développement auquel nous conduit U application directe de la méthode de Lagrange, c'est-à-dire dans le déve^ loppement (21), nous connaissons les termes périodiques et les termes séculaires purs, nous en pourrons déduire immédiatement les termes séculaires mixtes.

En effet, l'ensemble des termes périodiques s'écrit

N Bq cosv t H- 2, Co sin V /.

Nous n'avons pas d'autre terme séculaire pur que le terme n'-t dans le développement de )./.

Les termes séculaires mixtes proviennent du développement de

\ Bo cosv'/ "^ ^ ^0 sinv'f.

Or, connaissant les termes périodiques, nous connaissons Bq <^"l Gq ; connaissant les termes séculaires purs, nous connaissons les n\ et [)ar conséquent v'.

On arrive donc ainsi à démontrer certaines propriétés des développements (21), c'est-à-dire des développements obtenus par la méthode de Lagrange; ces propriétés sont beaucoup plus siuqdes que dans le cas général du j^roblème des trois corps. La raison dv. cette simplicité relative est aisée à trouver; elle tient avanl loiit à l'absence de variables analogues à ç et à Tj. de telle sorte qm- l'"o dépend efTectivement de n variables sur m.