Généralisation. — On aurait pu varier la méthode de

l84 CHAPITRE VII.

diverses manières; d'abord, au lieu de faire a" = o, on aurait pu attribuer aux X" des valeurs quelconques, mais que Von aurait regardées comme données une fois pour toutes.

Le raisonnement se serait poursuivi sans changement; par exemple, quand on aurait fait ':^(V'i=o, on aurait trouvé ),/ = )." et Ton aurait encore eu d-z = d\v = d\ = o.

Si donc nous prenons les développements (12) et que, sans y faire À"^ o, nous y fassions

T = o, iVi= n'if -+- TO/,

nous satisferons encore aux équations (10). La solution ainsi trouvée contient 3n constantes arbitraires, les L", les \^ et les mi qui bien entendu ne peuvent pas être distinctes.

Dans les développements (12), les quantités A, //, A', h' dépendent des L" et des )v", mais il est clair que

AcosA, Asin/i, A'cos/t', A'sin/*', sont des fonctions périodiques des A^^. Nous aurons donc

Dans ces développements (23) analogues aux développements (16 bis) du Chapitre précédent, les k' sont des entiers, B, /<o, B' et h'^^ dépendent seulement des L^".

Il ny a aucune raison pour que ki=^ k].

D'après la façon dont les développements (25) ont été formés, ht et A/ se réduisent à L" et X" pour t^ »'/;= o. Ces développements ne sont donc autre chose que ceux que nous avons obtenus au n" 109.

On satisfera aux équations (10), soit en y faisant

soit en y faisant

T — . o, H'j= Hit -+- Wi.

Au lieu d'adopter comme constantes arbitraires les valeurs initiales L° et X" de nos variables, nous aurions pu prendre

LIÎ l'ROBLÈMI-: RESTREINT. |8j

(raulres constantes arbitraires; nous aurions ainsi donné à nos développements une autre forme.

Il aurait suffi de remplacer dans les équations (20 ) les constantes anciennes L" et a" jiar des fondions de "2.11 constantes nouvelles

l; etx;.

Soit doni'

les <p/ et les 'hi étant des fonctions de ja, des Lj et des A,' que je puis choisir d'une façon tout à fait arbitraire. Je m'imposerai les conditions suivantes :

1° Les fonctions »/ et d,- devront être développables suivant les

puissances de [Ji;

2° Pour jj. =1 o, on devra avoir

3° Les L? et les différences A? — À,' devront être des fonctions périodiques des \\.

Dans les développements (20), substituons à la place des constantes anciennes L" et \\ leurs valeurs (26); nous obtiendrons ainsi de nouveaux développements que j'appelle les développements (2-).

Quelle en est la forme?

1° Pour [JL = o, ils se réduisent à

( 27 ) L,- = L/ , \i = IV, -i- A j .

2" Les différences L,— L,', A/— ir,— \! sont développables suivant les puissances de jj. et de t; elles sont des fonctions périodiques des (v/t et des X|,

En d'autres termes, les développements (2-) seront tout à fait de même forme que les développements (25); avec cette différence que les L^' et les ).' y joueront le même rôle que les L" et les A" dans les équations (25).

Seulement, pour t = iv = o, L, et À/ ne se réduiront pas à L^' etX).

On aura encore une solution des équations (10) en faisant dans

l86 CHAPITRE VII.

les développements (2^) soit

-z = t -h c, iv, = n,- 1 -f- £/,

soit

T = o, H', =^ n'it -f- rrj/,

car les développements (2-) ne diffèrent pas en réalité df's développements (23), ils n'en diffèrent que par la substitution aux constantes L" et X" de leurs valeurs (2()).

Parmi tous ces développements (2-), il y en a un <pii mérite d'attirer notre attention, c'est celui qui est tel que /?^=«/, mais nous nous arrêterons surtout sur celui que l'on formerait par le procédé du n'' 113. Les L^' et les k\ représentent alors ce qu'au Chapitre précédent nous appelions les valeurs moyennes des X.i et des \i.

J'ai expliqué assez longuement ce procédé pour n'avoir pas à y revenir; il y aura cependant une divergence.

Nous n'avons rien ici d'analogue aux quantités p/, to/, p", w" du u" 112, puisque dans les équations (10) ne figure aucuue variable analogue aux \ et aux r|. De là une petite simplification.

On obtiendra ainsi des développements

h = »'i + Àj -H^ ;^='B'-'« eus (^ k^wi-^^ ki'k] -H /*„

où B, Ao5 1^'j /'() dépendent seulement des Lj.

Tous les résultats des Chapitres VI et Vil s'appliquent aux développements (28), on en déduira donc une solution des équations (10) soit en y faisant t ^ / + c, (\/^ /i/^ + s/, soit en y faisant t = o, <v'/= n'-t -\- ttt/.

Ce qui distingue le développement (28) des autres développements (2^), c'est que, ainsi que nous l'avons vu au n" 116, le coefficient ki de wi est toujours égal au coefficient de X^'. Il résulte de là que les constantes \\ et £/ (si l'on fait -:■=:?, svi=^ nit -\- £/) ne figureront jamais que par la combinaison c/-j- A^-. De même, si l'on fait T = o, tï/= n'-t ■+- nr^-, les constantes A^' et rrr/ ne figureront jamais que par la combinaison t7t/+ \^-.

Entre les constantes des développements (2.")), qui sont les L" et les a" et celles des développements (28 ), qui sont les Lj et les \\^