LK PROBLÈME RESTREINT

il y a certaines relations, ce sont les relations (26). Comment les former? Je n'ai qu'à prendre les équations (a8) et à y remplacer L/, )>/ tv et -z par L°, X", o et o. Les équations que nous obtiendrons ainsi ne seront pas autre chose que les relations (iîo) du n" 113; supposons d'autre part que dans les équations (28) on fasse

on obtiendra certains développements qui satisferont aux équations (10); comment aurait-on pu y parvenir directement? 11 est aisé de s'en rendre compte. Supposons qu'on veuille intégrer les équations (10) par approximations successives, on prendra en |)remière approximation

11 reste à voir comment on peut calculer les valeurs de /i"'™" approximation, connaissant celles de {n — i)'^""". On prend d'abord

^"^> -dt=-dKr

Dans le second membre on substitue les valeurs de (/? — i )"'"'' approximation ; ce second membre prend la forme

^ \U"' cos(v^-l- /O,

et il reste à intégrer par rapport à t pour avoir les valeurs dv ^ièrae approximation des L/.

Nous avons vu au n" 99 que l'intégrale indéfinie

B«'" cos(v^ -\- h)dt

contient un terme en i'"cos(v/ + /i), un terme en ^'" ' sin(v^ + //), un terme en ^"'"-cos(v< + A), ..., un terme en t . (v^-|-/i)et

enfin un terme en (v/ -\- li).

cos ^ ^

11 faut ajouter à cette intégrale indéfinie une constante arbitraire. Nous avons jusqu'ici choisi cette constante de telle façon f|ue oL, s'annule pour t = o, c'est-à-dire que nous avons pris

l88 CHAPITRE VU.

C'est ainsi que nous avons obtenu les développements (12) et (20).

Pour obtenir les développements (28) nous n'opérerons pas de même, nous prendrons la constante arbitraire égale à zéro.

Pour avoir ensuite les valeurs de /î"'""^ approximation de X/, on se servira de l'équation

^ ' dt dL,

Dans le second membre on doit remplacer les A^ [)ar leurs valeurs de (n — lymc approximation que l'on vient de trouver. L'équation (3o) est de même forme que l'équation (29) et se traiterait de la même manière.

Les développements que l'on obtiendra de la sorte sont bien les développements (2<S), car l'analyse qui précède est, dans le fond, identique à celle du n" 114.

134. Cas particulier du problème restreint. — Ce que nous avons dit jusqu'ici s'applique au cas général des équations (10), ce que nous allons dire maintenant s'a|)|)li(pie seulement au problème restreint que nous avions d'abord en vue.

Nous avons vu au n" 126 que l'on passe des équations (9) du problème restreint aux équations (10) en faisant

Tous les résultats déjà trouvés s'appliquent donc au problème restreint, mais il j a quelque chose de plus. La fonction F est développable suivant les puissances de

v/api costoj = v/-2L2 C0SX2, v^2pi sinw'j = ^'j.Li 5111X2,

quantités que nous appellerons pour abréger ç et r,. Les coefficients du développement dépendront d'ailleurs de L, et de À, . L'expression

^ dq — p'i dio'i = ç dr^ — ]^o cD^^,

étant une différentielle exacte, nos équations (10) resteront canoniques quand on prendra pour variables L,, )>,, ^, v] et s'écriront

dhl

d\ dF

dq dF

dt ~

dX, '

~ dLi '

dt ~ dxi '

dt ~ d\

LE PROBLEME RESTREINT. l8y

Les seconds memljres des équations (3i) sont développables suivant les puissances des ^ et des rj; voilà ce qu'il y a de nouveau. Si nous posons comme dans le Chapitre précédent

dx dwi ' dw»

et que nous cherchions les développements de nos inconnues L,, Â|, i, Y) en fonctions de t et des «r sous la forme (2;")), (2-) ou (28), nous verrons que ces développements satisfont aux équations

,„ , ,, d¥ dF ^, dV ^ d¥

si nous rappelons que Fo =: F|, est égal à

nous voyons que nos équations s'écrivent

rfF, ^.^ m; JF,

^^- = -!^^' •'^^'=Lî--"^+:^rfL

11 reste à faire le choix des constantes d'intégration; je ne choisirai pas les valeurs initiales des inconnues, comme dans les développements (2.5), ni leurs valeurs moyennes comme dans les développements (28); je prendrai :

1° La valeur moyenne de L) (pour t ^ o, bien entendu) que j'appellerai L|;

a** La valeur moyenne de A( que je supposerai nulle; .)" La valeur moyenne de

^ cos«^2-t- 'l sin(t'2)

(jue j'appellerai E, à cause de son analogie avec l'excentricité; 4** La valeur moyenne de

^ sin (ï'o — r, cos H'2 que je supposerai nulle.

Je vais alors inonlrer que nos inconnues seront dé<ieloppables

igo CHAPITRE VII.

suivant les puissances de

Ecosn^25 Esin(V2.

On a en première approximation

Li=L{, Xi =(»',, ^ = Ecos(V2, T, = E sin (^"2 ;

et la condition est donc remplie en première a|)proximalion.

Je dis que si elle est remplie en [n — i^fnic approximation, elle le sera en /i'*""^. Considérons d'abord la première équation (33), le second membre est de la forme

Les B sont à un facteur numérique près des dérivées de F où il faut substituer aux inconnues leurs valeurs de première approximation; ils sont donc développables suivant les puissances de EcosjVo et EsiiKiPo- Les d\\.' sont des monômes entiers par rapport à oL,, oÀ|, 0^, 07J auxquels il faut substituer leurs valeurs de (/? — lyenie approximation. Ces valeurs par hypothèse sont développables suivant les puissances de Ecos(V2 et Esintv'^. Notre second membre est donc développable de la même façon.

Notre équation est donc de la forme (i3) du Chapitre VI; nous avons vu, aux n'" 109 et 114, comment peut s'intégrer une équation de cette forme; nous avons indiqué deux manières de le faire, soit en prenant

sin(Ai (('i H- /i2U'2-f- Il ) — sin/* Lio — " i 1 '

Al «1-4- A"2«2

soit en prenant

sin(Ai IV I H- /i2«v2H- h)

{cf. n" 114). Ici il faut employer le second procédé et ajouter ensuite la constante L], puisque nous voulons que la valeur nK)yenne de L, se réduise à L]. On voit aisément qu'en opérant de cette façon L| reste développable suivant les puissances de EcostVo et E sintT'o. H pourrait n'en être pas de même si l'on avait opéré de la première manière, car il pourrait s'introduire des termes en E, E^, E^, ....

Passons à la deuxième équation (33); il faut dans le second

m: i'KouliLme restreint. 191

memliie substituer à la place de L, sa valeur de /i"'""^ approximation et à la place des autres inconnues leurs valeurs de (// — jy'^mc approximation. Cette équation prend alors la même fonm^ cjuc la précédente et se traiterait de la même façon.

Prenons enfin les deux dernières équations (33); dans les seconds membres, substituons aux inconnues leurs \aleurs de (/?. — jypinc approximation; t)n verrait comme plus haut que ces seconds membres sont dé\elo[)pables suivant les puissances de l'^cos(Vo et Esin(v\,, de sorte que nos équations |)rennent la forme

l A^ -{- /JjYi = ^ ;jL-^i:'/A T'" cos(A-i tl'i 4- kilV.2-^ A),

/ \q — n-y- = ^ ;jl'^E'/A't'« cos(Ai u'i ~ /^î^^■.,^ h' ),

où V, A', //, h' dépendent seulement de Lj et où q est un entier de même parité que /io et au moins égal à | A"2|.

Gomment peut-on intégrer ces équations? Nous commencerons par mettre à part, dans les seconds membres, les termes où A, = o, /,;,=zbi, et conservant seulement Tensemble des autres, nous écrirons les équations (34) sous la forme suivante

l A; -f- «o'i ="^67/' cn^o -{-'^ C -./' sino -i- ^ 6 -'" cosç -i- ^ c -'" siatp, / Ar, — «2; = ^ B't/' coso -H ^ G'T/'sinç; -f- ^ 6'-'« coso -f- ^ c'-:'" sino.

Ici jai écrit o pour /. , ir, -i- /l^.^ .> ; j'ai désigné par /y la |)lus grande des valeurs de l'exposant m. Les coefficients B et G sont

les sommes ^ ul^'AcosA. \ jj-'-'A sinA, étendues aux termes en

(•oses ou sincs où l'exposant de t est égal à/?; les coefficients b et c sont les sommes analogues étendues aux termes où l'exposant de t est égal à m <Cp. De même pour B', G', b' c'. Je poserai alors

B'/,,Cv V^Bv-f-C'/r,

c = y ~ ;— T/'COS'J-f- > ; 5— T/'SMIS.

ig2 CHAPITRE VII.

OÙ

]Nos équations (35) deviennent alors

Ar + «2V=- ^ -^2^"'"^^^T-^2

c T'" Slll'f ,

Ces équations (36) sont de même forme que les équations (35), seulement l'exposant maximum de t n'est plus que p — i au lieu de p ; de sorte qu'en continuant de proche en proche le même ])rocédé on finira par intégrer complètement les équations (35).

J'observe alors que, si les seconds membres de (35) sont développables suivant les puissances de Ecostro, et EsiniVo, il en esl de même de i', de ■/]' et par conséquent des seconds membres des équations (36).

J'aurais donc démontré que ç et r^ sont développables suivant la même forme, si les formules précédentes ne se trouvaient en défaut dans le cas où v^ = ni, c'est-à-dire où A, = o, k. = ± i . C'est pour cette raison que j'ai mis à part les termes où A", = o, Ao^^i, d'où es = ih (V .. ; et il me reste à en étudier l'influence.

Reprenons donc les équations (35) en faisant cp = (\"o dans les seconds membres ; nous pourrions aussi supprimer dans ces seconds

membres les signes ^ puisque nous n'avons plus (|u une seule

sorte de termes, les termes en «Vo.

Posons cette fois

-p S1UH'.2 — — ; "'' cosn'2,

■ip -+- '2

B'-hC

zP cosivj-}-^ — ; zP sin H'o,

2p -\- 2 ' ip -\- 1

ip -v-i

lin

■ip

LE l'UOBLÈME RESTREINT. igS

nos équations deviennent alors

l A;"-t- /i2r/" = j- H-^ 6 T'" cosira-H^ c -:'" sinn'2,

et l'on voit que dans les seconds membres l'exposant de t ne peut dépasser/? — i; on arrivera ainsi de proche en proche à l'intégration complète de l'équation. On remarquera qu'en opérant de la sorte, si les seconds membres des équations (35) sontdévcloppables suivant les puissances de EcostVo, Esin<v\., il on est de même de Ç', ç", Tj', r" et par conséquent des seconds membres des équations (38), et l'on en déduira qu'il en est de même des valeurs de ç et de 7) que l'on obtient par ce procédé.

On est finalement ramené au cas de/? = o; cas où l'on a simplement

Si, dans les formules (3-), on suppose p = o, on obtiendra les coefficients de cos(V2 et de sina'a dans ^* et dans '/\*, en désignant par ^* et y)* les expressions de ^ et de ?! obtenues par le procédé que nous venons d'exposer; on voit ainsi que les valeurs moyennes de ^*cos(V2-l- v)*sin(V2 et de ^*sin(V'2 — i]* cosWi sont nulles. Ce que nous voulons c'est que ces valeurs moyennes se réduisent à E et à o, il conviendra donc d'ajouter respectivement à ^* et à y]* un terme Ecos(r2 et un terme EsiniT'2. Elles ne cesseront pas en effet pour cela de satisfaire aux équations (35). Elles ne cesseront pas d'être développables suivant les puissances de Ecos<t-2 et Esin(ï"2.

Si au contraire nous avions pris comme données de la question les valeurs initiales ^q et. v)o de ^el/]; il aurait fallu ajouter à ç* et à r* un terme G cos(V2 + H sin(\'2 et un terme G sintV2 — H costT'.j ; où Ço — G et 7io + H seraient ce que deviennent les ^* et r* ([uand on y fait -:^u', = (V"2=o. Dans ces conditions G cos<ï'2H-H ^iï^^^'^? GsiniVo — Hcos(r2 ne seraient pas développables suivant les puissances de Ecos(r2, Esin(V'2 et il en serait de même de

^ = ^* -{- G eus «Po-i- H sin (r2, ■/j = r, * H- G siii (ïo — H cosivj.

13o. On aurait pu présenter l'analyse précédente sous une autre P. - I. i3

Ig4 CHAPITRE VII.

forme. Posons

notre fonction F sera développable suivant les puissances de X et de Y, et nos équations deviendront

car

' ai aX

Xd\ -h-ii^dri

€st difTérentielle exacte.

Les deux dernières équations (Sg) peuvent s'écrire

/VF

<^9^"^ ^ ,. . . . 'rfF.

A(\e««'0 = — 2t;jLe'»'^-7^.

11 s'agit de démontrer que L,, A,, X, Y sont développables suivant les puissances de Ecosn'o, et EsintVo ou, ce qui revient au même, suivant celles de

Ee'"'--, Ee-'»'j.

Gela est vrai en première approximation; je suppose que cela le soit en (n — i^i''"'' approximation et je me propose d'établir que cela est encore vrai en /i'^™" approximation.

Pour cela je substitue, à la place des inconnues dans les seconds membres des équations (og) et (3() bis), leurs valeurs de (n — i^emc approximation. Alors les seconds membres des équations (Bq) sont développables suivant les puissances de Ee-'^'s. Ceux des équations (89 bis) sont égaux à un pareil développement multiplié par e^'"'^ ou par e'^'s.

Je dis que cette propriété ne se perd pas par l'intégration. Soit en effet l'équation

où ç est une fonction connue de t, de E et des ce; je suppose que çqîsw^ soit développable suivant les puissances de t et de Ee— '*^i,

LE PROBLÈME RESTRELNT, ,g5

que de plus celte fonction étant périodique en n-, soil en outre développahic suixant les cosinus et les sinus i\c^ mtdliples de iv, ou SI l'on aime mieux suivant les puissances de e-"''.. En d'au ires termes je suppose que v soit développalde sous la forme

(40 p = N A E'f -'» gi (/. 1 »•,+/.■, w,)^

où A est indépendant de K, 7, a,, a,; où q, m, /.-, ,-i /., sont des entiers satisfaisant à la condition

(42) q = k.-^s (mo(l2) q-^\k.^s).

C'est bien là la forme des seconds membres des équations (3;,) et (39 bis), l'entier s étant égal à zéro pour les équations (3(j), à + , et à - . pour les équations (39 bis). De plus ces seconds membres dépendent encore de ;x et de Lj, et sont développables suivant les puissances de y., mais nous n'avons pas à nous en inquiéter.

Je dis que l'équation ( fo) nous donnera aussi pour l'inconnue u un développement de la forme (4i) avec la même valeur de l'entier ,y, pourvu que nous conduisions V intégration de telle sorte que la valeur moyenne de u soit nulle, ou soit égale ci un développement de la forme (41) (c'est-à-dire, puisque cette valeur moyenne est indépendante de 1 et des (r, soit développable suivant les puissances de E, les exposants étant tous de même parité que s et au moins égaux à s).

Si nous nous reportons en effet aux n"^ 98 et 114, nous verrons que chaque terme du développement (4i) de v nous donnera m-^i tenues dans l'expression de u et que ces m^i termes seront de la forme

où B est une constante, et où les entiers q, /.-,, le, ont mêmes valeurs que dans le terme du développement de v d*où l'on est parti et satisfont par conséquent aux conditions (42): où rnlin on donne à/? les valeurs o, i, 2, ..., /„, si /.-, et/.-, ne sont pas nuls et la valeur m -^ x si /. , et /r, sont nuls.

Ainsi u est bien de la forme (4i).

Alors en envisageant d'abord la première équation (^39), nous voyons que L, est développable suivant les puissances de Ee^'"-

jg6 CHAPITRE VII.

il en est donc de même de AX, en vertu de la deuxième équation (39) et par conséquent de A,.

La première équation (89 bis) nous apprend que Xe-'"'^ est développable sous la forme (4i), l'entier s étant égal à i; et par conséquent que X est développable suivant les puissances de Ee-"^'^ et la seconde équation (89 bis) montre qu'il en est de même de Y.

Le théorème énoncé est donc établi.

136. Il résulte des deux numéros précédents que, dans le cas du problème restreint, les développements (2;) de nos inconnues peuvent se mettre sous une forme particulière.

En raisonnant comme au n" 69 on verrait que l'on a

Li— L{, Xi— '^'1, ^ — E COSMOS, r, — E sln U'a = V [jl^ Ax"' El cos(/ù u', -+- k-, (f. + /* ),

où le premier membre est l'une ou l'autre des quatre quantités

(43) Li— L'i, >M — iv'i, ^ — EcosuA^, 71 — Esinir.,

et OÙ le second membre, qui s'annule pour [j. = o, est développable suivant les puissances de p., E et -: et suivant les cosinus et sinus des multiples des iv, de telle façon que A et h dépendent seulement de L] et que l'entier q satisfasse aux conditions

(44) q = f^2 (moda), ^^K^-il-

En raisonnant comme aux n''^ 71, 86, 111, on verrait que ces développements ne doivent pas changer de signe quand on change T et Wi en t et — «7. Il en résulte que h doit être égal à o ou

à -. Il est égal à o si m est pair, et à — - si m est impair dans

les développements de

Li— E}, ^ — E cosiï'2.

Il est é^al à o si m est Impair, et à ^ si m est pair dans les

développements de

>^i— "')j Y] — E sin (ipj.

On satisfera aux équations du mouvement en faisant dans les