I.r: PROBLl-ME RESTREINT. I
tléveloppemenls (43)
-r = o, H', = n'il.
On pourrait déduire de tout cela (jue les ([uantilés que nous avons appelées W,- et n'^ au n" 129 sont dévcloppal)les non seulement suivant les puissances de tji, mais suivant celles de EcostTo, Esinfï'j, et comme ces quantités sontdes constantes indépendantes de (T'o, qu'elles sont développables suivant les puissances de y. et de E-.
137. Solution périodique. — Je suppose que, dans les équations (43), je fasse
•: = o, w'i = n\ t -\- TxSi,
j'aurai une solution des équations du mouvement (où ne figureront pas de termes séculaires) et qui dépendra de quatre constantes arbitraires
L}, E, T3i, Wo.
Donnons à la constante arbitraire E la valeur zéro; tous les termes du développement (43) disparaîtront sauf ceux pour lesquels on a ^ = o et par conséquent Ao = o. Ces termes ne dépendront pas de n'o.
Donc, pour cette solution particulière, les inconnues L(, ^, r,, X4 — (T'( sont fonctions de «'i seulement; de plus, ce sont des fonctions périodiques de a\ et par conséquent du temps.
Les distances mutuelles des trois corps sont donc des fonctions périodiques du temps. C'est là une solution périodique dont l'importance est très grande.
C'est celle que nous avons étudiée en détail au Chapitre lil tlu Tome 1 des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste sous le nom de solution périodique de la première sorte.
On voit que la solution périodique ainsi définie dépend de deux constantes arbitraires; nous a\ons faitenefl'et E = o, de telle sorte que nos inconnues ne dépendent plus de w-i-, ni par conséquent de cTo. 11 reste donc deux constantes
Lj, Toi.
Les inconnues L, et ^ sont développables suivant les cosinus
rgS . CHAPITRE VII.
des multiples de (V|, et les inconnues to, et y] suivant les sinus des multiples de n'i . Il en résulte que quand (v, est un multiple de 2Tr, il j a conjonction symétricjue, c'est-à-dire que les trois corps sont en ligne droite (la petite planète étant entre le Soleil et Jupiter) et que leurs vitesses sont perpendiculaires à la droite qui les joint. Au contraire, quand W\ est égal à un multiple impair de tt, il j a opposition symétricjue, c'est-à-dire que les trois corps sont en ligne droite (le Soleil étant entre la petite planète et Jupiter) et que leurs vitesses sont perpendiculaires à la droite qui les joint.
Ainsi les conjonctions et les oppositions symétriques se succèdent périodiquement.
Si nous prenons, pour origine du temps, l'instant d'une conjonction symétrique, nous aurons ro, = o, et il nous restera une seule constante Lj ; comme le moyen mouvement dépend de cette constante, nous voyons que le moyen mouveuient peut prendre toutes les valeurs possibles et qu'à chaque valeur du moyen mou- A ement correspond une trajectoire périodique de cette sorte.
Dans la pratique, E n'est pas nul, mais très petit, de sorte que la petite planète s'écartera peu de cette trajectoire périodique.
138. Remarque. — Reprenons nos développements (2.")); nous avons vu au n" 13!2 que, pour obtenir les développements (21), il fallait ou bien y faire 'z=t, {Vi= nit, ou bien y faire t = o, iVi^ n'-t et développer ensuite suivant les puissances de p., c'està-dire suivant les puissances de n'- — /?,-.
Cela revient à dire que si l'on prend les développements (20); si on y fait 7 = 0, qu'on remplace (X"/ par iVi-\-(^n'- — ni)x et que l'on développe ensuite suivant les puissances de t, on retrouvera les développements (26) d'où l'on est parti.
Nous avons ^ u que l'on satisfait aux équations du mouvement en faisant dans les développements (20)
T = o, n'/= n'it -f- Wi.
Il résulte de la remarque que nous venons de faire que l'on y satisfera encore en faisant
-^ = /( 0, <^V == «'/ f -^ mi + {ni— n'i)f{t),
f{t) étant une fonction quelconque du temps.
LE PROnLÈME RESmEINT. I9Ç>
Si, en particulier, nous faisons y(^) = i -h c, nous voyons que l'on satisfait aux équations du mouvement en faisant
T = ^ -t- c, «r,= iiit -t- ro/ + (/«/— /t',)c.
Nous voyons ainsi que la constante que nous avons appelée e,
n'est autre chose que
7TT/-f-(n/ — n'i)c.
Au lieu des développements (20) envisageons les dé\cl()[)pements (28) où figurent les constantes Lj et A^' qui sont les valeurs moyennes des inconnues. Ce (|iii caractérise ces développements c'est que ivi et V- n'y figurent que par la combinaison (tv+\'; nous aurons donc
Li ou hi = /( Vi , iVi 4- A ' , ' ) •
D'après la remarque que nous venons de faire, on retrouve les mêmes développements en remplaçant -r par zéro et iv/ par <ï'/ + ('î,' — ni)^] nous aurons donc
Li ou X/ = / [ 1^/ , «•/ -+- A,' +(«'.•—«/)"] ■' si l'on remplace t par zéro et <r/ par n]t + nr/, on a
L,: ou '/u-^/i I-l , «/ ^ H- ^; ■+ >>;' ), si l'on remplace t par < + c et t\\ j)ar mt -+■ î/, on a
L,= X/ = /[Lh n',^ ^ X,' -V- s/ + («;- n,)c].
Chacune de ces formules ne contient, comme il convient, que 2/r constantes arbitraires réellement distinctes, à savoir L^- et TC/+ a; pour la première ; L,! et ).; + ti-\-{n- — ni)c pour la seconde.
139. Revenons au cas général du problème des Irois corps. Au n** 104 nous avons montré que le terme général du développement des inconnues est de la forme
[jia  DU 0 /'« cos ( V / -+- 70 ,
et nous avons classé les termes d'après leur rang, c'est-à-dire d'après la valeur du nombre a — lu .
Au n" 106 nous avons démontré trois théorèmes au sujet du rang :
i" Il n'y a pas de terme de rang négatif; 2.^ Il n'y a pas de terme séculaire mixte de rang nul ; 3° Il n'y a pas de terme de rang nul dans le développement de oL/.
Le problème dont nous allons nous occuper maintenant est la recherche des perturbations séculaires des planètes, c'est-à-dire la recherche des termes de rang nul.
L'importance de ce problème ne peut échapper à personne, puisque c'est de ces termes de rang nul que dépendra la configuration du système solaire dans un avenir éloigné.
Pour calculer ces termes de rang nul je vais reprendre les équations (9) du n" 106 que je récris
Nous savons que dans les oLj il n'y a pas de terme de rang nul ;
TIIKORIE liLKMKNTAIRE DES PEUTIUBATIONS SKCILAIRES. ?!OI
occupons-nous donc d'abord de rccliercher les termes de ran^ nul de oEj et de orjt.
Pour cela prenons la deuxième et la troisième équation (i), et dans les deux membres de ces deux équations ne conservons que les termes de ran^;- nul (en eilet, les deux membres devant être identiques, les termes de rang nul du premier mcndjre sont égaux aux termes de rang nul du second membre).
Les dérivées de F, sont de la forme
