BOW

où B est à un facteur constant près une des dérivées d'ordre quelconque de Fi où l'on a substitué, à la place des inconnues L/, A,-, c/, /jt, leurs valeurs de première approximation L", /«/«-|-à", ç)-, r,^^. Quant à DXi', c'est un monôme entier par rapport aux oL/, o)./,

Nous avons vu au n'^ 106 que les termes de rang nul de o;, et

de o'/\i ne peuvent provenir que des ternies de rang nul de — -5 —

dFi . ...

et —j^ dont le rang s'est élevé d'une unité par la multiplication par 'j.

et s'est abaissé ensuite d'une unité par l'intégration.

01 • I 1 dF, f/Fi . 1 1

n obtiendra un terme de — —r— ou —77- en prenant dans le

dr,c d\i A

développement (2) un terme BOIL'; ce terme est le produit de plusieurs facteurs qui sont d'abord B et ensuite les divers facteurs oL, ... de OIl'. Il faudra prendre un terme dans chacun de ces facteurs et en faire le produit; on obtiendra ainsi différents termes du développement de BDIL'.

Nous prenons un terme dans chacun des facteurs; aucun de ces termes ne peut être de rang négatif; le rang du produit ne pourra donc être nul que si tous ces termes sont de rang nul. Tous les termes de rang nul des oL, oq, ot], o)v sont séculaires purs. Tous les termes de rang nul du développement de Ole' sont donc séculaires purs, puisqu'ils sont le produit de plusieurs termes séculaires purs.

Chaque terme du développement de OÏL' doit être multiplié par un terme du développement de B pour donner un terme du développement de BOIL'. Un terme du développement de BOIL' ne peut donner un terme de rang nul dans ô; ou }jr\ que s'il est lui-

même de rang nul et séculaire pur. Il doit donc être le produit d un terme de DTJ qui doit être de rang nul et par consécpient séculaire pur, par un terme de B qui doit être lui-même séculaire pur si l'on veut que le pi^oduit soit séculaire pur. Bien entendu les termes de B que j'appelle séculaires purs sont constants et ne contiennent aucun facteur t'" . Je les appelle ainsi simplement parce qu'ils ne contiennent pas de facteur trigonométrique.

Nous sommes donc amenés à rechercher les termes séculaires purs de B. Soit

Fi = N A cos ( /.-] Xi -+- k-2 ^2 -+- ^< j)

où A et // dépendent des L, des q et des t;.

Pour obtenir B, il faut prendre une des dérivées d'ordre quelconque, de F,, multiplier par un facteur numérique et remplacer )>/ par Uit + X" et les autres variables par des constantes.

Considérons un terme cjuelconque de F,. Si A', etÂo ne sont pas nuls à la fois, dans toutes les dérivées de Fj le terme correspondant contiendra en facteur le cosinus ou le sinus de A,)., + A^oÀ^H- /^ 5 quand on y aura substitué nit-\-\^- à la place de X,, il contiendra en facteur le cosinus ou le sinus de v / ^ A) )."+ Ao ).!!+/<, et comme V ne sera pas nul, il ne sera pas séculaire pur.

Pour avoir les termes séculaires purs de B, il suffit de réduire F, à ses termes indépendants de ).) et Ào- L'ensemble de ces termes sera désigné par B; c'est ce que l'on appelle la partie séculaire de la fonction perLurhatrice.

Soit alors Bq l'ensemble des termes séculaires purs de B. Nous voyons que Bo sera formé avec les dérivées de R comme B avec celles de F,.

Soit d\<.'^ ce que devient -')ll' lorsqu'on y remplace oL, o;, oy^, oa par leurs termes séculaires purs de rang zéro. L'ensemble des termes de rang- zéro de

sera alors

Gomment avions-nous formé ^BOft'? Nous avions pris l'une

THEORIE ÉLKMENTAIRE DES PERTURBATIONS SECULAIRES. 'JLO'i

des deux expressions

nous y avions remplacé

par

el nous avions développé suivant les puissances d(;

Ol>/, OA/, 0;,-, or,,-.

Soient alors

DL„ DX„ I>ï/, Dtj,

l'ensemble des termes de rang zéro de

oL/, OA/, 0;,-, orj/.

D'après ce que nous venons de voir, ^BoOFl^ est formé avec

R, DL/, DÀ/, D;/, Dr,/ comme \ BDlt' avec F,, oL^, o)./, o;/. or,/.

On obtiendra donc ^BoOlL^ en prenant l'une des deux expressions

dli clR

en y remplaçant

'•'/• 'w') Ç/) r,/ par

L»-i-DL/, À?+«,./-f.DÀ/, ^?--D£/, r,?-^Dr,/,

el développant suivant les puissances de

DL/, DX/, Dï/, Dr,/.

Prenons la deuxième équation (i)

Nous avons d'où

Si nous égalons dans les deux membres les termes de rang nul. il

vient

oïl; dt.

Donc

Si nous réduisons ^/ à ses termes de rang nul, c'est-à-dire à

ç" + Dii, on aura

d^i dDl

dt dt '

et, par conséquent,

d';,- dR dt ~ ^"-drii'

et de même

drii dR dt ~ ^"^ d'zi

Dans les deux membres des équations (3) et (4), il faut remplacer

L/, A/,, Çj et 7],-, par

Mais DL/ est nul, puisque L^ ne contient j^as de terme de rang nul. De plus R ne dépend pas des X,-, et il en est de même par

conséquent de ;7j-etde-i— ; donc les \i ne figurent pas dans les dçi d't]i

équations (3) et (4).

11 suffira donc de remplacer

par

Ainsi les équations (3) et (4), où l'on doit regarder les L, comme des constantes, forment un système d'équations canoniques qui définissent les termes de rang nul des ^ et des '/\ et par conséquent les pertui'bations séculaires des excentricités et des inclinaisons.

TIIÉORIK KLli.MENTAIRn: DES PERTURRATIONS SÉCULAIRES. 2o5

liO. L'analjse précédcnlc peut se présenter sous une forme un peu différente, quoirpie au fond équivalente.

Considérons le terme général du développement (i i) du n" 108;

il s'écrira

[JL* A ■:'" cos ( /,-i w i -+- k-i w^ -^ h);

comme il ne peut être de rang négatif, on a nK^'j.. Si donc je pose [jL-^ = t', notre terme s'écrira

de sorte que nos développements procéderont suivant les puissances positives de y. et de t', et suivant les cosinus et les sinus des multiples des w.

Ces développements satisferont aux équations du mouvement et en particulier à l'équation

d^ __ d¥^ dt ~ ^^ dr.y

quand on y fera

t' = [Jt.(f -4- c), tv/= r,^; -h £/.

Mais on a alors

Notre équation devient ainsi

dr^i

Les deux membres de cette équation sont dévelop[)ables suivant les puissances de [j., de t', et les cosinus des multiples des tr.

Nous obtiendrons les termes de rans: nul de c/ ou ceux de -j— '

en y faisant -jl = o (je suppose, bien entendu, que, quand je fais [jl:= o, t' demeure fini). Dans ces conditions, ç/ réduit à ses termes de rang nul ne dépendra plus des (V, puisque tous les termes de rang nul sont séculaires purs, de sorte que

2oG CIIAPITRK MM.

Faisons de même [j. = o dans -^•, cela revient à remplacer dans

cette dérivée les inconnues L,, ;/, r,/, X/ par l'ensemble de leurs termes de rang zéro, c'est-à-dire par L", ç" + D;,-, y,'' -f- Dy;,, a)- + iï'j-f- D)v/. Soit donc

sin

un terme quelconque de ^ -^' o""' ^ dépend des ç, des ■r\ et des L. Si, dans ce terme, je remplace

^-'/> ?/> ''î/j 'v par

il deviendra

cos Ao . (/.i ii'i -1- /.-.i u'., -i- A), sin

où Ao est ce que devient A après cette substitution, tandis que h = /m \\ ^- k{K\ + Al DXi 4- A-2 DXj.

Les termes de rang zéro sont séculaires purs et par conséquent indépendants des (v ; il en résulte que Ao et h sont indépendants des w. Donc notre terme a pour argument /.-, (p, + /lotVo-

Or nous ne devons conserver que les termes séculaires purs, c'est-à-dire indépendants des (x-. Ce sont ceux où /:, = Ao=o,

c'est-à-dire cfeux qui proviennent d'un terme de — y-^ indépendant de \\ et de \x.

Or l'ensemble des ternies de 1-^ indépendants de A, et de Xo,

(tq, ^

, . , dK

c est précisément — -j— •

Si donc nous égalons, dans les deux membres de l'équalion (,■)),

les termes séculaires j)urs de rang ini je dis un et non zéro, parce

<[u'nn terme de rang zéro de — -^ me donne un terme de rang un <lu second membre de (5) — [-'•7:^ ' J*' li'<"i^<^'

db d\\

TIIÉOUIE ÉLK.MENTA1RE DES PERTLRB.VTIONS SÉCULAIRES. 207

OÙ il faut remplacer L/, ;<, r,/ par L", q^' + D;^, Y,"-hDri/, c'cslà-dire réduire L,, ç/, yj^- à leurs lerines de rang nul. Je Irouve de même

{6 bis) ^-1^,,^^^

dru d"^ Comme d'ailleurs, quand ç etY^ sont réduits à leurs termes de rang

nul, on a

dt -■^''

je puis écrire

d\i dt

dm dt ~

Les équations canoniques {'-^) nous donneront donc les termes de rang nul des cj et des m.

141. Comment pourrait-on se servir de la dernière équation (i)

pour calculer les termes de rang zéro de oX/; ces termes sont ce que nous avons appelé DÀ,.

Nous avons vu au n" 106 que l'intégrale

ne peut nous donner que des termes de rang un, au moins. Quant à la première intégrale

dt.

dA/c

les termes de rang ^e>o c[u'elle pourrait nous donner ne pourraient provenir que des ternies de rang un séculaires purs de

dhi, = — IX I ^ dt.

dkk

Or Poisson a démontré que ces termes n'existent pas.

Ainsi nous n'avons à considérer que la troisième intégrale ; mais

nous ne pourrons V établir qu'après avoir démontré plus loin le théorème de Poisson.

Quant à la troisième intégrale, on verrait comme au numéro précédent que les termes de rang zéro qu'elle peut donner sont compris dans la formule

de sorte qu'il reste

Dans le second membre -jr- dépend des L^-, des \i et des 7|/, mais

ne dépend pas des \i\ il faut bien entendu y remplacer L/, H/, r^i par L^?, \i-\- Dç/, -/i,+ D/i/.

Donc, quand on aura déterminé à l'aide des équations (^) les termes de rang zéro des \ et des '.ri, c'est-à-dire les perturbations séculaires des excentricités et des inclinaisons, il suffira d'une simple quadrature pour déterminer les termes de rang zéro des )^, c'est-à-dire les perturbations séculaires des longitudes moyennes.

142. Forme de R. — Connaissant par le Chapitre IV la forme de Fi, nous pouvons en déduire R, puisqu'on obtient R en supprimant dans Fi les termes qui dépendent des À.

Nous avons vu aux n° 83 et 80 que l'on a

(.F, = 2 Apî-PÎ^Pt Pf cos (2 A7>.+ 2 ^''^'j'

A dépendant seulement des L^-. Nous avons vu que les entiers i q et p satisfont aux conditions

•i.qi = Pi (moda), •i-qil\Pi\-

Nous avons vu au n" 87 que

et enfin au n" 88 que jOo-f-/?/, est toujours pair.

Voyons quelles sont les conséquences de tous ces faits. Nous

THÉOlilE ÉLÉiMKNTAIRK DKS PERTURBATIONS SECULAIRES. 'iOg

voyons que F, est iléveloppable suivant les puissances de .

Çi= \/'>?i coso),-, 'fii= V^2Pi sinoj,.

Il en est donc de même de R et le degré d'un terme quelconque par rapport aux ; et aux Yj est précisément

Dans R tous les k sont nuls; et Ton a

et par conséquent

et comme iq est de même parité que/»

i^^q^o (mod2j.

Ainsi le développement de R suivant les puissances des ^ et des Y) ne contient que des termes de degré pair.

V cause de la condition > /> = o, nous voyons que R ne changera pas quand on changera \i et r,/ en

^j cosE — T,/ sinE, ç; sins -I- r,, cose.

On a

Pi-^ Pit^^ o (mod'2).

C'est-à-dire que la somme des entiers p relative à toutes les variables obliques (c est-à-dire aux variables qui déterminent les inclinaisons) est paire.

Et comme on a

on aura aussi

/>, -1-/3:3=0 (moda),

c'est-à-dire que la somme des entiers p relative à toutes les variables excentriques (c'est-à-dire aux variables qui déterminent les excentricités) est paire.

210 CHAPITRK VIII.

Comme iq est de même parité que /?, on en conclut que 2r/2+ iq^ et 27, + 2^3 sont également pairs.

Ainsi le développement de R suivant les puissances des ^ et des 71 ne contient que des ternies qui sont de degré pair, tant par rapport aux variables obliques que par rapport aux variables excentriques.

Toutes ces propriétés s'étendent immédiatement au cas où il y a plus de trois corps.

143. Dans une première approximation, nous pouvons négliger les quatrièmes puissances des excentricités et des inclinaisons. C'est ce qu'a fait Lagrange. Les équations (7) prennent alors une forme particulièrement simple.

Soit en effet

le développement de R où nous désignerons par R^ l'ensemble des termes de degré p par rapport aux ^ et aux y\. Si nous négligeons les quatrièmes puissances des ç et des rj, il restera

et comme Ro ne dépend pas des ç et des T|, nos équations (7) deviendront

dh rfR., dr^i dK.

^7^"^ 777^-^^= -dr = ^^r

Gomme R2 est du second degré par rapport aux ç et aux ri les seconds membres seront linéaires par rapport aux ^ et aux y, ; et les coefficients de ces expressions linéaires ne dépendent que des constantes L".

Les équations (7 bis) sont donc des équations linéaires à coefficients constants.

Nous savons ensuite que tous les termes du développement de R sont de degré pair à la fois par rapport aux variables obliques et par rapport aux variables excentriques; dans R2 nous pourrons donc avoir des termes de degré deux par rapport aux unes et zéro

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. Ail

par rapport aux autres, ou inversement; mais nous ne pourrons pas avoir de termes de degré un par rapport aux unes et un par rapport aux autres.

On aura donc

R;. dépendant seulement des variables excentriques et R^ seulement des variables obliques. Le système (; bis) se décomposera donc en deux autres

(7 ter) ^^-u^ '^^' - ^ï^'

dt ^ d-n/ ~dr~^^'

i^quater) ^' = . ^ dr,^ dW,

dt ^dri,' ^-'^1^-

Le premier où ne figurent que les variables excentriques déterminera les perturbations séculaires des excentricités ; le second où ne figurent que les variables obliques déterminera les perturbations séculaires des inclinaisons.

D'autre part, F, ne change pas quand on change les signes des ). et des co, c'est-à-dire les signes des ). et des vi (voir n" 86); donc R et R, ne changeront pas quand on changera les signes des y]. Donc R, ne contiendra que des termes de degré deux par rapport aux i et zéro par rapport aux r^, ou inversement, mais pas de terme de degré un par rapport aux i et un par rapport aux o ; il en sera de même de R., et de R;. On aura donc

où s; et s; ne dépendent que des i, tandis que T!, et T'.', ne dépendront que desri.

Nous avons vu ensuite que R ne change pas quand on change ^ et 7], en Hcos; — r, sine et i sine + ti cose. Il doit donc en être de même de R, et de R'^ ; mais dans ces conditions R^ devient

S;(^ cose - Ti sin£)4- T;(ï sine + T) cos£), ou

cosSeS^f^) — ■icosesins V ïl ^ ^cosHS'^(r] ) + sin2£T^(^)+2COS£sinc2^^ ^ cos^e T^ (r. ).

212 CHAPITRE VIH.

Pour que cette expression, quel que soit s, se réduise à il faut que l'on ait

dS', v^ . rTT^ di]

c'est-à-dire que S!, soit formé avec les ^ comme T'.^ avec les ri. De même pour S!, et T!,.

Nos équations deviennent alors

d^i dT'., dr^i dSi

('^) -dï'^-^d^' .-dl^^TI^'

pour les variables excentriques et

, ,. ^ d^^i dT% dr^i dS",

^''^*") ^=-!^^' -dï- = ^^'

pour les variables obliques.

Ii4. Intégrales diverses. — Les équations (lo) ou (lo bis) admettent un certain nombre d'intégrales importantes. D'abord le système (lo) ou (7 ter) admet l'intégrale des forces vives

(11) ^'-2 = const.

De même le système (10 bis) ou (7 c/uate/) admet l'intégrale des forces vives

(1 I bis) R2 = const.

Prenons maintenant les équations (10), multiplions la première par ^,-, la seconde par ru et ajoutons; il viendra

Mais, en vertu des équations (9), le second membre est nul; nous aurons donc

La sommation doit être étendue à toutes les variables excentriques.

En traitant de la même manière les équations (lo bis)^ on trouverait

{\i bis) ^(ç7 -f-Tj/ )= const.;

la sommation étant étendue cette fois à toutes les variables obliques.

Les intégrales (12) et (12 bis) ne sont pas autre chose que les intégrales des aires. Nous avons vu en effet au n" 90 que ces intégrales s'écrivent

— 'nal/ ï-i— ?i— — —'14/^-2— ?3— ^ = const.,

- ^2 i/li - ?i - ^' - ;; t/Lo - 03 - ^ = const.,