L — 2, ? = const
S'il y a plus de deux planètes, nous écrirons plus généralement
I — ^rj2t/L, — pi— ^ = const.,
d'^) / 2]^2i/Li- pi— Ç =const.,
f ^(L, — pi — P2) = const.;
le signe ^ signifiant que le terme explicitement exprimé
se rapporte à la première planète et qu'il faut y ajouter les termes analogues relatifs aux autres planètes.
La troisième équation (i3) peut s'écrire
= const..
la sommation s'étendant cette fois à toutes les variables ; et r, tant excentriques qu'obliques. Cette équation doit être identiquement vérifiée quand on y substitue, à la place des inconnujes L, ; et rj,
2l4 CHAPITRE VllI.
leurs développements suivant les puissances de u., de t et suivant les cosinus et les sinus des multiples des (v ; ou bien encore, si ayant posé [at = -' comme au n" 1 iO, on substitue aux inconnues leurs développements suivant les puissances de ^, de i' et suivant le.s cosinus et les sinus des multiples des w.
Le premier membre se présente alors comme une fonction de [a, de i' et des w, et cette fonction doit se réduire identiquement à une constante; elle se réduira encore à une constante quand on j fera [ji. = o.
Or si l'on fait |ji. = o, t' restant fini, les inconnues L, ^, 7) sont réduites à leurs termes de rang zéro, ce qui veut dire que l'équation (i4) est encore vérifiée quand on réduit les inconnues à leurs termes de rang zéro.
Or dans ces conditions L/ se réduit à L" puisque oL/ ne contient
pas de terme de rang zéro; de sorte que ^ L est une constante. Il reste donc
les Ç et les r, étant supposés réduits à leurs termes de rang zéro. C'est la somme des équations (12) et (12 bis).
145. Remarque. — Il faut observer que nous avons fait implicitement une hypothèse qu'il est nécessaire de signaler parce qu'elle pourrait passer inaperçue : c'est que toutes les planètes tournent dans le même sens. Voici comment elle s'introduit.
Nous avons posé
G=Ly/| — e'^, 6 = Gcost.
Si donc L est positif, G est plus petit que L et positif lui-même; © est également positif et plus petit que L. 11 en résulte que
pi =r L — G, P2 = G — 6
sont positifs et que les ^ et les y) sont réels.
Si au contraire L est négatif, il en est de même de G et par conséquent de
P,= L(i — \/i — e^), p» = G(i — cosï). Donc les ^ eJL les T| sont imaginaires.
THEORIE ELEMENTAIRE DES PEHTl RBATIONS SECL I.AIRES. 213
Si donc nous voulons que les ç et les i\ soient réels, il laut que les L soient positifs. Or le moyen mouvement d'une planète est égal à un facteur positif (dépendant des masses ) divisé par L*. Supposer les L positifs, c'est donc supposer que tous les moyens mouvements sont positifs, c'est-à-dire que toutes les planètes tournent dans le même sens.
Supposer les L positifs, ce n'est pas restreindre la généralité. En effet, une planète qui se meut dans le sens rétrograde sur une orbite d'une inclinaison i peut être envisagée comme une planète se mouvant dans le sens direct sur une orbite d'une inclinaison 71 — /. Il est donc permis de supposer que toutes les planètes se meuvent dans le sens direct.
Mais, dans l'analvse qui précède, nous avons supposé les inclinaisons très petites. Elle ne s'appliquerait donc pas à des planètes se mouvant sur des orbites dont les inclinaisons seraient très petites, mais qui ne se mouvraient pas dans le même sens; il faudrait en effet les envisager comme des planètes se mouvant toutes dans le sens direct, mais dont les inclinaisons seraient très petites pour les unes, très voisines de i8o" pour les autres.
Si l'on voulait néanmoins appliquer à ce cas les formules analytiques précédentes, cela serait licite, mais à la condition de se rappeler que quelques-uns des ^ et des 7\ seraient imaginaires.
Peu importe d ailleurs puisque ce cas ne se présente pas dans la nature.
Ii6. Il sagit d'intégrer nos équations linéaires (lo) ou (lo bis). S'il y a n -\- i corps, soit n planètes, il y a 2/i variables excentriques et 2/1 variables obliques. Chacun de nos systèmes sera donc d'ordre 2/1.
On sait quelle est la forme générale des solutions d un système d'ordre /> d'équations ditlerentielles linéaires à coefficients constants. Soient
les inconnues; soient
les racines d'une équation algébrique facile à former et dite équation déterminante.
•il6 CHXPITRK Vin.
A chacune des racines a, correspondra une solution |)articulière du système qui s'écrira
les B//^ étant des constantes faciles à calculer; et la solution i;énérale sera
les A. étant des constantes arbitraires.
Dans le cas où l'équation qui donne les a a des racines multiples, il peut y avoir en outre des solutions dites dégénérescentes qui sont de la forme
P/A étant un polynôme entier en l.
Nous allons appliquer ces principes soit au système (lo), soit au système (lo his). J'observe d'abord que l'équation qui donne les a ne peut avoir de racine réelle dilVérente de zéro. Si en effet elle avait une racine réelle a, le système admettrait une solution de la forme
les C et les D étant des constantes. On aurait donc
Mais le premier membre doit être une constante, le second serait une constante 7 (C^+D^) multipliée par un facteur variable e'^'^'^. Cela n'est possible que si les deux membres sont nuls. On aurait
lonc
c'est-à-dire
Je dis maintenant que l'équation ne peut avoir que des racines purement imaginaires, c'est-à-dire dont la partie réelle soit nulle. Soit en effet a = [i + /y une des racines et supposons que la partie réelle ^ ne soit pas nulle. Le système devra admettre une solution
THÉORIi: ÉLÉMEMAIRK DES PERTl RBATIONS SÉCULAIRES. 2I7
particulière de la forme
r,/=(DA.--fDl.)e'fi+'Y".
Celte solution est imaginaire, mais la solution imaginaire conjuguée satisfera également aux équations linéaires, il en sera de même de leur demi-somme qui est la partie réelle
d'où
Tj/. = D/ef^^cosy/— D/, é-P' sin y^,
yi
= y ( d ^ D| ) e'-fi' cos2 Y < - 2 2 ^ ^^"- ^'^^ ^ ^''^'- ^ ^'^' ''" '' ' *^"''^ ^
Or, si l'i n'est pas nul, entre les quatre fonctions i, e-P^cos-y/, e-P'sin-v^, e-P^cosv/ sinv^, il n'y a aucune relation linéaire à coefficients constants. L'égalité précédente, dont le premier membre est une constante en vertu des équations (12) et ( 1 a bis), ne peut donc avoir lieu que si tous les termes sont nuls. On a donc encore
d'où
Je dis maintenant que notre système ne peut admettre de solution dégénérescente. Supposons en elTet qu'il en admette une
les P/, et les O^ étant des polynômes entiers en t.
Je puis toujours supposer que ces polynômes sont du premier degré. En effet, si le système admet la solution ( i5), il admettra également la solution
(i5 bis) l.= P;,e^', r,A= Q/.-e*S
où P^ et Q'/^. sont les dérivées de Pa et de Q*.
2l8 CHAPITRE VIII.
De plus a sera purement imaginaire; car si nous avons la solution (lojoù Pa clQ/rSonl supposés du premier degré, nous aurons aussi la solution (i5 bis) où P/, et Q^ seront des constantes et à laquelle s'appliqueront les raisonnements précédents par lesquels nous avons établi que a doit être purement imaginaire.
Soit donc a = iy; la solution (i5) sera imaginaire, mais la solution imaginaire conjuguée satisfera également aux équations, ainsi que la partie réelle. Cette partie i^éelle se composera d'un terme en tcosyf, d'un terme en isinyt, d'un terme en cosy^, d'un terme en sinyf. Soit donc
^/. == ?A-+ ^^-, TQA = 'nA'
cette partie réelle, où ç^ et t]'^. représentent l'ensemble des deux termes en tcosvt et ts'uiyt, et où ^')^ et 'r\l représentent l'ensemble des deux termes en cosy^ et siny^.
On aura alors
^ia^■r,l)^^i^^^■r:^)-^■^'^i^;X,-^■n,■r{^)'i-'^i^'^^■r;'^^
Le premier membre doit être une constante en vertu de l'équation (12).
■rjT ) est linéaire en /2 cos2y^i i-sin-y^, r^ cosy^ sin y f,
^(i'k -+-'fi"k) » cos^Y^, sin"-Y^, cosY^sinY^.
Or, entre les dix fonctions i, tPcos'^yt, tPsin- ft, tP cos^ t sin^t (^ = o, 1,2), il n'y a pas d'autre relation linéaire à coefficients constants que
cos^Y/ H- sin^Y^ = I.
L'équation précédente ne peut donc subsister que si les termes en t- ont tous pour coefficient zéro ; on a donc
^^^'/,''+ -rj) = 0,
d'où
ù-= 'nA = o,
THÉORIK ÉLÉMENTAIRE DES PERTURBATIONS SÉCLLAIKES. 219
ce qui montre que les polynômes P^ et Qa doivent se réduire à des constantes, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de solution dégénérescente.
147. Nos équations ne changent pas quand on change ^ en — f] et f] en E, puisque 83 est formé avec les i comme To avec les 't\. Si donc elles admettent une solution
elles admettront également la solution
De plus, elles ne changent pas non plus quand on change r\ en — Yl et ^ en — ^, de sorte qu'elles admettent également les solutions
Elles admettront donc en outre les solutions
^'^^ ) ÎA = (C, + «DA-)e»'S -ri/, = -i(Gyi-+^DA.je«^
Si donc Dk=àz /C^, Tune des deux solutions (16) disparaît et la racine a peut être simple.
Si, au contraire, D/^ n'est pas égal à d= iCk, les deux solutions (it)) sont effectives l'une et l'autre et la racine a doit être double; mais les solutions (16), déduites l'une et l'autre de la solution donnée, jouissent de la même propriété; la valeur de r^k est égale à celle de Ik au facteur près ±: i. Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, supposer
D>t-±/CA..
Soit donc
(17) h==C.^eiV, ■r,k = ±iCkei'i'.
D'après ce que nous avons dit plus haut, nos équations admettront aussi comme solution
(176") ^A.= GA.e-'■ï^ ■r^i.^z^iCi.e-iV.
Si y est racine simple, il n'y a pas d'autre solution en e'T', ni en
