CIIAPITKE Mil
e-'T'; de sorte que ces deux solutions doivent être imaginaires conjuguées, d'où l'on conclut que C/, est réel.
Si ^' est racine double ou multiple, il faut modifier un peu le raisonnement. Si nos équations admettent la solution (17), elles admettront la solution imaginaire conjuguée
OÙ C^ est imaginaire conjugué de C^, et par conséquent en changeant ri et t en — T| et — t :
et, par conséquent,
où le coefficient Ca+ C^ est réel.
Nous pouvons donc toujours supposer que dans la solution (17) le coefficient C/( est réel.
Je dis maintenant qu'on pevit toujours supposer que si l'on envisage le signe dz placé devant i dans la formule (17), c'est le signe + qu'il faut prendre. Si, en effet, c'était le signe — , il suffirait de changer y en — y et l'on retomberait sur la formule ( i 7 bis) où le signe ± est renversé.
Si nos équations admettent la solution (17), elles admettront également la solution imaginaire conjuguée, d'où l'on conclut aisément que la partie réelle de la solution (17)
(18) ^/, = Cacosy^ 7)/, = — G/ siny/,
satisfait également aux équations.
Nous sommes donc conduits à chercher à satisfaire à nos équations par des expressions de la forme (18 V, on en conclut
Si nous substituons, par exemple, dans les équations (10), elles
deviennent
dV,
Comme S'^ est formé avec les l comme T., avec les ■r\, ces'equations établissent entre les -/i les mêmes relations linéaires qu'entre les i; il suffira donc de considérer l'une d'elles, par exemple
Considérons les n variables excentriques ^ comme les coordonnées d'un point dans l'espace à /? dimensions; l'équation
représentera une surface du second degré dans cet espace. J'appelle V celte surface. Si a? = 2, c'est-à-dire dans le problème des
trois corps, celte surface est une ellipse dans un plan; si n = 3, c'est-à-dire dans le problème des quatre corps, c'est un ellipsoïde dans l'espace ordinaire.
Cherchons les axes de cette surface ^. Pour cela, considérons la sphère
Cherchons à déterminer 1- de façon qu'elle soit bitangente
à V; alors A sera la longueur de l'axe correspondant et les deux
points de contact en seront les extrémités.
Or on sait qu'on arrive à ce résultat en envisageant la surface conique
et exprimant qu'elle a une droite doulde; on trouve ainsi les équations
Ces équations nous donneront les valeurs de >v-, et les valeurs des \i qu'on en déduira seront proportionnelles aux cosinus directeurs de l'axe correspondant. Or ces équations s'identifieront aux équations (19) si l'on suppose
Donc les valeurs des y sont en raison inverse des carrés des axes de la surface S'^ = i , et sont égales à
2 [JL
Quant aux ^a et, par conséquent, aux coefficients C*, ils sont proportionnels aux cosinus directeurs de l'axe correspondant.
Les solutions delà forme (i8) sont donc entièrement déterminées quand on connaît les axes de la surface S., = i en grandeur et en direction.
Une surface du second degré de l'espace à n dimensions ayant n axes, nous avons n solutions distinctes de la forme (i8). De chacune d'elles nous pouvons déduire une solution plus générale contenant deux constantes arbitraires A- et /i :
'c,!,— AG/1- cos( y( -h h), ru- — — KC/,-s\n(yt -+- h).
En additionnant ces n solutions, on trouve une solution contenant 2/1 constantes arbitraires; on a donc la solution générale du problème.
148. Intégrales quadratiques. — La solution générale s'obtient donc de la façon suivante :
Soit Y/ l'une des n valeurs de y, la solution particulière correspondante s'écrira
^A = A/ Ga cos ( Y/ i -h hi), y\/, = — A,- G,/, sia (fit -^ h, ), et la solution générale sera donnée par les équations
(2o) U= ^A,'C/a-cos(y/^ -+- h,)
et
(2i) -/;a- = — ^A,-G,-Asiii(Y,--i- h,).
Des n équations (20), je puis tirer les n quantités
A cos( Y^ -+- h) sous la forme
A,- cos(yi f -t- /'/) = ^L),A-^A.
THÉOKIE KLÉMENTAIRE DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. lii
De même, des n équations (21), je puis tirer les n quantités
A sin( -^ t -\- h),
et. comme les coefficients C sont les mêmes dans les équations (20) et dans les équations (ii), il viendra
— A,- sin ( Y/ 1 -f- h, ) = V D/a v]^.. En faisant la somme des carrés, il \ient
Ce sont l;i des intégrales quadratiques de nos équations; il y en a n, puisque l'indice i peut prendre les valeurs i , 2, . . ., n.
149. Intégrales linéaires. — Tout ce que nous venons de dire s'applique à la lois aux formules (ro), relatives aux variables excentriques, et aux équations (10 bis), relatives aux variables obliques. Voici maintenant une propriété qui appartient exclusivement aux équations (10 bis).
Reprenons les deux premières équations (i3). Ces équations doivent subsister quand les L, les ^ et les r^ sont réduits à leurs termes de rang zéro. Nous avons négligé dans R les quatrièmes
puissances des ç, et, par conséquent, dans -jp les troisièmes puissances. Continuons donc à négliger les cubes des ^ et, par conséquent, les termes en çp ou rjo ; les deux premières équations (i3) deviendront
^t]2v/Li = const., ^ J-2v/L
= const.
Dan* ces équations, les L/ doivent être remplacées par leurs termes de rang zéro, c'est-à-dire par les constantes L" et il reste les équations
(22) "V^o/Lo = const.. Vra/f.o
consi ,
Ce sont des intégrales linéaires des équations (10 bis).
Cela prouve que ^équation qui donne y a une racine nulle.
Si nous prenons, en efl'et, la première équation (9.2), la constante du second membre peut prendre une valeur quelconque, car les valeurs initiales des ; peuvent être choisies arbitrairement. Supposons donc cette constante différente de zéro.
Substituons dans l'équation (22), à la place des i, leurs valeurs (20); nous aurons aiors une combinaison linéaire des
cos(y< -i- h)
qui devra être égale à une constante dift'érente de zéro. Gela n'est possible que si un des cosinus se réduit à une constante, cestà-dire si l'un des y est nul. c. q. f. d.
Gela veut dire que la surface du second degré S'!, = i a un de ses axes infini, c'est-à-dire qu'elle se réduit à un cylindre, par exemple à deux droites parallèles, si /?=:^2, à un cylindre elliptique si n==3.
Ou bien encore cela veut dire que la forme quadratique S!, peut être nulle ainsi que toutes ses dérivées, sans que ^, 7,, . . . s'annulent. Dans ce cas, les équations (10 bh) se réduiront à
dt ' dt '
de sorte que les ^ et les Tj seront constants.
C'est ce qu'il est aisé de vérifier; supposons en effet que les orbites de toutes les planètes soient dans un même plan, mais que ce plan n'ait pas été choisi pour plan des J7, j?-,-
Alors les inclinaisons ne seront pas nulles et les variables obliques ^ et ri ne seront pas nulles non plus. Mais les planètes resteront constamment dans ce même plan; les longitudes des nœuds seront donc constantes, ainsi que les inclinaisons.
Or on a
p2 = (L,— p, ) (1 — cosj).
Le terme 0,(1 — • cosi) est du quatrième degré par rapport aux ^ et aux ri; il a donc été négligé dans l'analyse précédente; il reste
donc
p-i = L; (i — cos i).
L, se réduit à la constante L',\ et i est constant d'après ce qui précède. Donc Oo est constant. Si p., et Wa sont constants, il en
est de même de ç^ et de ■f\-2-, et de même pour toutes les variables obliques qui peuvent ainsi être constantes sans être nulles.
loO. Les équations algébriques d'ordre n qui donnent les valeurs des Y ont été résolues numériquement par Lagrange d'abord, par Le Verrier ensuite. On trouvera des détails à ce sujet dans le Chapitre XXVI du Tome I de la Mécanique céleste de Tisserand.
Mais ni Lagrange ni Le Verrier n'ont employé les éléments canoniques. 11 faut donc faire attention au changement de notation.
Au lieu de développer comme nous suivant les puissances des H et des '/], ils développent suivant les puissances des
h = e sinm, l = e cosm,
/> ^ tangi sinO, ^ =: tang t cosO.
Mais en négligeant comme nous le faisons les cubes des excentricités et des inclinaisons, on a
Les L/ se réduisent à des constantes L", de sorte que les ^ et les •/] ne diffèrent des h, des /, des p et des q que par des facteurs constants. Le passage d'un développement à l'autre est donc immédiat.
151. Premier changement de variables. — Pveprenons les équations , d^i dT, dr,i dS'.,
Considérons la surface du second degré S.', = i; cette surface est située dans l'espace à /i dimensions et nous avons convenu que les n variables excentriques ^
représentent les coordonnées d'un point dans cet espace.
Rapportons maintenant cette surface à ses axes, que nous prendrons pour nouveaux axes de coordonnées. Soient
Sn SSî îo» • • • ) S2 7;— 1
les coordonnées courantes par rapport à ces nouveaux axes. Ce seront des fonctions linéaires des coordonnées anciennes
et l'on a d'ailleurs identiquement
car les deux membres de cette identité représentent l'un et l'autre la distance à l'origine du point de coordonnées courantes. On aura, puisque la surface S'.y est rapportée à ses axes,
2[aS; = — ^T/îr- Nous définirons de même les 7/ qui seront liés aux T^ par les mêmes relations linéaires que les ^' aux ç. On aura, par conséquent,
et
et identiquement
les sommations étant étendues à toutes les valeurs impaires de l'indice i. Le changement de variables est donc canonique, de sorte que le système (10) devient
> dt ' drli
dt
dS'
Nous opérerons sur le système
d'^i .. dT'i
drii
( I o bis) -^r- = — [i. , - 5 —j- =z u
^ dt ^ dqi dt ^ d\
relatif aux variables obliques, comme nous avons opéré sur le système (10).
THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. lay
Nous envisagerons le point dont les coordonnées sont les n variables obliques
Ç2j Ç45 ÇS) • • • ) Ç2tt !
nous formerons la surface du second degré 82=1; nous la rapporterons à ses axes ; nous désignerons par
les coordonnées par rapport à ces nouveaux axes. Nous définirons r,^, -/j'^, ... de la même manière, c'est-à-dire que nous aurons entre les r/ et les ■f\ les mêmes relations bnéaires qu'entre les l' et les ^.
Dans ces conditions, nous aurons
les sommations étant étendues aux valeurs paires de i.
Le changement de variables sera donc canonique et le système (10 bis) deviendra
' dt ^ dr;^ ' dt ^^ f/i',
D'ailleurs il est clair que
la sommation étant étendue à toutes les valeurs de l'indice i. Le changement de variables est donc canonique et le système (;) devient
/,^-, d^i dl\ d-rd dK
dt ' dr.i dt ^ d\i
Si Ton tient compte de la forme de S'^, T^, S'^, T;, on voit que les systèmes (23) et (28 bis) deviennent
dt '' '" dt ~ '""
d'où
^;= A,- cos{^(ii + hi), r/, = — A/ sin(Y,< + A/),
A/ et hi étant des constantes arbitraires.
On déduit de là
^'.2 + r^^s r= const.
Ce sont les intégrales quadratiques du n'^ 148. En les combinant, on trouve
^i^r-^r;i^)-^(^^-^') =const.,
^{ii^r + V/' ) = - I^(S'2 + T',) = const.,
les sommations étant étendues, soit à toutes les valeurs paires, soit à toutes les valeurs impaires de i. Ce sont les intégrales du
Dans le cas des variables obliques, un des y est nul; soit
il reste
dt dt '
d'où
^;„= const., ri;„= const.
Ce sont les intégrales linéaires du n" 149.
On voit avec quelle facilité on retrouve tous les résultats du Chapitre précédent.
lo2. Limitation des excentricités et des inclinaisons. — Ces formules nous donnent le moyen de trouver des limites supérieures que les excentricités et les inclinaisons des planètes ne pourront jamais dépasser. (Bien entendu, si l'on tient compte seulement des termes de rang zéro et que l'on néglige les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons.)
Nous avons trouvé plus haut les intégrales
d'où, pour un angle quelconque s,
l^;-cos£ 4- r/,-sina;| < A,-;
THÉOniE ÉLÉMENTAIRE DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 229
les A,- sont des constantes que l'on peut regarder comme des données de la question, puisqu'il est aisé de les déduire des valeurs initiales des ^ et des /i, et que l'on peut supposer positives.
Si l'on se reporte maintenant aux équations (20) du n° 148, on verra que l'on peut supposer que l'on a
J'observe en passant que G/a, de même que D^^, représente le cosinus de l'angle que fait Fancien axe des b avec le nouvel axe
des ç'^-; on a donc
On aura donc
^. cosE + r,/, sins =^Gi/Al'i cosô + i]'i sins),
et, par conséquent,
Or je puis toujours trouver un angle s tel que
^/.. cosE -h-f]A. sins = y ^|-+- -ql.
Il en résulte que
ce qui nous fournit une limitation des excentricités et des inclinaisons.
Il est un cas où cette limitation devient illusoire. Nous avons en
effet
Pj = L,(i - ^i-e'), p2= (Li— pi)(i — cosO,
ou, en négligeant les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons,
pi=Li— , p2=Li-'
Or
L( = ni\ yj nix -+- ni-, y a^
a, e et i désignant le grand axe, l'excentricité et l'inclinaison de la première planète.
Il en résulte que
contient en facteurs la masse m\ ; cette expression est de l'ordre de cette masse multipliée par le carré de l'excentricité. L'inégalité (aS) nous donne donc une limite supérieure du produit m\ e-,
soit
m'ie2< B,
d'où
Si la masse m\ est très petile, cette limite supérieure de e pourra être très grande et n'avoir aucune valeur pratique.
Il est donc nécessaire d'examiner en particulier le mouvement d'une petite planète sous l'influence perturbatrice d'une ou plusieurs grosses planètes.
Supposons que la petite planète soit la première planète, c'està-dire que în\ soit très petit. On aura alors
nit
à des infiniment petits près d'ordre supérieur. On pourra poser alors
où $0 dépendra seulement des coordonnées des grosses planètes, ou plutôt de celles des planètes fictives correspondantes, et des dérivées de ces coordonnées par rapport au temps. Quant à la fonction $), elle dépend des coordonnées de toutes les planètes et des dérivées de ces coordonnées par rapport au temps. La masse w, est infiniment petite, mais $o et $, sont finies.
Formons maintenant nos expressions R, R2, R^, R'^, S!,, T'2, S!,, T.',. Dans chacune de ces expressions, dans S!, par exemple, distinguons les termes qui proviennent de 'I>o et ceux qui proviennent de m,<ï>, ; les premiers seront finis, les autres seront de l'ordre de nii.
La fonction S', est un polynôme entier par rapport aux n variables excentriques
^1) bî • • -5 b"-
La première de ces variables se rapporte à la petite planète; elle est donc de l'ordre de y/m^; les autres se rapportent aux grosses planètes et elles sont finies. Soit alors
s;, = P2+P'2-t-9.^iP, + Porr,
où P2+ P'a est un polynôme du second degré en
P, un polynôme du premier degré par rapport aux mêmes variables et Po une constante.
P2 représente l'ensemble des termes provenant de <ï>o, etP^ celui des termes provenant de /??!$», Quant aux termes
ils proviennent tous de m, <!>,, car $0 ne dépend pas des coordonnées de la petite planète, ni par conséquent de H,. Le polynôme P2 est donc fini, tandis que
doit être de l'ordre de m,. Et comme i, est de l'ordre de >jm^ , nous devons conclure : i"" que les coefficients de Po et la constante Po sont finis; 2° que les coefficients de P, sont de l'ordre de yjmr, 3° que les coefficients de P'^ sont de l'ordre de a?î,. Si donc nous posons
p; = /niQ;, Pi=v/'«lQi> d'où
S'2= P2-^mlQ^-^■2^//«l;lQl-^Po;ï,
les polynômes
P2, Q'2, Qi. Po seront finis.
Nous avons à chercher les axes de la surface du second degré
Elle diffère peu de la surface
P2+Po^î = i-
L'un des axes de celle-ci est l'axe des i,, les autres sont perpendiculaires à l'axe des i, . L'un des axes de la surface S^ = i (à part
un cas d'exception dont nous parlerons plus loin) fait donc avec
l'axe des ç, un angle très petit de l'ordre dey/z^,. Si donc nous reprenons nos cosinus directeurs C//;, nous voyons que
Gl,3> G], 5; . . . , Ci^9„i, Cs,!, Gg,!, . . . , C^n-l,!
sont très petits de l'ordre de y///?,...
Reprenons alors l'inégalité (aa) en l'appliquant à la petite planète; nous aurons
Je dis que le second membre est de Tordre de y//??,. En effet, je dis que A, est de l'ordre de y/m, ; c'est en effet la valeur initiale de
Or
Çt = Ç1G11-I-Ç3G13-}-. . .-\- ^2«-l Gi,2«-1.
La valeur initiale de ç', est de l'ordre de y///?), parce que la valeur initiale de ^, est de l'ordre de y//??, et que C,3, . . ., C,,2«) sont aussi de l'ordre de y//;?i. Il en est de même de la valeur initiale de r/, et, par conséquent, de A,.
Le premier terme A, |Gn | est donc de l'ordre de y/m, et il en est de même des autres parce que
Gs.i» • ■ • 1 G2«— 1,1
sont de l'ordre de y/m,.
On a donc
\/û+^ < //'îTh,
H étant fini. Mais on a, comme nous l'avons vu, en négligeant les puissances supérieures des excentricités et celles de la masse /;i,,
\/^F^^ = 6\/'^s/Âi^,
où M est la masse du Soleil, a et e le grand axe et l'excentricité de la petite planète. On a donc
THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES PERTURRATIOXS SÉCLLAIRES. 233
ce qui nous donne, pour l'excentricité, une limite supérieure finie.
Il y a cependant un cas où ce qui précède serait en défaut, ce serait celui où la surface du second degré
aurait deux axes égaux (l'un de ces deux axes étant l'axe des \k)- Nous ne pourrions plus affirmer alors que ses axes font des angles très petits avec ceux de S., = i .
Pour nous en rendre compte, supposons ai = 2 de façon que la surface S', = 1 se réduise à une ellipse dans un plan. Celte ellipse dillerera très peu de l'ellipse P^+PoÇj=i qui a pour axes les axes de coordonnées. Les axes des deux ellipses différeront très peu les uns des autres et, par conséquent, très peu des axes de coordonnées. Mais, si la seconde ellipse se réduit à un cercle, nous n'aurons plus le droit d'affirmer que les axes d'une ellipse très peu différente de ce cercle sont très peu ditî'érents des axes de coordonnées.
On peut arriver aux mêmes résultats d'une autre manière.
Nos équations peuvent prendre la forme suivante :
Nous aurons
car les termes Pg et Ç| Pi sont négligeables devant Po.
De ces équations et des équations analogues pour les q/, on déduit par le procédé ordinaire les variations séculaires des excentricités des grosses planètes. Alors \i et 'r\i sont donnés sous la forme d'expressions linéaires par rapport à certains cosinus et sinus de la
forme
cos(y^ -f- /i), sin(Y^ H- /i).
Il vient ensuite
ou
dt
^-2;aPo^i = 2^^^°'('^"^^'^'
234 CHAPITRE Vlil. — THÉORIE DES PERTLRBATIONS SÉCULAIRES.
car P, est linéaire par rapport aux ç/, et, par conséquent, par rapport aux cos(y/ -\- h).
On satisfera à cette équation et à sa conjuguée
î^ -i- 2ixP^T^i = ^A dn{^( t -^ h)
en posant
Il = a cos(yo^-1- /?o)+ V
• / , N V' A sin(Y^ + /') ■'il =— asin(Yo^-H /îo) — y, '
-*^ Yo — T
où Yo = — 2tj.PQ et où a et ho sont des constantes arbitraires.
Cette expression demeurera très petite, à moins que yo ne soit égal à l'un des y, ce qui correspond au cas où notre surface du second degré aurait deux axes égaux.
Ce que nous venons de dire sur les excentricités s'appliquerait sans cliangement aux inclinaisons.
Le Verrier a montré, dans le Tome 11 des Annales de l'Observatoire, qu'il existe, entre Jupiter et le Soleil^ une position où une petite planète pourrait, sous l'action de Jupiter et de Saturne, acquérir de grandes inclinaisons, parce que le cas d'exception dont nous venons de parler se trouverait réalisé.
lo3. Nous avons ramené la recherche des variations séculaires des excentricités et des inclinaisons, c'est-à-dire la recherche des termes de rang zéro des inconnues ç et /, à Tintégration d'un système d'équations canoniques
d^i __ dK^ dru ^
^^> dt ~ ^ dr^' dt ~ ^ d\i'
et nous avons vu comment cette intégration pouvait être effectuée quand on négligeait dans R les quatrièmes puissances des ^ et des Ti.
Je me propose maintenant d'intégrer complètement le système (i). Je vais montrer en effet que les équations (i) peuvent être ramenées à la forme des équations (lo) du Chapitre VII et que, par conséquent, tous les théorèmes de ce Chapitre leur sont applicables.
Si nous faisons maintenant le changement de variables du n" loi, nos équations resteront canoniques et deviendront
d^'i dt
dR
dr;,
dt ~
dru
\ dt
154. Second changement de variables. — Grâce à la petitesse des excentricités et des inclinaisons, les termes du développement du n" 143
vont rapidement en décroissant. Pour mettre ce fait en évidence,
a36 CHAPITRE IX.
on peut faire un nouveau changement de variables qui ne nous sert que pour mieux faire saisir certaines analogies, mais qu'il faudrait se garder de faire effectivement dans la pratique. Posons
yt yu . / '/
e étant un coefficient de l'ordre des excentricités et des inclinaisons. Posons en outre
d'où
On voit que S est développable suivant les puissances de s-, des i" et des '/)", et que S^ est homogène d'ordre p par rapport aux ^" et aux t" .
Nos équations deviennent alors
^^^ dl " ^ dr;\' dt ~ ^'- dii
loo. Troisième changement de variables. — Posons maintenant
ç/ = \/2 p/ cos w,-, 7),- = v/2 p/ sin co^- ;
nos équations conserveront la forme canonique et s'écriront
dpj__ dS di^",- __ dS
^ -* dt " ^d^}' dt ~ ^'- dpf
Nous avons, en reprenant les notations des numéros précédents,
et
Nous tirons de là
Nous pouvons voir alors l'analogie coiuplète des équations (5) avec les équations (10) du Chapitre Vil.
On voit que :
ijlS joue le rôle de F,
les p" jouent » des L,
les to M »
des X,
joue » de [i.
En effet :
i" La fonction S est développable suivant les puissances de e^;
2" Pour t-= o, elle se réduit à So et So ne dépend que des p'^' ;
3° Il n'y a, en général, entre les dérivées de Sa, aucune relation linéaire à coefficients entiers, puisque les y/ sont des données empiriques indépendantes.
Cela est vrai du moins quand, toutes les planètes se mouvant dans un même plan, il n'y a lieu de s'inquiéter que des excentricités et non des inclinaisons; mais, s'il y a lieu de tenir compte des inclinaisons, nous avons vu au n" 119 que l'un des y était nul.
Je montrerai plus loin, au n° 165, comment on peut se tirer de cette difficulté; je me borne à renvoyer à ce numéro afin de ne pas interrompre l'exposition.
4° Enfin S, qui est développable suivant les puissances des c," et des V, est une fonction périodique des lo" .
156. Tout ce que le Chapitre VU nous a appris au sujet des équations (lo) est applicable aux équations (5).
En première approximation, c'est-à-dire en négligeant t- et en réduisant S à So, on trouve
ou
p'i=const., w'^ = — Y'^ + const.
Ces formules résument les résultats obtenus dans le Chapitre précédent.
On peut pousser l'approximation plus loin et appliquer la méthode de Lagrange; on trouvera ainsi, pour nos inconnues p", to", S", r/', des développements de la forme
y^ ( î2 )* A V" cos (v t-h h),
où A et h sont des constantes et où
V =: — ^A-rr/,
les ki étant des entiers.
Ce sont les constantes — y/ qui, en effet, jouent ici le rôle des moyens mouvements ni.
Dans ces développements, remplaçons t par t quand il est en dehors du signe cos et que l'exposant a de t- n'est pas nul; sous
le signe cos, remplaçons v^ par /^/t/tVi. Dans le premier terme
du développement de co'^ , où t est en dehors du signe cos, mais où l'exposant a est nul, remplaçons — y,-^ par to/; nous obtiendrons ainsi pour
// It fil f!
des développements de la forme
V ( £2 )^ \z"' COS ( V /i U- 4-
Ces développements sont ceux du Chapitre VI ; on satisfera donc aux équations (5) en y substituant
quelles que soient les constantes c et £/.
On y satisfera encore, en vertu du Chapitre VII, en substituant dans les développements
O, W i — — ^'^ t -+- TU
les y^- étant des constantes déterminées légèrement différentes des v/, et les TTSi des constantes arbitraires d'intégration.
Les Yi sont développables suivant les puissances de e- et se réduisent aux y, pour e-= o (cf. n" 131).
L'importance de ce résultat est très grande; nous avons vu en ellét qu'en négligeant les puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, Lagrange et Laplace avaient démontré que ces excentricités et ces inclinaisons devaient toujours demeurer très petites, d'où résultait la stabilité du système solaire.
Cela restait-il vrai quand on tenait compte de ces puissances supérieures? On en pouvait douter, car, en appliquant aux équa-
THKORIE COMl'LÈTE DES PKRTURBATIONS SÉCUt.AIRKS. 23çf
lions (5) la méthode de Lagrange, on voyail s'introduire des termes séculaires. A vrai dire, en prenant la ([uestion par une autre voie, on pouvait démontrer que la stabilité subsistait. On l'avait fait en tenant compte de Rj par une méthode dont nous dirons un mot plus loin, mais on pouvait se demander si l'on y réussirait encore en tenant compte des termes d'ordre supérieur.
Les considérations qui précèdent résolvent complètement la question, en ce sens que le procédé que nous venons d'exposer permet toujours de faire disparaître les termes séculaires.
Les développements
(6) V(s2)a At'«cos( V Ad
peuvent, comme nous l'avons vu au n" 138, s'obtenir de la façon suivante :
Dans ces développements (6), faisons d'abord t = o, puis remplaçons iVi par n't-h (y,- — "j'/)'^? ils deviendront
^(z^.):^A cos^^/,,v +^/c^{^l -Y) -^ h^.
Si l'on développe ensuite suivant les puissances de t, on retombera sur les développements (6). On comprend mieux ainsi d'où provenaient les termes séculaires qui figurent dans ces développements (6).
Dans les développements (6) figurent ^n constantes arbitraires si l'on a « + I corps, c'est-à-dire /i planètes. Les coefficients A et h ne dépendent que de ces /^n constantes.
On peut choisir pour ces constantes les valeurs initiales
'il -1 'il
de nos /yn inconnues. Mais, ainsi que je l'ai expliqué au n" 133, il est possible de faire ce choix d'une infinité d'autres manières. ISous verrons bientôt quelle est la plus convenable.
lo7. Tout ce que nous avons dit jusqu'ici s'applique au cas général des équations (lo) du Chapitre VIL Mais nos équations (5) sont d'une forme particulière, d'où résultent pour elles certaines propriétés analogues à celles que nous avons démontrées aux n"^ 134 et suivants.
Nous avons vu en effet que S est développable suivant les puissances des ^" et des ri" . Posons en effet
de telle façon que [J1.S2 joue le rôle de F^ et U celui de F, . Soit, d'autre part,
de telle façon que A^ se réduise à -^ quand on fait
? = T + C, Wi = — Y/ f -i- £,.
Nos équations deviendront alors
(7) ^^i—'{rrii=—t--^) . Ari,-+Y,-?,-=£2__,
analogues aux deux dernières équations (33) du Chapitre Vil. Je choisirai pour nos 4 n constantes les valeurs moyennes de
^",- cos IV i -+- 7) j- sin Wi, ^"i siniï',- — 7)',' cosu';,
que je désignerai par Ej et E^- ; je puis supposer d'ailleurs E/^= o sans restreindre la généralité. Nos formules contiennent en effet 6/2 constantes arbitraires E/, E^- et rn/, c'est-à-dire 2 n de trop; c'est d'ailleurs ce que nous avons fait au Gliapitre Vil.
Ce que nous allons chercher à démontrer, c'est que nos développements procèdent suivant les puissances de
Hi cosiVi, Ej sin tr,-,
et nous voyons déjà que l'on a, en première approximation,
^"i = E; COS Wi, i]i — E/ sin tv/.
Nous allons le démontrer par une analyse toute semblable à celle du n" i3o. Posons
^Z' = Ça- -^ ' 1/,-' ^ /•: = i/,- — ''1/.-' de telle façon que
^X,dY,+ ^l^C,dr,",
THÉORIE COMPLÉTIi: DKS PERTUnB.VTIONS SECULAIRES. 9.4'
étant difTérenlielle exacte, nos é(jiialions deviennent
(J'ai remplacé les indices i par les indices k afin d'éviter toiile confusion avec f := y/ — i).
Les seconds membres de (y ^i^) sont développables suivant les puissances des X et des Y. Ce que je me propose de démontrer, c'est que les X et les Y vont être développables suivant les puissances de
Cela est vrai en première approximation, où l'on trouve
Je suppose que cela soit vrai en (n — lyèmc approximation et je me propose de démontrer que cela est vrai en /2'*^"'<=. JNos équations peuvent s'écrire
\ A ( X/,e-''"'A ) = 2 1 £2 e-àn ^ ,
1 yVT 1
/ A(Y/,e'>A) =.it£2eMn.
analogues aux équations (og bis) du n° 135.
Les dérivées de U sont développables suivant les puissances des X et des Y; et, comme ces quantités, en (n — i^enie approximation, sont développables suivant les puissances des Ey^e-'"', il en sera de même des dérivées des U.
Nos équations (8) sont donc de la forme
équation (4o)du n" 13o, où ç est une fonction connue de t, des Eaet des iVff, de telle façon que i-^e'^^'i' soit développable suivant les puissances de - et des E^e-'"'^, le nombre s étant égal à — i dans la première équation (8) et à + i dans la seconde. En d'autres termes, on a
A est lin coefficient constant, ?n un entier; I 1 E"^' représente P. — I. i(i
le produit
Les q et les p sont des entiers satisfaisant aux conditions
<lJ=P.i (mod-2), (lj^\Pj\ (J<^^),
q,, = pi,^s (iiiod.ij, qn-^^\pic-^ s\,
analogues aux conditions (42) du n" J3o.
Nous avons vu au n° 135 que u sera de la même forme que v à la condition que Tintégration soit conduite de telle sorte que la valeur moyenne de u soit nulle, ou soit égale à un développement de la forme (9).
Cette condition est remplie, car nous conduisons nos intégrations de telle façon que les valeurs moyennes de XAe^'"'/., Y/,^^'"'/. soient liine et l'autre égales à E/, ; on a donc
V;il. iiiiiv.... \ /.(■-'■"'•*— r-''»'A (]<]/,. e;'"'A ), Val. iiiov. . . . V/,e'"'^ --w-'i>'i (E/,e-'<*'«.).
Ces valeurs moyennes sont donc ])ien de la forme (9); il en est donc de même des inconnues qui jouent le rôle de u dans les équations (8), c'est-à-dire de XAe"'"'/(, Yy;e'**''^, le nombre s étant égal à -h i pour la première, à — i pour la seconde.
Cela veut dire que X^i et Ya sont développables suivant les puissances des Ee~'"'.
io8. Nos équations (5) ne changent pas quand on change
"! 'î/l 'il
en
quelle que soit la constante h. Dans ces conditions, les valeurs moyennes E^ et E'^, qui nous servent de constantes d'intégration, se changent en hlL/ç et en h K'^.
Nous avons supposé E/= o ; mais nous voyons que si nous
changeons £ en "? E/i en hK^, nos inconnues ç^- et ri"; se changent
en hq'^ et h-i\'^, tandis que
THÉORIK COMl'UiTK DKS l'KRTUnilATIONS SÉCULAIRES. 243
ne changent pas. Donc i',- et ■r{- sont dévcloppahles suivant les puissances de -z et de
eE/, costr/,, eE/^. sin d'/,,
les coefficients du développement ne dépendant plus cV ailleurs ni de s, ni de x, ni des E, ni des iv.
Cette circonstance nous montre bien rinutilité pratique du changement de variables du n' loi qui ne nous a servi que pour faciliter l'exposition. Nous supposerons donc dans la suite s = i .
lo9. Nos équations ne changeut pas quand on change les signes de toutes les inconnues i" et •/)'', car la fonction S ne contient que des termes de degré pair par rapport à ces inconnues.
Changer tous ces signes, c'est changer aussi les signes des va« huirs moyennes Eyt.
Si donc nous changeons les signes des valeurs moyennes E^, nous changerons les signes de toutes nos inconnues; d'où cette conséquence :
Les développements des ;" ou des r/' (ou, en faisant £ = i , ceux des ç' ou des r^) suivant les puissances des
E/,cos(^'/,, E/^ sintp/..
ne contiendront que des termes de degré impair.
Si nous nous rappelons que les ç et les y| sont des fonctions linéaires des l' et des r/, nous verrons que les ^ et lesr^ peuvent se développer suivant les puissances de
T, E/,. cos»'/,, Iv.siniv/..
On satisfait aux équations du mouvement en faisant dans ces développements
Alors les \ et les r, sont dévcloppahles suivant les puissances de
E/, cos ( y'/, t — cTx- ), E/, si n ( y'/, t — ct/, ) ;
les développements ne contiennent que des termes de degré impair.
1(30. Nous avons vu au Chapitre Vil (n° 136) que les /?^ sonl développables non seulement suivant les puissances de a, mais suivant celles de E-.
De même ici les ^'- seront, comme les ; et les r,, développables suivant les puissances des
E/, cos H'/,, E/: sin ir^.
et, comme ils doivent être indépendants des tv, suivant les puissances des E|.
Les E/^, quand on suppose £ = i, sont des quantités très petites de l'oi'dre des excentricités et des inclinaisons.
Quand on fait E|= o, les y^ se réduisent aux y/.
Remarquons que les y,-, d'après leur définition, sont déjà des quantités très petites de l'ordre de tx; les différences y|- — y, seront plus petites encore et de l'oi'dre de [jlE-.
161. Symétrie. — J'observe que nos équations ne changent pas quand on change t en — /, et /j en — yj.
Si donc nous changeons (v en — tv, Ten — t, sans changer les Ea^, les Ç ne changeront pas et les -/j changeront de signe.
Nous pouvons faire
quitte à faire ensuite
alors les développements des Ç suivant les cosinus et les sinus des multiples des w ne contiendront que des cosinus et ceux des •r\ ne contiendront que des sinus. On aura donc
(lo) <
ou
qj = Pj (mod-2), (lj-i\Pj\-
C'est là une conséquence de la symétrie par rapport au plan des
162. Si Ton fait tourner le système d'un angle quelconque s ;ui-
TIIÉOUIK COMPLÈTIi DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. > 1 »
tour Je l'axe des ^3, nos équations ne changent pas el ç, t, se changent en ^ coss + y, sins, — ç sins + r, coss.
SI donc nous augmentons tous les 07 d'une même constante e, les expressions
doivent être respectivement multipliées par
On aura donc
A cos (" 2 pj ivj + V pj ç^ + ,• A' s i II ( ^pj iv, -^ 2 Pj '^) = e+'M A cos VyDytry-l-iA' siu^/jyU'yj, d'où (II) A = A', ^Pj^ + i,
conditions nouvelles auxquelles doivent satisfaire les développemenrs (10).
1G3. Nos équations ne changent pas non plus quand on change les signes de toutes les variables obliques. C'est là une conséquence de la symétrie par rapport au plan des a:^X2.
D'après nos conventions, les indices impairs correspondent aux variables excentriques ;/ et r,/ et aux constantes Ea correspondantes; les indices pairs aux variables obliques li et r,, et aux constantes Ea correspondantes.
Si donc nous changeons les signes de toutes les constantes Ea d'indice pair, les ç et les r; d'indice impair ne changeront pas, les i, et les Yi d'indice pair changeront de signe.
Donc, dans les développements (10), les sommes
ji
étendues à toutes les valeurs paires de l'indice y, sont paires pour les variables excentriques, et impaires pour les variables obhques. C'est le contraire, en vertu du numéro précédent, pour les mêmes, sommes étendues à toutes les valeurs impaires de l'indice y.
246 CHAPITUK IX.
164. Intégrales diverses. — Les équalions (lo) nous donnent les ^ et les yj sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes des
(l -2 ) E/,. cos H'/,, E/, sin »7...
On peut résoudre ces équations par rapport aux quantités (12) et l'on trouve alors
/ E/, sin(i7,= <!^/,(i, rj,
les seconds membres étant des séries procédant suivant les puissances des i et des r^. On en déduit les intégrales
('4) cp^.+ (|/|. = E|= const.
Nos équations possèdent donc des intégrales développables suivant les puissances des ^ et des -/i. Supposons que, négligeant les puissances supérieures des l et des y,, nous réduisions R aux premiers termes de son développement
de sorte que nos équations deviennent
^__ d{Ri-+- Rt) dr, ,/(R,-f-R,) df - '-^ d'r, ' dF - ''■ dl
Négligeons également dans le premier membre de (i4) les sixièmes puissances des ^ et des r^, et soit
ce qui reste de ce premier membre après cette réduction (il est clair que ce premier membre ne peut contenir que des termes de degré pair; Va et V.4 représentent donc respectivement les termes du deuxième degré et ceux du quatrième). On aura alors identiquement
dVo dR, dV. dR.
d\ dr, dq d\
-^ V d\ dr^ dri d'^' I .^ \ </^ dr^ dr\ d\ J
THÉORIE COMPLÈTE DES PERTURBATIONS SÉCUI-AIRES. "i'O
M. Cellérier, de Genève, avait déjà remarqué qu'il existe des polynômes Vo et V, satisfaisant à ces identités.
Cette remarque lui avait déjà fait soupçonner la possibilité de faire disparaître les termes séculaires, possibilité qui vient d'être complètement établie.
16o. Au n" loo, j'ai fait observer que, quand les planètes ne se mouvant pas dans un même plan, il j avait lieu de calculer non seulement les perturbations séculaires des excentricités, mais encore celles des inclinaisons, on rencontre une difficulté, provenant de ce qu'un des coefficients y est nui.
Il est temps de revenir sur cette difficulté et de montrer ]>ar quel artifice très simple on peut l'éliminer.
Nous avons vu quelle était la forme des intégrales des aires ; elles peuvent s'écrire
H — VL — 'yp =const.,
U =y rol/ln— Pi— — = 0')nsl.,
st.
(cf. n" \M). Elles subsistent quand on réduit les L, les p, les ; et les r, à leurs termes de rang zéro. Cela revient en efi'et à développer les inconnues suivant les cosinus et les sinus des multiples des iv et suivant les puissances de a et de u-t = t', et à faire ensuite |Ji = o, t' restant fini; les intégrales des aires, \raies pour toutes les valeurs de ul, subsisteront évidemment pour [j. = o.
Choisissons le plan invariable pour plan des x.^o; les intégrales U et V seront nulles.
Je dis que, dans les équations (i), nous pouvons alors renvplacer R par R-l-aU- + aV-, a étant un coefficient constaiït quelconque. On a en efl'et
dii dit ' d':ii "" ' d':^i f/^/
puisque U et V sont nuls, et de même
dr^i dij
I^S CHAPITUI-: IX.
On obtient ainsi Jes équations
d'zi d( R -4- a I J2 ^- a V^ ) r/q, rf( H + a U^ ^ a V^ )
Cela ne veut pas dire que toutes les intégrales de (i5) appartiennent à (i) et inversement, mais seulement que le système (i5) et le système (i) ont une inlinité d'intégrales communes, à savoir celles qui satisfont à la condition U = V = o ; nous ne restreignons pas la généralité en nous bornant à envisager ces intégrales.
Cela revient en ellet à supposer que le plan invariable est le plan des XiX.y] et nous pouvons toujours choisir les plans de coordonnées de façon à satisfaire à cette condition.
Comparons maintenant les fonctions
Je dis que la seconde de ces fonctions est de la même forme que la première. Elle est en effet développable suivant les puissances des ^ et des yi et ne contient que des termes de degré impair par rapport à ces variables.
Envisageons maintenant les termes du second degré; ils s'écrivent
où
On voit que les quatre expressions
peuvent jouer le rôle de SJ,, T.., S'!., T'^, car les deux premières ne dépendent que des variables excentriques, les deux dernières dépendent seulement des variables obliques; d'autre part, la première et la troisième dépendent seulement des ^, la deuxième et la quatrième seulement des 7, ; enfin la première et la troisième sont formées avec les ^, comme la deuxième et la quatrième avec les f]. La fonction
THÉORIE COMPLÈT^S PKS PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 249
satisfait d'ailleurs aux mê^\e.s conditions de symétrie que la fonction R.
Les équations (i5) sont donc de la forme de celles que nous avons traitées dans ce Chapitre. Seulement la difficulté signalée a disparu. Aucun des coefficients que nous avons appelés y n'est nul.
Nous pouvons donc appliquer au système (i5) toutes les conclusions de ce Chapitre. Ce système est d'ordre 4^ (s'il y a n -|- i corps, c'est-à-dire n planètes), et les 4'^ variables ^ et n peuvent se développer suivant les puissances des ^n quantités
E/, ces ( y'/, t — mi), E/, sin ( -,'/.■ t — ■^a) ( A" = i , 2, . . . , 2 « ),
où les E;;^ et les m/( sont ^n constantes d'intégration.
Il est clair que l'un au moins des coefficients y'^. dépendra de a, puisque l'un des y/i dépend de a, et que y'^. se réduit à y^ quand toutes les constantes Ea sont nulles (cf. n° 160). Soit y!,,, ce coefficient ou l'un de ces coefficients. Nous ne devons conserver que les solutions qui sont communes aux deux systèmes (i) et (i5) et pour lesquelles U = V = o. Ces solutions ne doivent pas dépendre de a; elles ne peuvent donc dépendre de l'argument
ce qui montre que, pour ces solutions,
D'autre part, ces solutions dépendent encore de 4'^ — 2 constantes arbitraires, puisque nous ne leur imposons que deux conditions U = V = o, et elles dépendent de 2/1 — 1 arguments -''^ t — T^/,, puisque 2/1 — i des y ne sont pas nuls pour a = o. Donc les autres constantes
El, E2, . • . , E^,,—!
ne sont pas nulles en général.
166. Pveprenons les crochets de Jacobi définis au n° 16, c'està-dire posons
25o CHAPITRE IX.
Les équations (i5) prouvent que
dt ' ^ -"
De plus, comme H, U cl V sont des intégrales de l'équation (i),
on aura
Il est aisé de vérifier, d'autre part, que l'on a
On conclut de là
[H, R^aU2 + aV2] = o,
ce qui montre que H est une intégrale des équations (i5 ). On a donc
H — coust.
On trouve, d'autre part,
d'où, en se rappelant que H est une constante,
(iG) U = Asin(2a|JLlIi!-i- p), V = A cos(2a [jiIU + p),
où A et |3 sont des constantes d'intégration.
167. Je ne veux pas quitter ce sujet sans avoir expliqué la signification géométrique des équations (i5). Pour bien la faire comprendre, supposons que nos inconnues \ et r^ soient regardées comme des fonctions de deux variables indépendantes ~ et m, définies par les équations difi"érentielles
, , d'- d\\ dr. dR
dx df^ a~ dz,
du dc^ du d^
et la première question qui se pose est celle de savoir si ces deux
THÉORtK COMPLÈTE DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 25 1
systèmes (17) et (18) sont compatibles. Nous trouvons en effet
ch du
Ut) -4:^--^']'
= — fj-
dn d div-^-hW^-) rt/(U2+v2)
dz du d-, di\
Ces deux expressions sont-elles identiques? Oui, car les équations (i) admettant U--f- V- comme intégrale on a
En difFérentiant cette identité par rapport à r,, il vient
Les deux systèmes sont donc compatibles; si alors je fais
■z = t, i( = const.,
je retombe sur le système (1), et si je fais
T = /, Il = Oit -+- con«t..
je retombe sur le système (i5), de telle façon que, de la solution générale du système (17), (18), je déduis immédiatement la solution générale soit du système (1), soit du système (i5).
Envisageons en particnlier les équations (18) et supposons que, u étant une variable indépendante jouant le rôle du temps, les variations des ^ et des r\ soient définies par ce système (18); quelle sera la nature de ces variations?
Je considère la figure formée par les n -+- 1 corps, ou, si Ton aime mieux, par le Soleil placé à l'origine et par les n planètes fictives définies au Chapitre II et dont nous avons appelé les coordonnées x'-, et en outre par les vecteurs qvii représentent en grandeur et direction les quantités de mouvement de ces planètes fictives et dont nous avons appelé les composantes y- .
Soit <I> une fonction quelconque ne dépendant que des distances mutuelles des n planètes fictives et de l'origine et en outre des grandeurs des vecteurs (j)', , J"',, JK^, ), •■••. et des angles (jue font
ces vecteurs entre eux ou avec les droites (|ui joignent les n [)]anètes fictives et l'origine. En un mot, soit <ï> une fonction indépendante du choix des axes de coordonnées. Je dis que l'on aura
car on a
(20) [*, IJJ = [*, UJ = [*, V] = 0.
Et en effet, pour établir cjue les équations du problème des trois corps admettent les intégrales des aires, nous nous sommes simplement appuyés sur ce fait que la fonction F était indépendante du choix des axes. Donc le système
dx'i d<i> dy'i d<i>
dt dy'i dt dx'i
admettra les intégrales des aires, ce qui entraîne les égalités (20) et, par conséquent, l'égalité (19).
Mais cette égalité signifie en même temps que 0 est une intégrale des équations (18).
Reprenons alors la figure dont nous venons de parler et qui est formée de l'origine, des planètes fictives et des vecteurs
iy^y'-i. y'z)^ ••••
De ces données, on peut déduire les orbites osculatrioes des diverses planètes fictives et le vecteur des aires OA dont les composantes sont U, V, H, de sorte que ces orbites et ce vecteur peuvent être regardés comme faisant partie de la figure.
Eh bien, si les variations de cette figure étaient définies par les équations (18), cette figure se déplacerait à la façon d'un corps solide^ sans se déformer, puisque toute fonction <E> indépendante du choix des axes demeurerait constante.
L'origine, d'ailleurs, dans ce mouvement, demeurerait fixe, de sorte que ce mouvement se réduirait pendant un instant à une rotation autour d'un certain axe instantané 01 passant par l'origine.
Pour trouver cet axe, revenons des variables
TiiKORiK coMpLirri-: i)i:s i>i:uti RnATioxs séculaires. ■>■}*
aux variables priinilives x'- et y]; le système (i8) deincurera canonique, j)uis(|u«; le (•lian<;cnicnl de variahics (|ui lient les deux systèmes de variables est un cliangemenl canonicjue.
Observons d'ailleurs que le système (iH) de\rait naturellement être complété par les équations
du dX lia dL
L'addition de ces équations ne nous gênera pas, puisque L - 4- \ ne dépend pas des ). ; d'où il résulte : i" que les L sont des constantes; 2" que nous n'avons pas à nous préoccuper de calculer U
,, • , dl dérivée t-' au
Si donc nous revenons aux variables x' et y', notre système deviendra
, , dx'i rf(U2-4-V2) dy'i J(U2-4-V2) <"■*') -77. =1"- :7T7 ' 7777=-!^
avec
du dy'i du ' dx'i
{cf. Cliapitre II).
Il vient alors
du
Si le point x\, x'^, x\ est situé sur l'axe 01, on doit avoir
dx\
tu
et, par conséquent.
Donc l'axe instantané Ol est dans le jjian des X\X-i.
D'autre [)art, le vecteur des aires OA doit être constant en f;randeur; sa projection H sur le plan des .r,a:2 est constante également puisque H est une intégrale. Ce vecteur fait donc un angle constant avec l'axe des x^ et son extrémité A décrit un cercle ayant son centre sur cet axe.
La vitesse de ce point A est donc perpendicidaire d'une part au plan,roOA, d'autre part au [)lan lOA. C.c (pii pimap (pirccs deux
•254 CllAl'IïRli IX.
plans coïncideul et <|iie l'axe instantané 01 est la projection du vecteur OA sur le plan des ;r, x^.
L'angle lOA est constant, de sorte que l'axe 01 reste constamment sur un cône de révolution C invariablement lié à la figure mobile et ayant pour axe le vecteur OA.
Le mouvement envisagé se réduit donc au roulement de ce cône C sur le plan des XiX.2-
La signification du système (i5) est maintenant bien claire. Soit V la vitesse d'un point quelconcpie de notre figure à supposer que les variations de cette figure soient définies jiar le système (i); soit v' cette même vitesse à supposer que ces variations soient définies par le système (i8) et que u représente le temps; soit enfin t'" cette même vitesse à supposer que ces variations soient définies parle système (i5)- Alors la Altesse r" sera la somme géométrique de V et de ac'.
Ou, si Ton ])réfère, nous pourrons supposer que + a (^'représente la vitesse d'un système d'axes mobiles, invariablement lié au cône mobile C, et que v représente la vitesse relative d'un point de notre figure par rapport à ces axes mobiles, en admettant que ce mouvement relatif se fasse conformément à la loi de Newton, c'est-à-dire aux équations (i); alors v" sera la vitesse absolue.
Nous pouvons, au contraire, regarder les axes fixes comme mobiles et inversement; dans ce cas, notre système (i) représente le mouvement absolu de nos n + i corps obéissant aux lois de Newton, et le système (i5) représente le mouvement relatif de ces mêmes corps par rapport à un observateur in\ ariablement lié à un plan qui roule sur un cône de révolution fixe C.
Telle est la signification géométrique cberchée.
168. Introduisons les trois angles d'Euler [cf. Appell, Mécanique rationnelle, t. II, 2*^ édition, p. 142) qui définissent la position des trois axes de coordonnées mobiles invariablement liés au cône C, par rapport aux trois axes de coordonnées fixes. Le troisième axe de coordonnées mobiles est précisément la droite OA.
On voit que si nous faisons varier m, t restant constant, l'angle f) reste constant, les angles cp et <!/ varient proportionnellement à u.
THÉORIE C011l>LKrE DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 255
Les coordonnées par rapport aux axes fixes seront des fonctions des coordonnées par rapport aux axes mobiles et des trois angles (rEiiler. Considérées comme fonction de ces angles, elles seront développables suivant les puissances de
, . .0 ces 4/ — 9 0 ces t!/ -f- G
(9-2) Sin - . '■ , CCS- . -' -•
2 sin 2 2 sin 2
J'ajouterai qu'elles seront des polynômes homogènes et du second degré par rapporta ces quatre quantités.
De mémo, revenons à nos inconnues q et /,. Si nous rapportons le système à nos axes mobiles (je veux dire variables a\ec u, mais invariables pour u constant), elles satisferont aux équations (i); si, au contraire, nous rapportons le système aux axes fixes et que nous fassions varier à la fois u et t de telle façon que z = t, Il = y.t -\- const., les inconnues satisferont aux équations (i5).
Soient ; et r, les valeurs de ces inconnues, le système étant rapporté aux axes fixes; soient |' et y/ leurs valeurs, le système étant rapporté aux axes mobiles.
Alors les q et les vi seront des fonctions des q' et t/ et des quantités (22); ce sont des polynômes homogènes, d'une part du premier degré par rapport aux ç' et y/, d'autre part du second degré par rapport aux quantités (22).
Or les q' et les r/ représentent précisément les solutions communes aux systèmes (i ) et (i5) que nous avons traitées au n" I60. Elles sont donc développables suivant les puissances des expressions
T- ces
L (. . iv/, ( A = 1 , 2, . . . , m — I ).
Posons
.0 "V — ? '^ — ? ri\
sin- = Lo/i-, — =Wi. • = w., (M.
Comme cos- est développable suivant les puissances paires de
(') Inulilc de faire observer que les quantités w, et u., introduites dans ce numéro n'ont aucun rapport avec celles que nous avons désignées plus haut par les mêmes lettres. Dans les Chapitres suivants, nous rendrons à ces lettres leur signification primitive.
256 ciiAPiinE IX.
sin-j les ^ et les -^ seront développables suivant les puissances de
cos sin
et pourront se mettre sous la forme
l =2^ E'/„COs/ 2 Ay (l'y -}-/>! 0),-i-/?2W2
T, = 2 A' E^„ sin ( 2 '''V "V -'- />! w, 4- p.2 W2 + // j .
Les coefficients A, A' sont des constantes qui contiennent d'ailleurs en facteur
Nous déterminerons bientôt les constantes h et A'. L'entier positif rJ^ est au moins égal à /?i en valeur absolue. Quant aux entiers/», et/Jo ils ne peuventavoir d'autre valeur que o, ±i, ±2.
Reprenons le raisonnement du n" 161 ; nous choisirons des solutions particulières, telles que les valeurs initiales des v)' soient nulles pour
la symétrie des équations exige que, pour ces solutions, les \' ne changent pas et que les tj' changent de signe quand les w changent de signe. Ces solutions sont bien celles que nous avons envisagées; car elles satisfont manifestement à la condition
Si donc nous changeons les signes des w et des co, les ^' ne changeront pas, et les tj' changeront de signe; par conséquent, à cause de la symétrie des relations qui lient les ^ et les v], aux ^', r/ et 10, les ^ ne changeront pas et les q changeront de signe. Cela revient à dire que h et /// sont nuls.
Reprenons maintenant le raisonnement du n° 162.
Je suppose que l'on fasse tourner le système d'un angle s, soit autour du troisième axe de coordonnées fixes, soit autour du troisième axe de coordonnées mobiles.
Dans le premier cas
(Vl, IV,, .... i^'2/J- 1
TlIKOUIi: COMPLKTK DKS PKIITIU HATIONS SÉCULAIRKS. 257
ne changeront pas, 'l ne changera pas, o augmentera de s. ^ et t, devront se chaniier en
; COSî -+- Tj sin E, — ; pillî -T- Y] COSE.
D'ailleurs to, et Wo se changeront en
Cela \cul dire cpie Ton doit a^olr
Oa aura donc lune des trois solutions
Faisons niainlenanl tourner le système autour du troisième axe mohile; tous les (v augmenteront de s; mais si en même temps je fais tourner les axes mohiles d'un angle — $, c'est-à-dire si je change 'l en -]; + s, la position du système par rapport aux axes fixes ne changera pas; et les ç et les -^ ne changeront pas.
Les ç et les Tj ne changeront donc pas si je change w en (v-f-;.
en tL)| + --7 (Oo en ojo -}- -• Cela entr.iîne la conséquence
,,^!h±Jh=„.
Introduisons maintenant des ai^guments auxiliaires
iv'l = H'/ — a (.0 2 ( i = I , 2, . . . , -2 /i — I),
tVo,, ^ oji — Wo ; on aura, en ^ ertu de la valeur de 2, ^'' trouvée plus haut,
^ k (V -T- /J I co] ^ p-i W2 =: 7^ ki w'ï -;- /:>i (p^ «i d'où
' ^ 2 ''^^'^'" '^'■'^ ( ^ f'i''^''i — Pl "'2/J>
■1 = V AEfîjSin ( y /.7BV-H/)i(v;„ ).
a58 CHAPITRK IX.
On voit que les l et les y; sont développables suivant les
puissances de
cos , cos ,
K/ . iVf, E2,, . n',„.
siii sin
On voit aussi que la somme des coefficients entiers
est égale à + i, ce qui est conforme au résultat obtenu au n" 16^. Ces arguments «v' varient proportionnellement au temps t, mais, si on les regarde comme des fonctions linéaires des deux variables indépendantes t et u introduites plus liaul, on voit que
dépendent à la fois de t et de u (puisque les tr, dépendent de t (Ct Wo de «) mais que leurs différences ne dépendent que de t. Quant à <vl,^, il ne dépend que de u. Si l'on fait E^^^o, les termes qui contiennent w'^ disparaissent et il ne reste que les itermes pour lesquels y>, :=</, = o.
En même temps -7^ s'annule et too se réduit à une constante, de 1 du
sorte que nos expressions ne dépendent plus de a et satisfont à la fois aux équations (i) et aux équations (i5).
Ainsi se trouve élucidée complètement la signification géométrique des équations (i5), ainsi que leurs relations avec les équations (i).
169. Les considérations précédentes pourraient être considérablement simplifiées en modifiant l'artifice employé. Remplaçons le système (i5) par le système
et les systèmes (17) et (18) par les systèmes
d\ f/R dr^ d\^
dl d\\ d:r^ d\\
THEORIE COMPLET): DES l'EltTL UliATlONS SÉCILAIKES. ïjg
On verrait comme plus haut ([ue les deux systèmes (i^ bis)
et (18 bis) sont compatibles et que l'on peut déduire la solution
des équations (i5 bis) de celle des équations (i- bis) et (18 bis) en
y faisant
T = /, u = y.t. ■+- coust.
On vendait également que la fonction R + aH est tout à lait de même forme que la fonction R, et par conséquent que les équations (i5 bis) sont tout à fait de même forme que les équations (i) avec cette différence qu'aucun des y n'étant nul, la difficulté signalée plus haut ne se présente j)as.
Quelle est maintenant la signification géométrique des équations (i5 bis) et d'abord celle des équations (18 bis). Celles-ci s'intègrent immédiatement, car elles s'écrivent
du '■^^" du '■^''
Elles nous apprennent que, quand la variable a varie proportionnellement au temps, tandis que preste constant, tout le système tourne autour de l'axe des x-i d'un mouvement de rotation uniforme, à la façon d'un corps solide.
Les équations (i5 bis) représentent donc le mouvement de nos n -+- 1 corps rapportés non à des axes fixes, mais à des axes mobiles tournant uniformément autour de l'axe des ^s.
Lune des propriétés des équations (i5) ne se retrouve plus ici, car les équations (i) et (i5 bis) n'ont aucune solution commune. Mais il est aisé de déduire la solution générale des équations (i) de celle des équations (i5 bis). Soit en effet
la solution générale des équations (i5 bis). En vertu du n'* 102, on a
On doit d'ailleurs faire Comment les y' et les B dépendent-ils de a?
.,^3() CIIAPITRK IX.
Si je change a en a + ['i, la vitesse angulaire de rotation des axes mobiles augmente de B;a, de sorte que l et r, se changent en
^ cos[3;Ji/ -h Tj sin [îa^ — ^ sin '^•xf -r- r, cos ji;^/,
ce qui montre que «•/ doit se changer en n/- [^iu./. Donc, quand a se change en a + ^i, les y' se changent en y' + [ii;^. et les B ne changent pas. Donc les B sont indépendants de a et les y' sont des fonctions linéaires de a; de plus leurs difterences sont indépendantes de a.
l'our avoir la solution des équations (i), il suffit de faire y. = o\ nous savons que pour a = o, l'un des y', à savoir yl,,, s'annule. Donc, p(.ur a = o, le coefficient y; se change en y; — yl,,.
Donc, pour trouver la solution des équations (i), il suffit dans les formules (23) de faire
Il ne sera pas nécessaire d'ailleurs de former eflectivement les équations (i5), ou (i5 bis)] on pourra partir des équations (i) et le calcul se poursuivra sans cpi'on rencontre aucune difficulté. Si j'ai introduit les équations auxiliaires (i5) ou (i5 bis), c'est pour démontrer que ces difficultés ne se présenteront pas. C'est un artifice de démonstration, ce n'est pas un artifice de calcul.
170. Généralisation. — Dans tout ce ([ui précède, la fonction R était supposée d'une forme particulière :
i" Elle ne changeait pas quand on changeait les signes de tous les Ti, ou encore quand on changeait les signes de toutes les variables obliques. Si l'on renonce à cette condition, tous les résultats subsisteront, sauf ceux des n"^ 166 et 163;
2" Elle ne changeait pas quand on changeait l et Tj en
^ cos£ — Tj sin£, ^sins H-r, cose.
Si l'on renonce à cette condition, tous les résultats subsistent encore, sauf ceux du n" 162;
3« Elle ne contenait que des termes de degré pair par rapport aux l et aux Tj. Si elle contient des termes de degré 3, 5, 7, . . ., mais pas de terme de degré 1, tous les résultats subsisteront, saul ceux du n" 139.
TiiÉoimi: coMPLKTt: di:s perturbations sÉr:cL\iRi£S. '(n
Les q et les r^ seront encore développables suivant les puissances des quantités
,, cos
iv,- . '■•'
Slll
mais les développements contieudrout non seulement des termes <le degré impair, mais encore des termes de degré pair. 4'' Enfin, la fonction R, était d'une forme particulière.
(^u'arrive-t-il lorsqu'on renonce à cette dernière condition? Soit alors Ro un polynôme quelconque homogène et du second degré par rapport aux 4/i variables ç et t] et soient les équations canoniques
dli dR-î dr^i 'VH2
Ces équations sont linéaires et à coefficients constants. Elles admettront donc ^n solutions de la forme
(25) ^i=n'ie'-^^, r,^=3fe>.l^
et il reste à déterminer les constantes af , ^f , Aa; nous trouvons
Je suppose, bien entendu, en écrivant ces équations, que dans Ro les variables ç/ et r^i ont été remplacées par aj et l^-,.
Entre ces 4/i équations (qui sont linéaires et homogènes par rapport aux a et aux ^) j'élimine les 4 /i quantités a et ji. J'obtiens ainsi une équation algébrique de degré ^n en Aa dont les racines seront deux à deux égales et de signe contraire.
Soient
(26) i-=V/A^''^'» ■r:'i=OikeV-i^t^
une autre solution des équations (24), correspondanl à une aulrc racine ^-k de Féquation en Aa.
A l'aide des deux solutions (25) et (2(3) formons l'expression
■2.6?. ClIAIMTUi: I\.
Cette expression est une constante, car sa dérivée s'écrit
ou
vA':^
et cette dernière expression est nulle en vertu des théorèmes bien connus sur les formes quadraticjues.
D'autre part, cette expression (2-) est égale à une constante multipliée par
Il faut donc (jit hien c[u'elle soit nulle, ou que iji.y;.+ À^=: o. Mais, si l'expression (aj) était nulle quelle que soit la racine [jla choisie, elle serait nulle cjuand on remplacerait ç^', r^'- par la solution générale des équations (24)5 puisque celte solution générale est une combinaison linéaire d'expression de la forme (26). On aurait donc entre les ç et Tj une relation linéaire et ces variables ne seraient plus indépendantes.
Donc, si nous nous donnons X^i nous aurons une racine [j-a telle cjue [JL/, + Àa= o, c'est-à-dire que les racines de notre équation sont deux à deux égales et de signe contraire. c. q. f. d.
Prenons donc [Jla^ — Aa- L'expression (2-) sera une constante différente de zéro et nous pourrons, sans restreindre la généralité, supposer que cette constante est égale à i ; posons
Nous avons /\ n racines Aa, nous ne donnerons toutefois à l'indice l{ cjue 2 /i valeurs, parce cpie chaque couple de racines Aa et — ).A ne doit être pris qu'une fois.
Formons l'expression
^{\i dr^i - r^i d\i ).
THÉORIE COMPLÈTli: DES PERTURBATIONS SÉCULAIRES. 263
Si j'observe que d'api'ès les propriétés de Téqualion (27) ou a
je vois qu'il \ieut
y^ilj dr,i- T,i d\i)= v/^T^fX/, d\,,- Y/, d\u), ce qui montre que
est une différentielle exacte.
Nos équations (24), conservant leur forme canonique, deviendront
, , , . rfX/, . f/R, dY,, . d\\.
( -24 bis ) —r— — l \X -pr^ , —7— = l[X -rrr^ •
^ dt ' dY/, dt ' d\i,
Or ces équations doivent admettre pour solution
X/, = eX^S Y/, = e ->>.', Xy = Yy = G (y > /:).
Il faut donc que l'on ait
. fl?R2 ^ .. . dK^ ^ -r
d'où
î[jlR2 = -+-^ A/,X/,Y/,.
Soit maintenant
[Je ne donne plus ici aux lettres ^' et v]' la même signification que dans les équations (20)].
On voit que
aX/,. rfY/. -f- 2 i^'/^ dr^'/.
est une différentielle exacte et qu'il en est de même par conséquenl
2G4 CIIAI'ITIIK IX..
de
V X dY ^ i\ r cl,
et de
Les équations (24) deviennent dès. lors d'il
et Ton a d'ailleurs
dl\.,
dr: '
dr^ d\\,
dl ~ '^ (/^'
La fonction R^ exprimée à l'aide des nouvelles variables est doue ramenée à la même forme que par le changement de variables (hi n" loi ; de sorte que le changement de variableis que nous venons de définir et t[ui est canonique et linéaire, jieut remplacer dans le cas général celui du n" loL
Les quantités -^jouent le rôle des y^.
Suj)posons maintenant que l'on ait
où Pv.1 est de la ionne envisagée dans le Chapitre Vlll et dans hcommencement du Chapitre IX, tandis que Pi", est très petit. C'est ainsi que les choses se passeront dans toutes les applications que nous pourrions a\oir à faire.
Considérons les \aleurs des y/, formées à l'aide de la fonction R', ; ces y/f sont tous réels d'après le n" 145 et, si R.', était nul, on aurait
Supposons d'abord qu'aucun des y/, ne soit nul. Dans ce cas les X/, sont rangées par paires; les deux à/, d'une même paire doivent être imaginaires conjuguées, et en même temps égales et de signe contraire. JNous savons en elfet que les \k doivent être deux à deux imaginaires conjuguées; et comme elles diffèrent très peu des /vy;, ce sont les deux X]^ qui diffèrent très peu de + i^'k et de — ?'v/. (pii sont conjuguées. D'autre part nous sa\ons que les À^ sont deux à ■deux égales et de signe contraire; et ce ne peut être là aussi (pic
TflÉORli: COAIPLIÏTIC DES PERTLKBATIOXS SKCULAIKICS. 'iGS
les doux: ),/■ c[ui ditrèrenl très peu de + i^'k et de — /*'/.• Donc àa el ^ À/, sont imaginaires conjuguées; doù il suit que les deux solutions (20) et (2<)) sont imaginaires conjuguées et que notre changement de variable est réel.
Ce raisonnement ne serait pas applicaljie au cas où l'un des y serait nul; parce que deux des racines A/^ et — A/, pourraient être réelles el très voisines de zéro. Mais, dans toutes les applications (|ue Ton pourrait a\t)ir à faire au problème des trois corps, on pourra toujours ramener au cas où aucun des -' n'est nul, en employant soit lartifice du n" Î60, soit celui du n" 169.
