On peut aussi se poser le problème autrement. Supposons
que l'on ait
R = R'^ ,aR',
<pie Pi soit de la forme envisagée au début de ce Chapitre; que |jl soit \\n paramètre très petit; que R'' soit quelconque, assujetti seulement à être développable suivant les puissances des c et des tj, mais pouvant contenir des termes de tous les degrés et même de degré un, et avec des termes du second degré de forme quelconque. Les équations (1) deviennent
d\ __ ^ , ^^' (h dK' ^ d^
dt ^ ~ '■'' 11^ ''-' 'dr, ' 7/7 ^ '■' ^ "" '■"" ~d\ ■
Nous allons faire le changement de \ariables du n" loi puis celui du n" loi, mais en posant en même temps ij. ^ s' y.', de sorte que l'on aura
et en écrivant
R'=RoH-r; + r:+...,
o.'i R^. représente l'ensemble des termes de degré k, nous poserons encore
doù
et
rI-r;-..
dl"
dt
dS ^dr:'
dr/' dt
rfS ' '■' di"
206 CHAPITKE IX. — THÉORIK DES PKRTURBATIONS SECULAIRES.
Nous retombons donc sur les équations du n" loi, et je n'ai presque rien à changer à ce qui en a été dit. La seule différence, c'est que U, qui dans les numéros précédents ne contenait que des termes de degré pair, en contiendra de tous les degrés, mais il n'en résulte aucun changement.
Les ^ et les y; restent développables suivant les puissances des
cos
Slll
mais les développements, au lieu de contenir seulement des termes de degré impair, contiendront des termes de degré pair et même de
degré zéro.
D'ailleurs il est bien entendu que les conclusions des n"^ 161, 1G2, 163 ne subsisteraient que si R" possédait les mêmes symétries que R'.
172. Nous avons examiné, dans les Chapitres V et ^"T, la manière de former des développements qui satisfont aux équations dillerentielles du mouvement dans le cas général du problème des trois corps. Au Chapitre VII, nous nous sommes attachés à un cas parliculier, celui du problème restreint et nous avons montré comment, dans ce cas, on peut faire disparaître les termes séculaires (le ces développements.
Aux Chapitres VIII et IX, nous avons fait létude spéciale des |)erturbations séculaires, c'est-à-dire que nous avons cherché à déterminer, dans le cas général du problème des trois corjis, les termes de rang zéro de nos développements. Nous avons vu que ce 3 termes dépendent d'équations canoniques qui sont de même forme que celles du Chapitre VII, et qui, par conséquent, conduisent à des développements où il est possible de faire disparaître les termes séculaires.
Nous allons maintenant revenir aux développements les plus généraux du Chapitre VI, et montrer qu'on peut y faire disparaître les termes séculaires par des procédés analogues à ceux du Chapitre VII.
Il s'agit d'intégrer les équations canoniques
Nous avons vu au Chapitre VI qu'on peut y satisfaire à l'aide de développements de la forme suivante :
f/L dV
dt ~ d\ '
dl dF dt ~ dL '
d\ dV
dt ~ dr '
dr, dF dt " di
268 c!iAi>riui!: x.
Les oL, oÂ, oç, or, sont développables suivant les puissances de tj., de t, des ;)', des -r^ et suivant les cosinus et les sinus des multiples des (v, c'est-à-dire qu'ils peuvent être mis sous la forme
< 3 ) y ;-•-'-' A ^'IIl ^ -'" cos ( y k <r -f-
Lcs k sont des entiers; A et li ne dépendent que des constantes L}' et a|- ; OlLo est un monôme entier par rapport aux ^" et aux -^)- .
Les &L, o)., o;, or, s'annulent pour p. ^ o ; elles s'annulent (■i;a- Icmentpour ■:= (ï'/= o, de sorte que les constantes L]', 'a|- , ç)- , y,J' ne sont autre chose que les valeurs initiales de nos inconnues L, À, ç, 7, pour T = tv = o.
Ces développements (2), (3) satisfont aux équations (i) quand on j fait
quelles que soient les constantes c et s/.
Clierclions à appliquer à ces développements le procédé du n" 120. Nous sommes partis du théorème du n" 16, qui est résumé dans les formules
rt^ .<ad dx
Dans le cas qui nous occupe, le rôle des x est joué j^ar les L et les Ç; celui des y jiar les \ et les rj ; celui de F par — F. Nos iormules deviennent donc
analogues aux formules (i3) et (i4) du Chapitre VIL
Nous pourrons écrire la seconde équation (4) sous la forme
< . AQ = — + > /^ -^- = > L - - — > ï - - — F,
d-z ^ai dw, .sEoi d\j Jkià d\
analogue à Téquation (i5) du Chapitre VIL
Le second membre de (5) est développable sous la forme (3). L'équation (5) est donc de même forme que l'équation (i3) du
CAS GÉNÉRAL DU PROlîLÉMK DES TROIS CORPS. 26c)
Chapitre ^ I, el Ton en coucluL que runc des solulious do celte équation est encore développable sous la forme (o). Ce sera celle que nous adopterons; nous regarderons donc ù comme dévcloppahle sous la forme (3).
Ainsi les quantités L, a, ;, r., <i sont des fonctions de t, des iv^ et des constantes d'intégral ion L^', V; , 1% r.'' ; mais nous regarderons les l'I comme des constantes données une fois j)Our (ontes^ de sorte que nos inconnues seront seulement fonctions de
ÏO .,0
Nous pourrons donc écrire
Dans cette formule (6), les coefficients différentiels H, W/, C,-, X,, Y, sont développables suivant les puissances de - et suivant les sinus el les cosinus des multiples des w et il en est de même des, C- si l'on pose
Je puis écrire d'ailleurs plus simplement puisque
est fonction de L" seulement.
Faisons maintenant
-z — t, (V; + Hit -^zi,
d'où , , ^ ,
dz = dt, diVi = m dt -4- dii^ t diii.
On trouvera
^hdX-r-yj^df.-dO
(7) I ==(h+Vw,;.;]./^
en remarquant que C)' se réduit à
ce qui donne
Nos constantes d'intégration qui jouent le rôle des a^ de la formule (4) sont ici les L^", les £/, les 1% les -^;'. Donc les W,-, les C)', les X,-, les Y,- qui jouent le rôle des Aa de la formule (4) seront des constantes indépendantes du temps et dépendront seulement des constantes d'intégration.
De plus
sera aussi indépendant du temps en vertu de l'équation des forces vives.
Or les W/ sont développables suivant les puissances de a et de T et suivant les cosinus et les sinus des multiples des (v; et l'on peut leur appliquer le lemme du n" 107 et le raisonnement du n° 129.
Po ur
on a
o"/o, d'après ce qui précède, est une constante indépendante du temps et ne peut dépendre que des constantes d'intégration
Mais ici les constantes £/ sont nulles, puisque nous faisons
Donc /„ ne dépendra que des
En vertu du lennne du n" 107, la relation
qui a lieu pour -7= ^, (v'a = /^/,/, aura lieu idciitiquemenl quelles que soient les valeurs de t et des w.
Donc W,- ne peut dépendre que des L-, \] cl r/'.
